Кудрявцев Л.Д. - Математический анализ (1077055), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Произподнпн обрпгноя функции )зт 9.6. Производная обратной функции (Гг (уа) ггу г(г (ха) ох (9.20) т. е. производная обратной функции равна обрагпной величине производной данной функции. Д о к а з а т е л ь с т в о. Зафиксируем какую-то окрестность точки ха, на которой функция 1 определена, непрерывна и строго монотонна, и будем рассматривать 1 только на этой окрестности. Тогда, как мы знаем (см.
п. 6.3), обратная функция определена, однозначна и непрерывна на некотором интервале, содержащем точку у„ а именно на образе указанной выше окрестности точки ха, и, значит, ес.чи Лх = х — хгь ЛУ = У вЂ” Уа, У = 1(х), то УсловиЯ Лх - 0 и Лу - 0 эквивалентны. Мы имеем ах ! ду ду ах При Лх — 0 (или, что то же в силу сказанного выше, при Лу -г. О) предел правой части существует, значит, существует и предел левой части, причем Ьх .
ах 1 ! !нп — = !!иг — = а 'оаУ а.- дУ !. дУ в)(ха)' а «о ах Но !нп — = — —, поэтому — '=-, что и требаах дг (уа] «Г' Ьъ) хх оаУ "У ву = в)(ха) ' и'х валось доказать. Эта теорема допускает наглядную геометрическую интерпре- гЧ (ха) тацию (см. рис. 28). Как известно, ' = — 1аа, где а — величина угла, образованного касательной графика функции ! в точке (ха, у,) с осью Ох, а = 1и(), где р — величина угла, обра- '(Г (Уа) зованного той же касательнон с осью Оу. Теорема 5. Пусть функция у = — 1[х) определена, непрерывна и строго монотонна в некоторой окрестности точки х, и !густо в точке х, суи(ествуепг производная — + О„пюгда и обе((ха) ратная функция х = 1 '(у) имеет производную в точке уа = 1(ха), причем Е К Производная и дифференциал Очевидно, р= ~ — а, поэтому Г ! У о ! ! 1 ! 1 !ко с!я ! о — а/ бх Рассмотрим примеры применения формулы (9.20). 1.
у=агсяпх, х=япу, — зу (у =- —, — 1~» с1. >с и Применяя формулу (9.20), х получим — = (агсз!п х)' = — =— бу бх бх соз у бу Рис. 26 Так как — -~ у я з-, то сазу~~О, поэтому сову и Ф = '1'1 — ып'у угТ вЂ” Р. Таким образом, 'агсз!пх) ==,. 1 )>>! — х» 2. у = агссоз х, х =- соз у, 0< у ( и, — 1 х < 1. Аналогично предыдушему примеру бу, ! 1 1 — =(агссоь х)— бх з!а У )>л1- соз' у бу г. е. > ! (агссозх) = —— 1/1 — хл 3. у=-агс1ох, х=-1йу, — 2 ( у ( 2 > — оо(х(+ос ° Д Д Имеем бу ! =(агс1ях) = — =сов»у= — =- бх бх 1+ !И~у 1+» ' бу Р т производная и дифференциал слоятиае функиии итак, (агс(9 х)' =.
+, . 1 4. у = агсс(а х, х =- с(д у, 0 ( у ( и„— оо ( х ( оо. В этом случае — =- (агсс19 х)' .= — = — з(пе у = — — — = —— Лх Лх 1 !+с1нэу 1+ха' лу 1 (агсс(и х)' =— ь = 1+ха 5. Если у=1ооих, х=-ат, а)0, а+1, х)0, — оо )'( + оа, то лу — = ((од х)'= — = Лх а Лх ат !пи х!па ' т. е. и частности, при а=е (1п х)'=— х У и р а ж я е н н е 3.
Докаэать, !то если функция у = 1(х) определена, непрерывна и строго монотонна в некоторой окрестности точки ха и если в Л!(хе) х существует производная — =- О, то обратная функция(-'(у) имеет в П лх точке у„= 1(х,) бесконечную производную„и, виачит, в условном смысле 1 (считая — = ои) формула (9.20) справедлива и в этом случае.
О 9.7. Производная и дифференциал сложной функции Теорема 6. Оусгпь фунт(ия у=((х) имеет проивеодн!ро е точке хси а фУнкЦиЯ г = Р(У) имегип пРоитеодндю е пни!не Уа=)(хи). Тогда ь некопшрой окресп!нос!пи точки х„имеет смысл слозснан функция ф(х) =-Я1(х)1 и в!па функция и!тетке !ьнеегп проааводную е точке хи, причем ПУ (х„) =- Р'(у,))и(х ), (9.21) или, опуская вначекия аргуменпго, ах (12 Л~ ли =ау лх д и.
Производная и дидкререннипл Г40 где !нп е(Лу) = О. Функция е(Лу) не определена при Лу = О. ду о Для дальнейшего будет удобнее доопределить ее и при Лу = О. Это можно сделать произвольным образом. Проще всего продолжить ее «по непрерывности», положив е(0) =- О. Доопределенная таким образом функция е(Лу) непрерывна при Лу = О. Поделим теперь обе части равенства (9.22) на Лх чь О.
