Кудрявцев Л.Д. - Математический анализ (1077055), страница 19
Текст из файла (страница 19)
)(х)+ М для всех х ~ [а, б). Тогда функция Ч (х) = — -- непрерывна на спрезке [а, 6[, как часп[ое отделения двух непрерывных функций с делителем, не обращающимся в ноль (см. и. 5.2). Но в силу определения верхней грани разность М вЂ” [(х) может быть сделана сколь угодно малой за счет выбора х, говоря е! К. Вейср[стресс ([8!а — [Ьат) — псекикий ив1сяв~ек. б.2 Прпиехгутпчные зкпеекия неирееыпнгга функции точнее: для любого а ) 0 существует такое х ~ [а, И, что 1 1 О< М вЂ” /(х.) < е и, значит, лр(х) = ) —.
В силу того, а ли — /(л ) а' 1 е что —, так же как и в, — произвольное положительное число, функция лр(х) неограничена на отрезке [и, И, что противоречит теореме 1. Таким образом, существует по крайней мере одна точка в~~ [а, И, такая, что Я) =- М. Если т = 1п1 /, то — т = зцр ( — /). Так как — / непрерывна на 1е,г 1 [и, ь) отрезке [а, И (см. п. б.2), то в силу уже доказанного существует такая точка т) г- [а, И, что — /(т)) =- — т, т. с.
/(т)) =- пг. Теорема доказана. Отметим, что если функция / непрерывна не на отрезке, а на промежутке другого типа и дагке, кроме того, ограничена на нем, она вообще говоря, не имеет наибольшего и наименыпего значения. Например, фу~ьция у = х на интервале (О; 1) и функция у =-- агс1д х на всей вещественной прямой, хотя непрерывны и ограничены на указанных промежутках, не достигают своих верхней и нижней граней. У и р а ж н с н и с 1. Пусть 4гункггия / определена и исирсрывиа иа отрезке[с, Ц н г(х) .
О для всех хб[п, б[. тогда существует с>1), такое, что /(х): с для носк х( [п, б]. 6.2. Промежуточные значения непрерывной функции Теорема 3. (Коши). Если функция/непрерывна на отрезке [а, И и /(а) .=- А, /(Ь) = В, то для любого знпчения С, заклгрченного хгезкду Л и В, суирствует такпя точка $'г [а, И, чгпо /д) =- С.' Иначе говори, непрерывная нп отрезке функция, ггрггнгьипюгцая какие-либо два значению приниипет и любое ггролгезкутачное. Д о к а з а т е л ь с т в о.
Пусть для определенности /(а) —-- = А В =-- /(Ц и А ( С с. В. Разделикг отреаок [а, И точкой хо на два равных отрезка, тогда либо /(хс) = С и, значит, искомая точка $ = — ха найдена, .)ибо /(х,) + С, и тогда на концах одного из полученных отрезков функция / принимает значения, лежащие по разные стороны от числа С, точнее — на левом конце значение, меньшее С, на правом — болыпее. Обозначим зтот отрезок [а„дг] и разделим его снова на два равных отрезка и т. д. В результате либо через конечное гггсло шагов придем к искомой точке с, в которой /(5) == С, либо получим последовательность вложенных отрезков [а„„Ь, ], по длине стремящихся к нулю и таких, что /(а„) <С</(/г„).
у В. Свиоппи функция, авпрермвних ни приавнкуаких Пусть $ — общая точка системы отрезков ]ока Ь„], и=1, 2, . (см, п. 1.1). Как мы знаем (см. и. 3,2), $ =- Ип1 а„= Игп Ь„. а ю а- Поэтому в силу непрерывности функции / ($) = !пп / (а„) =- И т / (Ь„). (6.2) а -. Йз (6.1) же получим (сы. п. 3.1) !Ип/(а„) ~(С<' Игп / Ьа). (6.3» Из (6.2) и (6.3) следует, что /(Е) = С Теорема доказана. С л е д с т в и е 1. //ели функция непрерывна нп отрезке и нп его концах принимает значения разного знпкп, то на этом отрезке с/рцеапаует пачка, в копюрои функция обрпи]ается в нуль. Это следствие есть просто частный случай теоремы. С л ед с т в и е 2. Пусть функция / непрерывна на отрезке ]а, Ы и М =- зцр /, т =- 1п] /.
