Кудрявцев Л.Д. - Математический анализ, страница 13

Элементы х и у рассматриваемых множеств Х и У могут иметь совари<еицо произвольную природу. В частности это могут быть, например, веществеипые или комплексные числа. В случае, когда зиачепиями функции являются пе числа, а какие-либодругие элементы, часто вместо слона «функция» употребляется слово «отображение>. Таким образом, у пас термин«я «фуикция», «соответствие» и «отображеиие» равносильны.

Го~ври о тех или иных функциях, мы, конечно, каждый раз будем разъяснять, о какого рода соответствиях идет речь. Часто саму функцию (соответсгвие, отображение) обозначают только одной буквой й а через г(х) — ее значение ца элемеите х. Впрочем, иногда через г(х) обозпачается и сама функция, а для ее зпачепия па элементе х„употребляется запись г(х) ~. «.

или г~„», Если Š— некоторое подмножество множества Х, то через г(Е) обозначается множество всех таких элементов у( У, что у = Г(х), где х<: Е, т. е. )(Е) =- (у: у = г(х), х(Е). Миожество((Е) называется обривал< множества Е. Если теперь с< — некоторое подмножество множества У, то множество (х: х( Х, г(х) (.О) называется полным прообразом множества В. Если Х и У вЂ” некоторые подмножества веществепиых чисел (быть может, одно из которых или оба совпадают с множеством всех вещественных чисел), то соответствующие функции называются весцественнылги функциями одного (вегцесп<венного) переменного. В частности, если в качестве множества Х взять множество патуральиых чисел, то получим вещественную фуикцию, определенную З 4. Функ»|ии и ссс лределм па множестве натуральных чисел или, употребляя введепиую ранее терминологию, попросту последовательиость веществеииых чисел.

Если в качестве множеств Х и У взять некоторые подмножества комплексных чисел, то мы придем к понятию колссгленснозначнсех функций колтлекеного аргрлсениса. Встреча|ется функции, у которых множества Х и у' разной природы. Примером может служить фупкция, определенная, например, па некотором множестве Х точек плоскости и принимающая числовые значения. Поскольку при фиксированной системе координат каждой точке плоскости однозначно соответствует упорядоченная пара чисел — ее декартовые координаты, то эту функцию можно рассматривать как функцию двух вещественных аргументов х,, х, и оГюзиачать у = 1(х„х„). Встречаются, естествешю, и функции с большим числом вещественных аргумеитов, иапримср, в известной из физики формуле Кулона взаимодействия электрических зарядов Е с|е2 сила взаимодействия Р зависит от четырех аргументов: двух величии зарядов е, и е|э расстояния между ними г и диэлектрической постоянной среды в.

Вообще функция, определенная иа некотором множестве элементов, каждый из которых представляет соГвй упорядоченную совокуппость и чисел (веществеииых или комплексных), называется функцией от п (соответственно аесйеетеенных ссли нолсплекеных) аргументов. Может случиться, что значениями функции являются ие числа, а какие-либо другие элементы. Например, если в качестве Х взять отрезок (О, 2п! и каждому числу х Г (О, 2п) поставить в соответствие точку плоскости с аГ>сциссой зсп х и ордииатой соз х (при некоторой фиксированной декартовой системе координат), то миожеством значений построенной функции будет множество точек окружности единичного радиуса с центром в начале коордипат.

Отметим, что если функции с и д рассматриваются иа одном и том же множестве Х, то запись с == и означает, что с(х) =- д(х) для каждого х~ Х. В этом случае говорится, что функция с тождественно равпа функции и ца множестве Х. Над фуикциями, принимающими числовые зиачеиия (такие функции называются»сссслоеьслси функс4иялси), мо>кио производить различпые арифметические операции. Если ланы две числовые функции с и д|, определенные иа од>солс и том же множестве Х, а е — иекоторое шсло (или, как часто говорят,— постояииое), то функция сс определяется как фупкция, принимающая в каждой точке хгХ значение ес(х); фуикция с+ с» — как функция, принимающая в аз 4.1.

Понгпне фрикции каждой точке х(- Х значение /(х) + ст(х); /а — как функция, в каждой точке принимающая значение /(х)п(х); наконец, — как функ/ 0 цня, в каждой точке х~ Х равная — (что, конечно, имеет смысл /(к) я(х) лгппь при д(х) чь О). Числовая функция /, определенная на множестве Х, называется ограниченног1 сверху (ограниченной снизу), если множество ее значений ограничено сверху (снизу). Иначе говоря, функция / ограничена сверху (снизу), если существует такая постоянная М, что для кажого х( Х выполняется неравенство /(х):С М (соответственно /(х) >~ М). Функция /, ограниченная на множестве Х как сверху, так н снизу, называется просто ограниченной.

