Кудрявцев Л.Д. - Математический анализ (1077055), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Пусть ОА — неподвижный радиус, О — подвнжный, образующий угол х, О ( х ( —, с радиусом ОА. Соединим точку Л 2' : точкой В отрезком„восставнм нз точки Л перпенднкуляр к раднусу ЭА до пересечения в точке С с продолженнем радиуса ОВ (рнс. 19). Гогда площадь треугольника ЛОВ равна — тс з!и х, площадь сектора ! 2 4ОВ равна — В х, а площадь треугольника АОС равна — Д 1о х.
! 2 Греугольник ЛОВ является частью сектора ЛОВ, который в свою и!ередь является частью треугольгнка АСС, поэтому — Язв!их( — йзх(-- - Вз(!кх. 2 2 2 откуда получим х 1 ( —.— ( —— з!и х соз к 4 Х Ола аенае фанхгсагГ Имеаехеаае аГхдегоа 1Оз агегс х х. а х (8. 5) Зго равенство получается аналогично предыдущему из (8.3). Лемма 2.
! !(гп(1+х)" =а. о (8.8) Ранее (см. п. 3,6) было доказано, что !(гп (1+ — 1 =е, а х Х й/ (8.7) где и = 1, 2, .... Отсюда следует, что для любой последовательности !гго) натуральных чисел, такой, что 1'п' гга = + оо > (8.8) имеет место !пп (1+ — ~ =е. (8.9) а- ~ па~ В самом деле, пусть задано е ) О; из (8.7) вытекает, что существует такое п., что при п ~~ и с )(1+ — ) — е!~е, (8.1О) а из условия (8.8) следует, что существует ~а~ос йа, что па )~ па р й>х;, у у ~810)((1е — ) — )< р Ф)х,, аа) что и означает выполнение (8.9). Пусть теперь последовательность (х„1 такая, что 11гпха — --О н х„>О.
(8.11) Функция у =- з1п к строго монотонна и пеп1ы!гывпа на отрезке ~ -' '! — —, — !, поэтому гк ратная функция х=агсяп у также строго моно- 2' 2 !' тонна и непрерывна на отрезке ! — 1; 11. Поскольку гйп О = О, го условия х- О и р — О эквивалентны (см. замечание в конце п. 4.51. Для вычисления предела (8.4) применилг правило замены переменного (см. теорему 3 и. 4.5), положив у = агссйп хг агеа!и х .
у 11гп = (пп =1. о х г о а!ау Следствие 3. 8.Ь Некотор!ла еолакотелькые пределы !Оз Покажем, что Ип! (1+ хд) "=- е. ПРи этом без огРаниченна обЩно- сти можно считать, что х„(1, 1!=1. 2, ... (почемур). Для ася! ! КОГО Хд ИайдЕГСя таКОЕ НатураЛЬНОЕ Пто ЧтО ( хд( — и, п»+ ! о» следовательно, и„+1) .! > пд.
кт, Поэтому 1 (1+ — ) ((1+ хд)" ((! + — ) . (8.!2) Замечая, что в силу (8,9) о +! и +! И 1нп (1+ — ) =Ип!(1+ — ) Ит(1+ — )=е, и переходя к пределу в неравенстве (8.12) при тт-а ос, получим 1 Игп (1+ х„)"» =. е. д-к Поскольку (хд) — произвольная последовательность, удовлетворяющая условиям (8.11), то тем самы»1 доказано, что ! 1ип(1+х)' =е. (8.13) +О Пусть теперь последовательность (хд) такая, что Ип! х„= О, хд ( О. (8.14) Положим у„=.
— хж тогда у„)О и 1ппу»=О, причем без ограничения общности можно считать, что уд< 1, А=1, 2, .... Тогда ! ! 1 1пп (1+ хд)"» !пп (1 — уд) е» ° Ип!!- — — !У» » ее »-» »- '. 1-У» ! = и !т! + — "'" !1У» - Ищ(! + ед)'» » в( ! Уд)» в 4 д. Сравнение фина!о» Вмниоленне пределов где >О и И „.=-О, 1 — и» ». и в силу уже доказанного равсисгва (8.13) 1пп(1+ х„)к» = !пп (1+ г»)'» Игп(1зь г») —. е. Но (л»' была произвольная последовательность, щая условиям (8.14)„поэтому ! 1пп (1+ х) ' = е.
