Кудрявцев Л.Д. - Математический анализ (1077055), страница 16
Текст из файла (страница 16)
?Б ! Их) — 4 ! ( е при !х — х,! ( б, х+ хо. Это и означает, что (пп Дх) = А. »» Теорема доказана. Лемма 1. Если функция / шкеет предел вточкех„гггосг/щеспгвует окрестность этой точки (быть лгожет выброшенной точкой хе), на которой функция / ограничена (определснне ограниченности функции см. в п. 4.1). Чтобы в этом убедиться, зафиксируем некоторое е ) О, например а = 1, тогда, согласно определению предела, существует такое б = 6(1), что А — 1(/(х) (А + 1 для всех х ~ 0(х„б), х+ х„и, так как, кролге указанных значений /(х), существует еще, быть может, только одно Дх,), то лемма доказана. Лемма 2. Если А = Игп /(х) + О, то существует Ь-окреипность » к 0 (х, 6) точки хо, такая, тпо /(х) + 0 при х ~ 0(х, 6), х =р- хо, и имеет тот же знак, чта и число А. Док а за тел ьство. Пусть для определенности А)0.
ВозьА мем е = —, тогда сущее?вует 6= 6(е) такая, что при 2» А 0(! х — х,!(6 выполняется неравенство !/(х) — А г( —, и, сле- А дона>ельне, неравенство / (х) — А ) — — „; отсюда имеем /(х) ) — )О при 0(!х — х,!(6. Для случая А)Олемма дока- А А зава; в случае А(0 следует взять а= — — и провести аналогич- 2 нос рассуждение.
Леммы 1 н 2 понадобятся в дальнейшем. Дока>кем теперь теорему, полезную длн вычисления пределов. Теорема 3 (иравило замены переменного для пределов функций). Пусть существу>от 1пп /(х)=уе, /(х)+уо при х+ хгь »» и Игп Р(у), тогда при х — х„сугцествует предел ело>хной ебг/нк- У У», ции Е(/(х)! и (4. 15) !Ип Р !/(х)! = (пп Г(у).
* к, У У« До к а з а т е л ь с т в о. Из определения предела функции следует, что при сделанных предположениях функции / н Е определены в некоторых окрестностях соответственно точек х, и угь кроме, быть может, самих этих точек. Покажем, что существует такая Ь.окрестность точки х„что прн х~ 0(х„б), х+ х„имеет слгысл сложная функция Е(/(х)! и, следовательно, можно ставить вопрос о существо- й е.
Фрикции и и» цркдклч гв ванин ее предела при х- х„. Пусть функция Е(у! определена в е-окрестности точки у„кроме, быть может, самой точки у„, тогда из существования 1!гп /(х) = у„следует существование такого к 6 = 6(е)) О, что [/(х) — у,[С е при 0( [х — х,[(6. Поскальку, кроче того, по предположению /(х) + у„при х+ х,, то для х(-0(х„, 6) имеет смысл суперпозиция Е[/(х)[. ([усть теперь (х„» — какал-либо последовательность, такая, что !!гп х„= х„, х„+ х„, х„! 0(х,, 6), и =1, 2, ..., и пусть у„=/'(х„), и= 1, 2,,... По условию теоремы у„+ у„п=1, 2, и !!гп у„=усе В силу существования предела !цп Р(у), который ек У У обозначим через А, имеем ! пп Е [/ (х„)[ = ! ! гп Р [у„! = Л.
Поскольку это верно для любой указанной последовательности (х„), то зто и означает, что 1пп Р! /(х)[ = Л. к ке Теорема доказана. 3 а м е ч а н и е. Пусть функция /определена в некоторой окрестности точки х„кроме, быть может, самой точки х„; пусть [пп /(х) = к к, = у„, /(х) + у, при х+ хр и пусть функция / имеет однозначную обратную функцию / — ', определенную в некоторой окрестности точки у„, и такую, что [нп / '(ур) = х„ /-'(у) + х„при у+ у,. Этот факт У Уе мы будем кратко выражать словами кусловия х — ~ х„и у- у» эквивалентны». Это имеет то оправдание, что при сделанных предположениях пз существования каждого нз пределов в равенстве (4.15) следуют существование другого предела и их равенстно.
