Кудрявцев Л.Д. - Математический анализ (1077055), страница 15
Текст из файла (страница 15)
к кк Из этого определения следует, что функция не может иметь двух разных пределов в одной точке. Далее, из определения следует, что значения функции ! в точках х, лежащих вне любой фиксированной окрестности точки х„и значение функции ! в точке х, не влияют ни на существование, иь на величину предела функции ! в точке х. Отметим также, что выражение «функция ! определена на некотором промежутке» не означает, что указанный промежуток яв- д 4.
Фанкхчи и их пределы 70 2( Ип> хи! +!пи хи — ! 2хи+хи+ ! '>и и / и Иго !>и> хи и (при атом мы считали х„Ф1, так как при хии1 рассматриваемая функция не определена). Таким образом, существует Ип1 ((х„)=1, и так как он не зависит от выбора последователь-о и ности х„->-О, л=1, 2, ..., то существует и !пп ((х) =1. >> 2. ((х) =.з!п — (рис. 12). Снова рассмотрим вопрос о суще- 1 х ствовании !Ип ((х). и 0 Рис. 42 ! Возьмем две последовательности: х„=— ! хи = + гпп х„чыО, х„'~= О, и =.
1, 2, .... Очевидно, Игп х„= Игп х„'=О, и >и и > ( (хи) ~ Яп пп = О> ( ( хи) = з(п 2 —— 1 > и >и 1, 2, ляется областью определения функции И а лищь что рассматриваемый промежуток принадлежит области определения данной функции. 2хи+ х — ! Примеры. 1. Пусть !(х)= . Выясним, существует нли нет Ип1 ((х). > О Возьмем какую-либо последовательность х„, такую, что Игп х„=О н х„чЬО, иии1, 2, ..., тогда на основании теорем и и» п.
3.5 имеем т1 4.4. Первое определение предела функции Поэтому йш)(х„) к О и йш Р (х.') = 1, и, значит, )нп((х) не существует. к о Замечание. Пусть функции ) и а определены на интервале (а, Ь) кроме, быть может, точки х, и пусть ! (х) = й(х) при х Ф к„х ~(а, Ь), тогда из того, что в определении предела функции в точке х, участвуют только значения функции в точках х 4= х„следует, что пределы )нп)(х) и йгп д(х) одновременно «« к «к существуют или нет, причем в первом случае йш )(х) —.— 11п>у(х).
« \ На этом простом замечании основано так называемое правило раскрытия неопределенностей с помошьк> сокрашения дробей. Поясним его на примере. (2хк + х — 1! х 3. Найти )нп, . Повторение рассуждений аналок- о гичных проведенным выше при разборе примера 1, приводит 0 к выраженик> — (к неопределенности), т.
е. не дает ответа на О вопрос о сущесгвованин и значении искомого предела. Однако, 2хк — «+ 1 беря функцию Г(х) = 1, получаюшук>ся сокращением 12хк+ х — 1) к на х выражения а(х) =, н, следовательно, такую, что )(х) =д(х) прн х+О, вспоминая, что мы уже доказали существование 1нп)(х) =-,. 1, их>сеы, согласно сделанному замечанию, к о (2хк+ к — 1) х . 2хк+ х — 1 1!п>(>(х) = йп>, = В>п = 1!п>)(х).= 1.
-о к о , 0 к — 1 о Определение 3. Пусть функция 1 определена на полуинтервале (а, Ь), кроме, быть может, точки хп~ (а. Ь1 (епеперь не исключается и случай х,= Ь), и пусть существует та ое тесло В, чино, какова бы ни была последовательность х„~(а, Ь1, х„" х„п = 1, 2, ..., сходягцаяся к точке хо, последова>пель- ность 1(хл), п= 1, 2, ..., сходится к числу В. В этом случае «>осло В называется пределом слева функции Г и обозначается йп> 1(х).
««,— о Аналогично определяется предел справа 1нп 1(х) функции 1(х) к ««+О в точке хо~(а, Ь). Именно В= )пп )(х), если из йгп хи=хо, -,+о л лк х„)хоп хл~(а, Ь), и=1, 2, ..., следует, что йгп )(х„) =В. л л« 4 4. Функции и пх пределы 72 В случае ха = 0 вместо х ~ о 4 о (соответственно вместо х о — о пишут просто х- + о (соответственно х- — о). Пределы слева н справа функции называются односторонними в отличие от предела функции, определенного в начале этого пункта, который называется двусторонним пределом. В качестве примера рассмотрим функцию у = з(дп х(см. п.4.1 и рис.
1З). Пусть х)0, х(0, п=1,2, и 1пп хп =. Иго х„' = О. Риг. 1Д Тогда !пп з!5пх„=.!цп1=.1, и ю х значит, Иш з!5пх=1, х- ° Ьо Ипз з!5п х„' =. Игп( — 1) =- — 1, п ю и--0~ а Ип1 з!5пх=-. — 1. 4.5. Второе определение предела функции Теорема 1. Прсгпь функгеия 1(х) определена на некотором интервале (а, Ь), кроме, бытпь можегп, точки х ~с (а, Ь). Для того цтобьс А = Игп )(х), необходимо и достаточно, цтобы еыполх х, пялюсь следбчои(ее условие: для любого числа и ..ь 0 суи(ествретп такое число 6 =- 6(в) ) 0*>, чапо для всех х из (а, Ь), цдовлетворюоиртх уо.
