Кудрявцев Л.Д. - Математический анализ, страница 10

что нам неизвестно точное значение корня и что лгм вмбрали наугаа ислоц. нос его пРиближение х„, в этом слУчае хе -Л )' а, поэтомУ, согласно не. равенству (3.11), х„)1'а, а=-1, 2, Займемсн теперь искомой оленкой погрешности приближении. !1меем ха у! ха — '.. 2 )(хч хп !)+ а( ))= й (хе — хо !) (1 — ) . Из цераоенства (3.1!') следует, жо а О< <1, л=-2 3, ха 1х„ поэтому ~ ха+! — х„~ < — ) хп — хе, ), а == 2, 3, ! Применен это неравенство и — 1 раз, пол!.чим 1 ( ха+! — х„( < — ! 1 ха — х, 1, л = 2, 3, Дб Изображение ветиественних чисел десвтнчниии дроблмн Теперь +р х ( ! (х + х + ) 1 (» + х + ) + + ! р-! у 1 + (хл+! ~а) ! ~ л:и ( л+х+! хл+а ( < ~ л+а ! (хх хь! ( !=о а-о ! 1 ха — хг( 1 — в 1 а=о Переходя в этом неравенстве к пределу при р ал, получим Это н есть требуемая опенка погрешности л-го приближения. Упражнение 15.

Пусть иа>О, Ьл>0, а +Ь л †! + л-! ол=)!глл !Ьл 1, Ьл=, =1, х, докатит!ч что последовательности (ал) н (Ьл) стремятся к одному и тому же пределу а и что 1ь,—,( 1 Ье — ее 1 Ока — ол < тл, О<Ь вЂ” ож 3.6. Изображение вещественных чисел бесконечнымн десятичными дробями где о, обозначает номер отрезка, г. е. одну из цифр О, 1, ..., 9. Пусть задано какое-либо число а, для определенности а > О. В силу свойства Архимеда сущесгвуег целое число пе > а.

Среди чисел и = 1, 2, ..., и возьмем наименьшее, обдала!ощее свойством и > а и обозначим его а, + 1, тогда оч! < а ( ое + 1. Разобьем отрезок (ое, о + 1) на десять равных отрезков, т. е. РассмотРим отРезки ~ов, и,; о„а! + — 1о~, где о! = О, 1, 2, ..., 9.

Возможны два случаи: либо точка а не совпадает ни с одной точкой деленна (рис. 7), либо точка а совпадает с одной из точек делении (рис. 8, 9). В первом случае точка и принадлежит только одному из этих отрезков. Обозначим его через й 8. Предел «оследоеетельиьсти Рис. 7 Рис. В Рис. 9 чнм тот из получившихся отрезков, который содержит а и лля которого точка а не является правым концом. Продолжая зтот процесс, получим систему вложенных отрезков 1„=)аи а„~, п=!, 2, ..., ! где а„=ае, а,а, ...

о„, а„ =а„, а, ае ...ц„+ †„,, а о« вЂ” одна из цифр О, 1, 2, ..., 9. 1(онечные десятичные дроби а, и а, называются соответственно ниясней и верхней подходяи!ей десятичной дробью порядка и для числя а. Они обладают следующими свойствами, непосредственно вытекающими из их определения: а„< а (а„, а < а«+! ю а«+! < а«~ (3.13) (3.14) ! а — а ««=!ц« (3.15) В случае, если а(0, то, полагая Ь= — а, определяем а« = — б~, а = — 6«. (3.16) Лемма 1. Каково бы ни было число а, последовательность (а„) монотонно возрастает, а последовательность (а„) монотонно убивает и )цп а„= 1!тп а„=-а, (3.1?) « «« Во втором случае точка а может принадлежать двум соседним отрезкам. Тогда через 1, обозначим тот из них, для которого точка а является левым концом.

Разобьем !л резок 1х в свою очередь на ае- ! 3 сать Равных отРезков и чеРез 1е = ~ае, агах; а„, а,ц, + —, 1! обстзна- 8.6. г1зебяинеение еещепеенннх аяеел деентгяянлггг дяобяли С л едет в и е. Всякое ееигеспгяенное число являепггя преоелолг послсдовапгельноопгг рациональных чгггел. Действительно, неравенства (3.!3) и (3.

14) означают, что в случае а - О последовательность (а„) монотонно возрастает и ограничена сверху, а последовательность (а„) монотонно убывает и ограничена снизу. Поэтому существуют пределы!пп а = а и 1!гп а„=- а. Перец э и ходя к пределу при п-еоо, из неравенства (3,13) получим, что а < а < и, а из равенства (3.15), что и — а = — О, т. е. а = а = а, Итак, (3.17) в случае а )~ О доказано. Для а <, О оно непосредственно следует из (3.1Б). Следствие леммы вытекает из того, что а„и а, суть рациональные числа.