Тогда функция / принимает побое !а.ь! $а,ь! знпчение из отрезки (т, М]. Для доказательства следствия 2 заметим, что если М = зцр /, !а,ь! т = ]п] /„то, согласно теореме 2, существуют такие точки а ~ [а, Ы ! и! и ]Ъкг!п, Ы, что /(а) = т, /(») = М. Теперь утверждение след. стеня непосредственно вытекает из теоремы 3, примененной к отрезку ]и, р], если а < р, или соответственно к отрезку Ц», а], еслн ]] ( а. Отметим, что свойство непрерывных функций, подобное рассмотренному, имеет место для любого промежутка (конечного или бесконечного).
Именно: если непрерывная на некотором промежутке функция принимает в двух его точках а и Ь, причем а с Ь, два каких-то значения, то она принимает и любое промежуточное. В самом деле, согласно теореме 3, рассматриваемая функция принимает указанное значение заведомо в некоторой точке отрезка ]и, Ь], который является частью исходного промежутка, 6.Х Оброувие Функции 6.3. Обратные функции Определение 2. Функция /, определенная на числовом множестве Е, называется строго монотонно возрастающей (строго монотонно убывающей), если для любых двух чисел х, '- Е и х, ~= Е, таких, чп|о х, ( хм выполняется неравенство /(х1) ( /(хз) (пютветственно /(х,) ) /(хх)).
Функция, строго монотонно возрастающая или строго монотонно убывающая, называется строго монотонной. Теорема 4. 1/усть функция / определена, строго монотонна и непрерывна на отрезке!а, Ь], ~погда обратная функция / '*' определена, однозначна, строго монотонна и непрерывна на отрезке с концами в п1очках /(а) и /Я.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Проведем доказательство теоремы для строго монотонно возрастающих функций. Пусть с = /[а), с/ = /(Ь). Покажем, что областью определения обратной функции 1 — 1 является сегмент [с, с[], или, что то же, что сегмент [с, с[] является множеством значений функции. /. В самом деле, из условия монотонного возрастания функции / следует, что /(а) =; /(х) < ДЬ), т. е. что /(х) С [с, й] для любого хс~ [а, Ь]. С другой стороны, каково бы ни было у Г [с, с[], т. е. /(а) -:: у ='. /(Ь), согласно теореме 3, существует такая точка х: — [а, Ь], что /(х) == у. Таким образом, все значения заданной функции / лежат на отрезке [с, с[], и каждая точка этого отрезка является значением функции / в некоторой точке. Это и означает, что отрезок [с„е]] является множеством значений функции /.
Покажем теперь, что функция / ' однозначна на отрезке [с, а]. Допустим противное: пусть существует точка уГ [с, д], такая, что множество /-'(у) содержит по крайней мере две различные точки х, и хм Согласно определению обратной функции, зто означает, что /(х,) =/(х,) =- у. (6.4) Но так как х, + х„то либо х, ( хм либо х, ) хм но тогда в силу строго монотонного возрастания функции / в первом случае /(х,) ( /(хх), во втором /(х,) ) /(х,); и то и другое противоречит условию (6.4). Значит, обратная функция / ' однозначна. Покажем далее,что функция / 1строго монотонно возрастает на отрезке [с, а].
Пусть у,(- [с, й], уз([с, с[], у1<. уз х, =- / — ' (у,) и хе = / — ' (уз)„и, значит, у, .= / (х,), )ц = / (хе). Для любых двух чисел х, и хз возможно одно из трех соотношсний: х, =- х„х, ) х, или х, г. х,. Первые два случая невозможны, ° ) Определение оорюыой функиии см. в и. 43.