удовлегворя!о- (8 18) к — О (8.16) и, в частности, при а=-е Иш — = 1. 1и (1 + х) «..о х В самом деле, используя непрерывность логарифмической функции (см. теорему 4 из Э 7), иепрерывиость суперпозицьш функций (см. и. 6.2) и равенство (8.6), получим ! )пп — ': — л '=- Ии !ой,(1+ х) = !ойв Иш(1+х) = )од е, !Ока(! 1 «) к к-О к к О к О Следствие 2.
1'пп =! п а. ак — 1 *-О к В частиосги, если а = — е, то ек — ! Ип! — = 1. к О К (8.18) Фуикпия и =- а" — 1 строго моиотоииа и непрерывна иа всей )и !1 4 у) ссщсстееииоя оси, поэтому обратная фуикция х = )4 также 1и а И Таким образом, фуикция (1+ х)", х+ О, имеет в точке О пределы слева и справа, равные одному и тому же числу е, поэтому существует и двусторонний предел, также равный е (см. и. 4.5). Лемма доказана. Следствие!.
Иш — — ' =-!од„е, а)О, а+1, ~<~бе (1 + «) к -. О х 8.2. Српвненгге г!гунн!гас строго монотонна гг непрерывна при у) — 1. Поскольку прп х = О имеем также и у =- О, то условия к- О и у — О эквивалентны (см. замечание в конце и. 4.5). Прнмешгм для вычисления предела (8.! г) правило аамены перелгенного (см. теорелгу 3 п. 4.5). Положив 1и (1+у) х = +«', получим ги а а" — 1 . у!и а.
! 1пп — =!пп =!и а =!и а. к О к у О !и(!+у) . 1и(!+у) ни| у о у 8.2. Сравнение функций Все нижерассматрнваемые в этом параграфе функцпи определены на интервале (а, Ь) — конечном илп бесконечном, кроме, быть может, хо~ (а, Ы.
Если х„= а нли к„= Ь, то пол пределом понимается соответственно предел справа нли слева. Прн этом не исключается и случай х, = +Ою или х„= — аа. Как мы уже зиаелг, сумма, разность и произведение бесконечно малых функций являются также бесконечно малыми функциями; этого нельзя, вообще говоря, сказать об нх частном: деление одной бесконечно малой на другую может привести к раэнообгразным слу- чаям, как это показывают нижеприведенные примеры бесконеч!ю малых при к -+ О функций а(х) н !)(х). Пусть, например, а(х)=х и ()(х) = х', тогда Игп — = 1пп х = О, р (к) к- О а(К) к- О Игп = Игп — = ио. а(к) 1 к О Р(к? к О х Если же а(х)=х, (3(х)=2х, то Иш — =х, р (х) о а(х) а если а (х) = х, р (х) = х ей и —, то предел 1ип — не сушест- 1 (1 (к? к к-О а(К) вует.
Определение 1. Если для двух (Ьункций !(х) и о(х) существуют такие поспгоянные с ) О и Ь ) О, чпю 1((х)! < с )й(х)! при !х — х ! ( Ь, х+ хгн то еоворят, тпо Р является оераниченной по сРа Онению с 8 4цнкЦией в некопюРой окРестносгпи точки ха, и ггиигггпь что Кх) = 0(сг(х)) (чипгиенюя: «!(х) ссгпо (? болыиое огп д(х)л) при х- х„. Подчеркнем, что значок х — х, здесь имеет другой, чем обыч- но, смысл: ои лишь указывает на то, что рассматриваемое свой- В 8. Сравнение функций Вычисление пределоа !12 )и~ 1 ( ! 1 )2+ к!и — ~ 2 — ~гпп— ~ — ~ = ~ 2+ з( и — ~ < 2+ ! з1 п — ~ «3.