Действительно, в си ~у доказанного выше надо лишь из существования !пп Е[/(х)! доказать существование !пп Р(у). Если к к, У У !пп Е[/(х)[ существует, то по доказанной теореме существует и предел 1!гп Е[/[/ — '(у)!)=!!гпр[/(х)[. Но /[/-'(у))=у, следо- У У к-ке вателыю, существует [нп г (у). У У 4.6. Свойства пределов функций Все функции, рассматриваемые ниже в этом пункте, определеггы на ггекоторохг интервале (а, 6), кроме, быть может, фиксированной точки хрг. (а, И.
Сформулируем несколько свойств пределов функций. у.й Свойегвв пределов Функций !. Если гу(х) <!(х)<ф(х) и Иго<у(х)= Итф(х)=А, то к к, к кк !пп !'(х)=А. 2. Если )'(х)=с (постоянная), то 1пп ) (х) = с. «к 3. Если Игп )'(х) существует, то для лгобого числа с к « И п1 с) (х) =- с Игп ) (х). ««„ к « 4.
Если суи!ествугот 1пп г(х) и Ип| у(х), то к «6 Игп 1! (х)+ д (х)! = Ит ) (х)+ Игп д (х), к кк Игл ) (х) д (х) = 1пп ) (х) Игл д (х), к кк к-кк х-кк а если 1ип д(х)+О, то и !!гп 1 (х) Игп — = ",""' к-«, а (х) !!го а (х) к к Отметим, что можно ставить вопрос о пределе 1пп — „так как Их! у(х!" при предположении 1пп д(х) + О, в силу леммы 2 п. 4.5, функция к, !(х! д(к) — определена в некоторой окрестности точки хв кроме бьп ь может вю самой этой точки. Все эти свойства доказываются одинаковым методом, основанным иа соответствующих свойствах пределов последователыюстей.
Докажем для примера формулу 11п1 1'(х)у(х)= Игп 1" (х) 1!т д (х). к кк к кк к- к, Пусть А=Ив~ !(х) и В=!пил(х). Тогда, согласие опредек кк к„ леиию предела функции в точке хгп А =(пи!(х„), В= !пп у(х„) 78 6 й. Функции и их плевела для любой последовагельпости (х„), такой, что х„Е (а, 6), х„+хи для всех и =- ), 2, ..., н (ппх„=хх,. Поэтому, применяя н-л свойство предела произведения двух последовательностей, получим ! пп г (хи) сл (х,) =- АВ, к л причем этот предел пе зависит от выбора соответствующей последовательности (хи). Тогда опять, согласно определению предела функции в точке х„ ! пп ! (х) у (х) =- АВ.
к х, Утверждения, аналогичные свойствам 1 — 4, имеют а>есю и для односторонних пределов. ((оказательства также аналогичны. 4.7. Бесконечно малые и бесконечно большие функции Все функции, рассматриваемые в этом пункте, определены на интервале (а, (>) (конечном или бесконечном), кроме, быть может, точки х„' (а, (>). Определение 6. Функция а =- а(х) назыеслется бесконечно малой функцией (или просто бесконечно малой) при х- х„, если Ип> а (х) = = О. к лл Бесконечно малые функции, как и бесконечно малые последовательности, игра>от существенную роль, связанную, в частности, с тем, что общее понятие предела может быть сведено к понятию бесконечно малой.