а б. Свайпва функций, ненрермвнне на араиенеуссснах сак как если бы х, = хе, то у, = 1(хс) = 1(хе) = ум а если бы х, ) х„то у, = 1(хс)) 1(х,) = у„и то и другое противоречит условию (6,5). Таким образом, из условия (6.5) вытекает условие х, ( хм что и означает строгое монотонное возрастание функции 1 — '. Покажем, наконец, что функция 1- ' непрерывна на отрезке!с, с(). Пусть у„~с(с, с1) и хе=- 1 — '(у,).
Пусть сначала с( у,(с(, т. е. у„— внутренняя точка отрезка [п, Ь), тогда, в силу строго монотонного возрастания функции 1-' и и( х, (!х Зафиксируем некоторое е > О. Не ограничивая общности дальнейших рассуждений, можно считать (почему?), что в таково, что й ( х„— е (х, (х,+ е ( Ь. (6.6) Г)усть у, = 1(х, — е), у, =- 1(хв + е).
Тогда из уечовня (6.6) в силу строго монотонного возрастания функции 1, следует, что с (ус(уе(уе (с(. Возьмем 6 >Отасс, чтобы ус < уе — 6 ( уе+6 < уе (рис. )7). Если теперь выбрать у так, что у,— Ь(у(у,+6, то |ем более Рис. 17 ус (у (у и, следоссательссо, в силу строгого монотонного возрастания функции 1 с справедливо неравенство х,— а = 1- с (ус) ( ) — ' (у) ( 1- с (ре) = х„+ . Таким образом, длсс е)О указано такое 6 >О, что 11- с (У) — 1-' (Уе)! ( е пля всех у 6(у„— 6, уе + 6), т.
е. функция 1-' непрерывна вточке уее Если теперь ус, — — с или у, =- с), то аналогичными рассуждениями показывается, что функция 1 ' непрерывна справа в точке с и непрерывна слева в точке с(. Теорема для строго монотонно возрастающих функций доказана полностью. Заметим, что функция )строго монотонно убывает тогда и только согда, ксили функция — )строго монотонно возрастгег, поэтому спра- б„з.
Обратные с/!уннцсссс с= Исп/(х), с/= Игп/(х), (6.7) к а+О «-» — а тогда обраспноя (Ьсснкция / — ' определена на сснтереале с концами с ис!, пс. е. при отображении / образо»с интервала ялляепссн также интербол (конечныи или бесконечный). В самом деле, пусть для определенности функция / строго монотонно возрастает (случай строго монотонно убыссасссщей функции сводится к этому приемом, указанным прн доказательстве теоремы 4) и пусть а(а„(Ь»(Ь, / (аа) = с„, /(Ь„) = да, п == 1, 2... )ни Ь„=;- Ь, Я 1ип а»= а, Г! \ (6.8) тогда в силу (6.7) (ип д„.= с!.
а а« (6.9) Иьп с„=с, Н Как известно (см. и. 4.8), с=(п1/, д=зно/, Само са»! поэтому с </(х)~(с! для любой точки х ~ (а, Ь). Если бы на- шлась такая точка ха с- (а, Ь), что, например, /(х»)=-с/, то в силу строго монотонного ьссзрассассия 4«сусскссисс / ос=/(х»)(/(х) для любого х) х, из [а, Ь), что несовместимо с (6.10) Значит, с(/(х)(с! для всех к~(а, Ь). С другой стороны, каково бы ни было у»~(с, с(), из условия (6.9) следует, что существует такой комер п„(см. п. 3.!И что сн„(у,(д„,. Функция / на отрезке (а»„Ь„.! удовлетворяет ус»и!аням теоремы 4, поэтому множеством ее значений на этом о~резке является отрезок !с„„дн 1, в част- ности, существует такое х»~ 1аа., Ьн,), что /(х»)=у„.
Таким обра- зом, интервал (с, д) является множеством значений функции /, а значит, и множеством определенна функции / Лемма доказана. (6. 10) ведлнвость теоремы для строго монотонно убывающих функций следует нз рассмотренного случая. Теорема доказана. Рассмот!ссс»с теперь случай функции, определенной на интервале.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