Лемма. Если 4ункции се = а (х) и !1 = и (х) таковы, что ск(х) +О, (1(л)выО при х + х, и сцсцесюпврет предел 1нп — = с+ О, а (к) «к (1(к1 (8.19) п«о они одного порядка при х-н х . В самом деле, условие (8.19) эквивалентно (см. п. 4.7) усло- виям — с+а,(х) н — — +е,(х), р(х! и(к) сс (х) Р !к) е где !!гпе,(х) Ишв„(х) О, к к, к»к« ство имеет место лишь в некоторой окрестности точки х,; ни о каком пределе здесь речи иет. 1 /1! ! 11 1 Например, — = 0~ — ~ при х- О, нбо ~ — ~ ( — при ~х1(1; х~ 1 /!1 1 1 1 — =0~ — 1! при х — «оо, ибо — (~ — ~ при~ х~ '. 1.Запись)(х)= к" ~х) к« ~ х =0(1) при х- ха означает, что функция )(х) ограничена в нее!и 2х которой окрестности точки х„например — =О(!) при х — О, х еип 2х гнп 2х ибо Игп =2, и, значит, функция — ограничена вокресг«-и х х ности точки х = О.
Определение 2. Если функции 1(х) и п(х) такие, что 1= 0(и) и р = 0 (1) при л -е х„то они назеевая«п!ся фу!нкциялеи одного порядка при х -е ха. Это понятие наиболее содержательно, когда функции / и а являготся либо бесконечно малыми, либо бесконечно большими при « х - х,. Например, функции а = х и р = х~2 + з(п -~ явля!отса при х- О бесконечю малыми одного порядка, ибо В.2. Српвноное функций и, следовательно, !ех(х)((1 и !е,(х)!(1, х.-ь-.хо„в некогорой окрестности точки х,. Отсюда следует, что в указанной окрестности выполняклся неравенства ) — ~~ <(с!+1 и ) — -( < +1, т. е. р==0(а) и а.==0(р) при х- х,. В качестве примера возьмем функции а= Зх" и () =-3!их'.
гпо х' 1 Имеем 1пп — — — !пп -' — =- — (см. (8.1)), поэтому, согласно к о а 3 л о х " "3 доказанному, функции Зх' и япх' одного порядка при х- О. Определение 3. Две лрункции 1(х) и д(х), ! (х)+О и й(х)+ О прн х+хо, называгопюя эксисалентиыли при х- хо, если !пп — =. 1 1(х) к -к, в" (х) или, что то эке, если 1(п1 — — = 1. й (л) л к, 1(х) Эквивалентность функций при х- хо брделг обозначать следунхцнм образом: 1 — й при х-ьхо. Гслн ) -д при х- х, и й — й при х — х„то и à — Ь при х-ьхо.
(8.2О) В самом деле 1(гп - -=- 1!гп — ° Иш — = 1. й Из результатов п. 8.1 следует, что при х- О имеет место следующая эквивалентность бесконечно малых: х — з!пх — !пх — агсяпх — агс1пх- 1п(1+х) — ех — 1. Из этих соотношений эквивалентности следуют и более общие соотношения: если и(х) — какая-либо функция, такая, чго 1пп и(х)::к О, (8,21) к-о причем и(х) эь О при х:/-О, то при х — О и(х)- з!и и(х)- 18 и(х) — агсз!п и(х) — агс(ии(х)— — )п !1-! и(х)1 — е"'"' — 1. (8.22) Это сразу следует из правила замены переменного для пределов функций (см. теорему 3 п.
4.5). Р В Сравнение 4г11нкцгггг Выннсввнхе нрелехов 114 Определение 4. Если а(х) = е(х))(х), где !пп е(х» = О, то говоряггц к -ккк что а является бесконечно малой функцией по сравнению с функцггейг и птиут а — -- о(!) (читоегпся: «а есть о малое от 1») при х-н х„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