Получим а ="'(у)л'+а(Лу)~л (9.23) Функция у = — 1(х) имеет производную в точке х„т. е. существует предел 1нп — =1 (ха). (9.24) дк о Из существования производной 7'(ха) следует непрерывност~ функции у = Я(х) в точке х„: 1нп Лу =.-. О. ак'о При Лх =- 0 имеем Лу =- О. Следовательно, Лу, рассматриваемая как функция Лх, непрерывна в точке Лх = О. Поэтому, согласно правилу замены переменных в пределах непрерывных функций (см. п. 7.2)„имеем (9.25) ! нп а (Лу) = О. ак о Теперь из (9,23), переходя к пределу при Лх-+ О, в силу (9.24) и (9.25) получим формулу (9.22).
Теорема доказана, 3 а м е ч а н и е. При доказательстве теоремы было сказано, что к(Лу) можно доопределить произвольно при Лу = О. Однако, если, например, взять в(0) = 1, то на первый взгляд форму.па (9.21) не получится, и не только потому, что в этом случае нельзя применить правило замены переменного для предела непрерывной функции, а потому, что если в(0) =1 и если существуют такие Лх+ О, для которых Лу = О, то равенство (9.25) будет неверно.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласно теореме 2 настоящего параграфа, функции у = 1(х) и г = Яу) непрерывны соответственно в точках х и ув =- ((ха) и, следовательно, в силу леммы п. 5.2 в некоторой окрестности точки хо имеет смысл сложная функция Ф(х) = )з(1(х)1. Функция Р имеет в точке у производную я, значит, дифференцируема в этой точке (см. п. 9.2), т. е. Лг = Г (у,) Лу -1- е (Лу) Лу, й 7. Проиннодиан и диолйеяеиииан еножиоа 4уиияии 141 Это, однако, не влияет на окончательный результат.
Действительно, если для сколь угодно малых Лх Ф О существует Лу = О, то отсюда легко следует, что 1' (х ) = 1! гп — У = О, а „о ах и, следовательно, второй член в правой части равенства (9.23) все равно стремится к нулю при Лх -+ О (более того, в этом случае, как это легко увидеть, все члены равенства (9.23) стремятся к нулю). Можно было бы воспользоваться также и тем, что из формулы (9.2) следует, что а(О) = О, На примере приведенного выше доказательства теоремы 6 хорошо видно, как удачно выбраннан вспомогательная конструкция (в даннол~ случае просто доопределение в нуле функции е (Лу) нулем) может существенно упростить доказательство.
Следствие (инвариантность формы первого дифференциала относительно выбора переменных): л(г=г'(уо)бу=Ф'(хи) 1(х. (9.26) В этой формуле е(у = !'(х) е(х является дифференциалом функции, а 1!х — дифференциалом независимой переменной. Таким образом, дифференциал функции имеет один и тот же вид: произведение производной по некоторой переменной на дифференциал этой переменной — независимо от того. является эта переменная в свою очередь функцией или независимой переменной. Докажем это.
Согласно формуле (9.7), г(г = Ф'(хо)е(х, отс1ода, применяя формулу (9.2!) для производной сложной функции, полУчаем е(г = /"(Уо !'(хн) йх, но !'(хо) е(х = г(У, поэтолюУ бг .= Е'(уе) е(у, что н требовайось доказать. Отметим, что теорема 6 по индукции распространяется на супер- позицию любого конечного числа функций.
г!апример, для сложной функции вида г(у(х(!))) в случае диффереицируемости функций г(у), у(х) и х(/) в соответствующих точках имеет место формула дг де ду Йх Й дудин! В случае, когда приходится иметь дело со сложной функцией г = г(у), у = у(х), для обозначения производной г' употребляется еще внизу индекс х или у для того, чтобы указать, по какой нз переменных — х или у — берется производная, т. е.
пишут г. или г, В этих обозначениях формула (9.21) имеет вид г„=г у,. 142 Е 9. Приииииднии и аи4иреренииал Примеры 1. Пусть у=х", х)0, найдем ак ' йи и Имеем х"=ел где и=а(пх. Замечая, что „вЂ” =- —, получаем ю ак х' Ек Ееи Ееики а и а а — ! — — — — — = еи. — = еи " ' — = ах йк ак йи ах х х Таким образом, (х")' = аха Теперь х — а 1 а" х+а х — ак' У 2а !к — а! (к+а (х+а! 1 х+а х+а — (х — а) 1 2а л — а (х+ а)и ли — ал 3. Найдем производную фуикцип у .
(п ~ х+ 1/ х'+ А ~. Воспользовав!вись замечанием в примере 2 о дирререициро. ваиии абсолютноч величины функции, получим у'= — = (х+ )/ х" + А ) = в)яи(к+ 3/х'+ А ) 1 4. Пусть у ==- (пх агсяп — . к Найдем производную и дифференциал этой функции: 1 т' 1 Г, 11' у'= (1плагсяп — ~ =21пагсяп — ~!пагсз!п — /1 =- к~ к ! 1 г . 1л' =2 !пагсяп —.— ~агсз(п — /1 = х' 1( л/ игсыи— 2. Найдем производную функции Заметим, что если функция и =и(х) дифференцируема и п(х)+ О, то !и!'=и'ядп и. 143 9.7. Прпнзнсднан и дифференциал слсхснпдфинкянн ! — 2 !п дгсз1п ~Г 1~х) 1 агсз!и— х ! 2!п агсз!ив х ! ! х ! ~/'хз — ! агсгнп— х д ~1пз агсз!и — ) = 2!п агссй и — г! ~ 1п агсгйп — ) = 1! 1 г . 1к х) х х) =2 1пагсз!и— 1 1 х 1 агсз!и— х 11 г( ~агсз!п — ) =.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