ловиям ! х — ха ! <" 6, х+ х„ (4.4) [1(х) — А ((е. (4.5) выполняется неравенство Доказательство необходимости. Пусть 1нп ((х) = А. Допустим, что условие теоремы не выполняется. Это х хе означает, что существует такое еа ) О, что для любого 6 ) 0 най- дется такое х = х(6)+ х, из (а, Ь), что (х — ха! (6, но 1 ()(х) — А! > е,.
Выбирая 6 = —, и = 1, 2, ..., рассмотрим последо- /11 вательность хв = х~ — р и = 1, 2, ..., которая по построению удовлетворяет условиям ! хв — ха ! к ' — „, ха+ ха, п = 1, 2, ..., 1 (4.5) ) Здесь запись б =- б(е) подчернивает зависимость б от е. Ничего не из- меннтси. если во всех подобных случапх просто писать одно б, не забывая, конечно, что оно зависит от а. НБ Второе олреяеленле лревели функции !)(хл) — Л !). е„п=1, 2, ... (4. 7) Из (4.6) следует, что !!в хи= х,. Вместе с тем, поскольку и кл е, >О, то из (4.7) заключаем, что число Л ие может являться пределом последовательности 7(х„), п=1,2, ..., а это противоречит тому, что А = !!«п !" (х).
к к„ Таким образом, необходимость рассматриваемого условия доказана. Дока за тельст во достат очности. Пусть число Л удовлетворяет условию теоремы. Покажем, что !!п1 ! (хл) =-А Л для любой последовательности (х„» из (а, Ь), такой, что 1ип х„=хо и х„+хо. и=1, 2, л кк (4.8) Действительно, пусть е" 0 фиксировано и 6 = 6(е) выбрано согласно условию (4.4! — (4,5). Из (4.8) следует, что найдется такое пю что ! х„— х,! ( 6 для всех и )~ и,, поэтом) в силу условя~ теоремы ! 7(х„) — А ! (е для всех п)~ и,. Так как в) 0 произвольно, то это и означает, что 1пп 7(хл) = А. л Теорема доказана.
Эта теорема позволяет дать другое определение предела функции в точке, которое будет эквивалентно исходному. Определение 4. Пусть функция 7 определена на интервале (а, Ь), кроме, бить может, точки х, ~ (а, Ь). Число А называется пределан крункции ( в темке х„т. е. А =- 1!«п 7(х), если для любого числа к кк е') 0 существует такое число 6 = 6(е) ) О, что для всех х ~ (а, Ь), удовлетворюощих условию !х — х,»(6, к+хи, (4.9) выполняется неравенсепво (4.
10) х Е О(хо 6) к+хе (4. 11) или, употребляя обозначения окресепностей (см. п. 3.1) Л =!пп 7(х), к кк если для любого е ) 0 сущеапвует такое б = 6(е) ) О, что для любого х~ (а, Ь) из условий у Е. Функции и их нреаели следует условие (рнс. и) 1(х) ~ 0(А, в). (4.12) у <5) Для односторонних пределов функции в точке можно также < дать новое определение. < Определение б. Пусть функл-с с(ия 1(х) определена на полуинпервале (а, Ь! (соответственно на !а, 6)).
Число В навьи вается пределом слева (справа) х,-э х, х„к-е х функции 1(х) в точке хо~(а, Ь! (соответственно хо ~ ! а, 6)), если для любого е ) 0 существует 6 = 6(е) ) О. спокое, ч>ло (1(х) — В((е (4.!3) для всех х, удовлетворякхцих условию х, — 6 ( х ( х„(соотвелютвенно хо ( х ( хо+ 6). (4. 14) Риа >е В этом случае пишу>п В= Ип> 1(х) (соответственно В= !нп 1(х)), к кк-О к-к.+О Обратно, если А = Ип> 1(х) н А = !нп 1(х), то для любого к — О -,+о в ) 0 существуют такие 6, = 6,(е) и бэ = бэ(е), что если х — 6,(х(х, и соответственно хо(х( х<,+бэ, то ! 1(х) — А ! (е.
Следовательно, если 6 — наименьшее из чисел 6, и б„то а такэке В = 1(х„— 0) (соо>лвеслс<лвенно В = 1(хо + 0)). Совершенно аналогично теореме ! доказывается, что данное определение эквивалентно исходному. Связь мем<ду односторонними пределами и двусторонним пределом устанавливается следующей теоремой. Теорема 2. Функция 1 имев>п предел в >псчкелюгда и только >люда, когда в этой точке суи!еппвуюсп пределы как справа, так и слева и они равны. В этол< случае их общее значение и является двусторонним пределом функции 1 в точке х,.
Доказательство. В самом деле, пусть !ни 1(х) = А; к для любого е > 0 существует такое 6 = 6(е) ) О„что из ! х — х, ! ( 6, следует ! 1(х) — А ! ( е, и, значит, в частности, из условий (4.!4) следует (4.13), т. е. А= Иш 1(х) и А= Иш 1(х). -,— о к кк+О 4.Б. Во»орое определение предела функции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
