Кудрявцев Л.Д. - Математический анализ (1077055), страница 23

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 23)

В силу этого определенна запись «а(х) = о(1) при х- хит означает просто, что функция а(х) является бесконечно малой при х — х. Если 1(х) + О прн х+ х„, то условие а=е), 1ппе=О, (8.23) ко можно переписать в виде а Игп — = О. к кч (8.24) Таким обРазом, фУнкшгЯ о(/) пРи х- хгп /(х)+ О пРн х вакх„, может быть определена как такая функппя, что Ип! — =О. (И к»кк (8.25) В случае, если функция 1 является бесконечно малой прн х-ихсн то говоРЯт, что пРи х-ьхв фУнкциЯ а =е», где Игпе О к кк является бесконечно малой более высоково порядка, чем ~. Например, х'=о(з!пх') прих-иО, ибо х' ..

х" 1нп — =-Игпх Ип1 — „=О ° 1=-0. к»о«1пх к О к о $1пх" 1 Г! Подобным образом — =-о~ — ) и х=-о(х') прн х-ноо. кк ~к) Отметим, что если )=о(й) прн х — «хв, то и подавно ~=0(й) пРи х-к хв; в самом Деле, пУстьг=ей, гДе Итие=О, тогДа фУнкк»к„ ция е=е(х) ограничена в некоторой окрестности гочки хв (см. п. 4 6): !е(х)! (с, х ть хгн и, значит, (1(х)» < с(й(х)( в указанной окрестности точки хгн гто и означает ~=0()!). У п раж ее о ив 1. Пустьр=О(ак» прин хв, 1ипа=о,тогдв р==г (а» ири х х« к к ~,=.(Р), .-Хгн а =о(р), хнхв, При использовании равенств с символами О и о следует иметь в виду, что эти равенства не являипся равенствами в обычном смысле этого слова.

Так, если В.к Сйсвкенне функций 1 га то было бы ошибкой сделап, отсюла заключение, что а, = а„как это было бы справедливо лля обычных равенств. Например, ке =- о (х) н к' = о (х) при к -~ О, но х' + х". Подобным образом, если имеется равенство вида ) + о(/) =- и + о()) при х — ь хм то было бы ошибкой сделать заключение, что / = д. Дело состоит в том, что один и тот же символ О()) или о(г) может обозначап разные конкретные функции. Это обстоятельство связано с тем„что прн опрелелении символов 0(~) и о(0 мы, по существу, авели целые классы функций, облалающих опрелеленнымн свойствами (класс функций, ограниченных в некоторой окрестности точки х, по сравнению с функцией г, и класс функций, бесконечно малых по сравнению с функцией г' прн х — х,), н было бы правильнее писать не а = 0(~) н а = оЯ, а соответственно а( О(() и а( о(Г).

Однако это привело бы к существешюму усложнению и большим неудобствам при проведении вычислений с формулами, в которых встречаются символы 0 и о. Поэтому мы сохраним прежнюю запись а = О(() и а = о(/), но при этом этн равенства будем всегда читать, в согласии со сделанными определениями, только в одну сторону: слева направо (если, конечно, не оговорено что-либо лругое), Например, запись а= Ч). х- мм означает, что функция а является бесконечно малой по сравнению с функцией ( при х км но отнюль пе то, что всякая бесконечно малая по сравнению с ) функция равна и.

В качестве примера па обращение с этими символами докажем равенство (8.26) о (с() =-- о Щ, где с — постоянная. Согласно сказанному, нам надо показать, что, если и = — о(с(), то д = о()) Действительно, если д = о(с)), то д =- ес!, где !пп е(х) =- О. Положим е, = се, тогда и = е,г", где, очевидно, к к„ Иш е,(х) = О и, значит, д = о()). Равенство (8.26) показано. В заключение отметим, гго сказанное об использовании символов о и О, конечно, не исключает того, что отлельные формулы с этими символами могут оказаться справедливыми не только при чтении их слева направо, но и справя налево; так, формула (8.26) при предположении с+ О справедлива и при чтении справа налево. 11Ь б Я Сравнение фрнкг/гкй.