Лсмма. Предел Ип>)(х) с)>и(ествует и равен А тогда и кс >полька тогда, когда !'(х) =А+а(х), где а(х) — бесконечна малая при к — хи. Лей ствител ьно, если (пп ) (х) = А, то, пола га я ) (х) — А = а (х), л- сс получим Ип> а (х) =- Ип> ((х) — А = О. кс (>)аоборот, если >(х) =-А+ а(х) и Ип>а(х) ==О, то (пп ~(х) = к х„ к кс = Л+ Ип> а (х) == А.
к- х„ Теорема 4. Сумма и произведение конечною числа бесконечно малых функций при х — х„а >пакясе произведение бесконечно малой функц>ш при х — хи на агриниченну>о фуню(ию являются бесконечно малыми яри х — хи функциями. Эта теорема непосредственно следует из теорем п.
3.4 и определения предела ф)нкцни в и. 4.4. 4,7 Бесконечно «<алые и бесконечно большие функции Определение 7. Функция ) == 1 (х) наг»явается бесконе<сна большой при х — »хв, если для любого е)0 суще<киву'т такое 6=«6(в)) О, что 1!" (х)!)в для всех х, у»довлгтсоряющих условто ! х — хе ! ( б, х+ х„. В вп»ол» случае тииут ))и» )(х)=со. к к« Если зхг для любого е) 0 существует такое б = б (е) ) О, что 1(х)) в (соответственно 1(х)( — е) для всех х, удовлетворяющих условию (х — хо )(б„к+ х, то нщиут ))гп! (х)= + по к «« (соответственно )нп ) (х) = — оо). к к, У и р а ж н е н н е В.
Функция а = а(к), а(к) ~ О прн х ~ хо, является бесконечно малой !бесконсчно болыпой) прн х -» хв тогда и только тогда, когда является бесконечно большой !соответственно бесконечно малой). 1 а(х) По аналогии с конечными односторонними пределами определяются и односторонние бесконечные пределы: )пп )(х) =. оо, ))и» )(х) = оо, )пп 1(х) = + оо и т. д. «к«+о -,— о ««« — 0 Например, )пп )(х) = +со, если, каково бы ни было е)0, сущек «« — о ствугт такт»е б = б(е) ) О, что /(х) ) е для всех х, удовлетворяющих условию х„— б ( х ( хз. Точное определение других подобных пределов предоставляется самим учаншь»ся по мере потребности.
Пусть теперь интервал (а, Ь) не ограничен, например, вида (а, + оо). Тогда можно говорить о пределе !!гп )(х) конечном «+о или бесконечном. с!а»»ример, говорят, ипо (!»и 1(х) =А, если для к + любого в)0 существует такое 6=6(е)0), что (!(х) — А((е для всех х)б. У и р а ж н е н н я. 5. Сфорл<улнровзть определение предела 1!ш )(х) = — оо к с помощью понятая предела последовательностн н на «е — й-языке»; доказать нх эквивалентность. б. Доказать, что если Р(х) — многочлен степени п > 1, то !!ш Р(х) =«о к»- н !!ш Р(х) = оо. То, что величина, обратная бесконечно малой, является бесконечно большой, и наоборот (см.
упражнение 4), делает естествен- у Е. Фупкцип и ик плевелы ной следуюшую символическую запись, часто употреблвющуюся для сокращения записи: для любого числа а) О пишут п а а — =+со, — = — — со, — =со, +Π— ΠΠ— =О, а + оо — = — О, — оо — =О.
В дальнейшем, говоря о пределе функции, всегда будем подразумевать конечный предел, если только не оговорено противное. 4.8. Пределы монотонных функций Если же функция / монотонно убывае(п на (а, Ь), п(о 11(п /(х)ко 1п1 /, !пп /(х) =знр /. к Ь вЂ” О (а. Ы к и+О (а, Ы Бок аз а тел ьство. Пусть функция / монотонно возрастает на интервале (а, Ь). Если А=-знр/(+со, то, согласно опреде(а, Ы ленив верхней грани функции (см. и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