Очевидно, что функция / ограничена на множестве Л' в том и только том случае, если существует такое число М ) О, что ', /(х) ~ < М для каждого х'- Х. Верхняя (нижняя) грань множества значений )г числовой функции у = /(х), определенной на множестве Х, называется верхней (нижней) гранью функции / и обозначается знр/. зпр/, знр/(х) ((п(/, )п//, )п(/(х)). и «ск х «ех Более подробно это означает, что, например, Х = анр /, если, во-первых, для каждого х~ Х выполняется неравенство /(х) =: ). и„во-вторых, для любого г.' () существует такой х, - Х, что /(х, ) ) Л'. Индекс Х' у элемента множества Х показывает, что он зависит от выбора числа Х'.

В приведенном определении верхняя (нижняя) грань функции может быть как конечной, так и бесксн1ечной. Согласно результатам и. 2.1, функция / ограничена сверху (снизу) па множестве Х тогда и только тогда, когда она имеет па этом множестве конечную верхшою (нижшою) грань. У и р я ж и с н н я. 1. Доказать, что если функцня / яе огрвннченв евер«у (соответственно сннзу) нв отрезке (о, Ь), то существует тяквя последовательность ~очек х„'-(о, сэ), и = 1, 2, ..., что 11гп /(кн) = +. (соответственно я Пгп Дин) == — сс), н 2.

Доказать, что если функция нс огрвннчсне нн отрезке, то сущсствуез точке этого отрезка, в каждой окрсстностя которой функция не ограннченв. Будем говоритсь что числовая функция /, определенная на множестве Х, пршпсмает в точке хе ~ Х наггбюльггже значение (соответ. ствепно наименьшее), если /(х) ~(/(х„) (соответственно /(х) .ь /(хе)) В 4. Функции и их кределы для каждой точки хг; Х. В этом случае будем писать /(х ) = п»ах / х или /(х,) = »пах / (соответственно /(хв) = ш)п / нли /(х,) = пцп /)*». к Очевидно, что если функция / принимает в точке хв наисбольшее (наименьшее) значение, то /(х ) = зцр / (соответственно /(хв) =- )п1 /).

Иногда приходится иметь дело с функциями /(х), определенными на некотором множестве Х, значениями которых являются некоторые подмножества множества У, т. е. когда каждому элементу х:,— Х ставится в соответствие некоторое множество /(х) ~ У, и тем самым множеством значений функции является совокупность некоторых подмножеств множества У. В этом случае говорят, что на множестве Х задана л»нсгозначная функция /(х) со значениями в множестве У. Если каждое /(х) состоит только нз одного элемента у~~ У, то получится однозначная функция. Многозначные с)»ункцни естественным образом возника»от, например, при рассмотрении так называемых обрап»ных функций, Определение 1.

Пусть на»нножестве Х определена функция / и пусть У вЂ” л»нсжесп»во ее значений. Обаяначилс через / »(у) гшлный гграабраз элел»енп»а у~ ~У, т. е. /-'(у)=(.: Е-Х /()=у). Тогда функция, определенная на У и спи»вяи(ая в соатветсп»вие каждолсу у~ У л»ножество/ '(у)с:Х, называегпо» обрагпной к / и сбсвначается / — '. Обратная функция /'-' является, вообще говоря, многозначной функцией, но, конечно, в частном случае она может бьггь и однозначной.

4.2. Способы задания функций В дальнейшем в основном будут изучаться однозначные вещественные функции одного вещественного переменного. Поэтому остановимся на способах задания только таких функций. Прежде всего, функции могут задаваться при помощи формул: аналитический сг»скоб. Для этого используются некоторый запас изученных и специально обозначенных функций, алгебраические действия и предельный переход. Например, у = ах -)- /», у =- ах', у = гйпх, у = ')г 1 †, у = 1 + уг) й соз нх. «» Нзибольтвв (наименьшее) значение функции назывветсв также вв максммалькым (минимальным) вначгнкгм. Максиивльвыв и нвнвывмьвыв ;»нзчвцав нвзывзкпся экст/»емальными.

д.а Способы задания функннс Иногда приходится функцию задавать с помощью нескольких формул, например, 2" для х)0, 0 для х=О, х — 1 для х(0. У=1(х) = 14.1) Функция может быть задана также просто с помощью описания соответствия. Поставим в соответствие каждому числу х) 0 число 1, числу 0 — число О, а каждому х ( 0 — число — 1. В результате получим функцию, определенную на всей вещественной оси и прннимающу>о три значения: 1, 0 и — 1. Зта функция имеет специальное обозначение э)ап хю: 1 для х)0, з1апх= 0 для х=О, — 1 для х(0.