Вмкнсленпе пределов У п ра ж не ни н. 2. Доказать, что если а — бесконечно малая при х-кха, то прях ка о[а«|.= о |ск), а о|а! = о |а'|, о|ск| ° О(ск| = о |а'!, о(а+ а«! =о|а), о(а! -[- о (а) = и (а|, ок |а| = о (ак). 3. Пусть! |гп /(1) = л, п ркчем / (1! + о и рн 1 ~ Ь в некоторой окрестности г а точки 1= а. Тогла, если кр(х) =о [к)(«Ц прн х о, то юр[/(1Ц =о [ЬЦ(1|Ц при 1 Ь; а волив(х) =О [к)(«Ц при« о, том[/(1Ц=О(о[/[1Ц) при 1 Ь. 8.3.

Эквивалентные функции Теорема 1. Для того чглобы две 4рнкг/ии /=)(х)и Ь"=-й(Х), /(Х) тн О, К(Х)+О При Х+ Ха бЫЛи ЭКВиВиЛЕятНЫЫи При х-к-х„необходил|о и достаточно, чтобы выполнялось хоть одно из условий (8.27) или к — ) =- о(к). (8.28) Доказательство необходимости условий (8.2?) и (8.28). Пусть 1[го — 1, тогда 1!гп 1(1 — — /1 =О, откуда ! . 1 ! к «к я/ 1||и я — г- = О, т. е. (см. (8.25)) и — /=о(д). Аналогично из услок кк я вия ![гп — =1 получается /7 — != о()). я к кк l Доказательство достаточности условий (827) и (8.28). Пусть, например, д — ! о(д), т.

е. выполнено условие (8.28), тогда 1 — — =- — и 1|го — =«Цгп 1(1 — — /г = О(а) . / . 1 о(я) ! Ь И к к К к «к И о( | =..1 — 1цп — к- =1 (см (8.25 ). Аналогично доказывается достаточ«к, ность условия (8.27). Отметим, что из выполнения одного из условий (8.27) или (8.28) следует выполнение другого. Если, например„ выполнено условие (8.27), то в силу теоремы 1 функции / и д эквивалентны при х-ьх„и, значит, в силу той же теоремы выгголняется условие (8.28). Аналогично доказывается, что из условия (8.28) следует условие (8.27). Следствие. Пусть !|гн — =с + О, гдгс — постоянная, п|ог.

Р к «к / до д — с[ и д=с/+о()) при х-+.хо. 8.4. Метод ниде«наг»я гяннноо чегго фуннт(нн 117 Л о к а з а т е л ь с т в о. Если )пп — = с+ О, то 1пп — == 1, и, 0 8 к л ! к- л» сГ значит, д — с( при х — х,. Отсюда по теореме 1 имеем и =.с(+о(с)), а значит (см. конец п. 8 2), гг = с! + о((), Теорема 2. Пусть !' — 11 и д — д, при х-ьхо. Тогда если сугцествует Игп —, то существует и Игп —, причем й «-к, 8» х к» 8 Игп — =!пп — .

й (8.29) л-х» Ы к к» 8» До к аз а тел ь ство. На основании теоремы 1 имеем /== )г + о(/,) и с =И, + о(иг) при х- х„, поэтому, применяя теорему о произведении пределов, получаем о ИИ) Игп — =- Игп ' ' — =-1пп — ' х- х 8 к к 8»+о(8») к к ег о(8») !+— 8» о (й) +— й й = Игп— о о(8») к «» 8» + 8» ! =- Игп — ' Игп й к к, 8» х к» ! Теорема доказана. Поскольку обе части равенства (8.29) равноправны, то из доказанной теоремы следует, что предел, стоящий в левой части, существует тогда и только тогда, когда существует предел в правой части, причем в случае их существования они совпадают. Это делает очень удобным применение теоремы 2 на практике: ее можно использовать для вычисления пределов, не зная заранее, существует или нет рассматриваемый предел.