Г!усть теперь снова а )~ О и а„=- а„, ага,...а„. Поставим в соответствие числу а бесконечную лесятичггую лробь а„, агае...а„.... Подчеркнем, что здесь ае является неотрицательным целым числом. а аи, гг = 1, 2, ..., — одггой из цифр О, 1, 2, ..., 9. Длины отрезков 1и = — (а„, а„! равны — и потому (почему?) стремятся к нулю при и -~- со, поэтому число а является единственным числом, приналлсжащим всем отрезкам !„„п = 1, 2, .... Отсюда слелует, что при указанном соответствии разным числам соответствуют разные десятичные дроби, т. е.

отличающиеся хотя бы олним ад (й = О, 1, 2, ...). Заметим палее, что при нашем построении не может получиться лробь с периодом, состоящим из одной цифры 9. Действительно, пусть числу а соответствует дробь и„, аг...а„,9...9, где а„„+ 9. Тогда, согласно построению, а ц- аця а, ... аи, 9 ... 9; а„, и,, аи,+— ! О"' и цифр лля всех и .л гь,. Отсюда следует, гго а является правым концом всех отрезков 1„„п ~~ и„, что противоречит выбору этих отрезков. Если жс не существуег цифры и„„такой, что пи.

+ 9, т. е. числу а соответствует дробь аи, 99, ... 9..., то а является правым концом всех отрезков вида (аи, 99...9; и„+ 1!. Следовательно, а =- пи+ 1, тогда как по предположению аи < а ( аи + !. Таким образом, в силу установленного соответствия каждому вещественному числу п)~ О соответствует некоторая бесконечная десятичная дробь, нс имеюгцая периода, состоящего из олной цифры 9. Такие лесятичные дроби называются допусгиилгылги. Наконсц, кюклая бесконечная допустимая десятичная дробь ае, агае...а„... в результате описанного соответствия оказывается у 8 Предел ооследооотеллчосто поставленной в соответствие некоторому числу а, а именно тому едгшственному числу, которое принадлежит всем отрезкам: ! ао, аг ...

а,; аго о,, ... а„+ — ~, гг =- 1, 2, Зго соответствие можно распространить и на отрицательные числа: если числу и ) О соответствует дробь а„а,...а„..., то числу — а поставим в соответствие дробь †, а,...а„.... Если заданы два множества Х и Ум и если каждому элементу х ~п Х поставлен в соотвечствие элемент у 1- Г, причем разным элементам х соответствугот разные элементы у и каждый элемент уСУ оказывается поставленным в соответствие некоторому элементу хг~Х, то говорится, что мсжду мзожгстаамп Х и 1' установлено взаимно однозначное соответствие.

Г1олученные результаты можно сформулировать в виде следующей теоремы. Теорема 6. Между лгножеопволг всех вещесгпеенных чисел и множестволг допусгпимых десягпичных дробей сущесгпвг1ет взаилгно однозначное соответствие; причем, если при этом пюгпвегггствгггг числу а соответствует дробь Еач, ага,...а„..., то -1-1пп ао, а,а,...а„= и. о Бесконечная десятичная дробь з-а„,а,а,...а„..., соответствующая числу и, называется его десятичной записью и используется для его обозначения. Г(оэтохгу пишется =:спою ага2".ао ". 3 а м е ч а н и е.

Любой бесконечной десятичной дроби а„а,а,...а„... (не обязательно допустимой) можно также естественным образом поставить в соответствие единственное вещественное число, принадлежащее всем отрезкам 1 аО аг " ао1 ач г"г - по+ гпо~ ° Однако получившееся при этом соответствие уже н е б у лет взаимно однозначным: может случиться, что разным десятичным дробям будет соответствовать одно и то же вещественное число. Именно дробям вида аго а,а,...а„99.„9... и ао„агаг ". (по+1)ОО..Л)...

(ао+ 9) соответствует одно и тоже число. В описанной выше конструкции соответствия вещественных чисел и бесконечных дестгичных дробей мы получили бы не только допустилгые десятичные дроби, если бы отказались от условия каждый раз выбирать такой отрезок 1„, что число и не является его правым кон цолг. Исгюльзуя запись вещественных чисел, с помощью бесконечных десятичных дробей можно получить правило для их сравнения по величине и правила арифметических действий над ними. б1 8.6. Иэображение лещегтяенны г чисел десятичнмлш дробями Лемма 2. )!устпь а = а„а,п,...а„...

и Ь=)1„)Ц!т. рл .. — два неотриитпельных числа, записанных с помощью бесконечных допу- стимых десятичных дробей. Тогг)а а ( Ь в том и толыю том случае, когда сущестпвуепг пе, пгокое чпш ал ( Ь„дмг всех п )~ пгл Действительно, пусть а( Ь. Из а = 1цп а„и Ь= Йгн Ьл слеп л дует (см. свойства пределов последовательностей в п. 3.1), что существует такое и„, что прн всех и )~ п„справедливо неравенство ал ( Ь,.