У п р а жнем не 4. доканать равенство (8.29), в случае когда 1(х) 1(ги — равен оо, + оо нлн — оо. х к 8(х) 8.4. Метод выделения главной части функции. Применение к вычислению пределов Пусть () — бесконечно малая при х-н х,. Если () представима в виде И = а + о(и), где а — также бесконечно малая при х — х„то бесконечно малая а называется главной часа!ью бепсонечно малой (3.

Если задана бесконечно малая !т', то только по ней самой ее главная часть не определяешься однозначно. Например, пусть 118 й 8. Гран»анне функций. Вмчисленна ар«да«оа )) = х + х' + х'. Поскольку, с одной стороны, х' + ха = о(х) при х- О, то () = х+ о(х) при х-+ О, а с другой стороны, сР = о(х+ ха) при х — О, то () = х + х' + о(х + ха) при х -э- О. В первом случае главная часть а = х, во втором а = х+ х'. Однако, если зада- ваться определенным видом главной части, то при разумном выборе этого вида можно получить, что главная часть указанного вида определяешься однозначно. Например, справедлива следующая лемма.

Лемма. Если сусцеопврет главная часть вссда А(х — х,)', А+ О, где Л и й поспюянные, спо средсс главных пассией такого вида она опре- деляется едсснственнылс образом. Действительно, пусть (3 = А (х — ха)»+ о ((х — х,)»), Л + О, и () =Л,(х — х,)»' +о((х — х,)» ), А, +О. Тогда (3 — А х — х,)», (3 — Ад(х — х„)»' при х- хе. Поэтому Л(х — ха)» — А,(х — х,)»', т. е. А (х — ха)» «-«» Лс (х — «о)' что справедливо лишь в случае А = А, и й = сгс. Метод выделения главной части бесконечно малой функции широко и с успехом используется при решении разнообразных задач математического анализа. С помощьк> этого метода обычно удается более сложную бесконечно малую функцию в окрестности данной точки заменить с точностью до б»сконечно малых более высокого порядка более простой (в каком-то смысле) функцией.

Например, если бесконечно малую () удается представить и виде б =- Л(х — х,)» + о((х — х,)»), то это означает, что с точностью до бесконечно малых более высокого порядка, чем (х — ха)» при х — х„, бесконечно малая () ведет себя в окрестности точки хсн как степенная функция А(х — х,)". Покажем на примерах, как метод выделения главной части бесконечно малых применяется к вычисленисо пределов функцийа>. При этом будем широко использовать полученные нами соотношения эквивалентности (8.22). Пусть требуется найти предел (а значит, в частности, и доказать, что он существует) )снп сп(1+ х+ ««) + асс«со зх — 8«« «-о асп2х -1- 12» х+ (е« вЂ” 1)' «с Заметам, что мы уже мепольаоаала »тот меток ера лоха«атал»стае теоремы 2.

6.4 Метод омдехених гхаоноа части ф1гнкяии 119 Используя доказанную выше (см. 8.22) эквивалентность 1п (1 + и) — и при и — н О, имеем 1п (1 + х т х") — х + х' при х-нО, поэтому (см. теорему 1) 1п (1+ х+ х') = х+ х" + о(х+ х'), но о (х + х') =- о (х) (почемуг) и х' = о (х) прн х -н О, поэтому 1п(1+х+хл)=х+о(х) при х — нО; далее, агсз!и Зх — Зх, поэтому а гез! и Зх = Зх -! - о (Зх) = Зх + о (х); бх" = о (х); из з!п2х — 2х получим з!п 2х =- 2х+о(2х) =- 2х+ о(х); из !яхх — х" получим ! я' х =- х' + о (х") — — — о (х), а нз (е" — 1)' — хл получим (е' — 1) =- х'+ о (х') = о (х). Все эти соотношения написаны при х-ч.О.

Характеристики

Список файлов книги