Кудрявцев Л.Д. - Математический анализ (1077055), страница 21
Текст из файла (страница 21)
а'+т для любых вегцестлвенных чисел х и у. 3. (а )э=акт для любых веи!ественных чисел х и у. 4. Она непрерывна в каждой' точке числовой оси. Д о к а з а т с л ь с т в о с в о й с т в а 1. Пусть для определенности а ) 1 и х( у. Существуют (почемуу) рациональные числа гт и гм такие, что х ( г, ( ге( у.
Выберем какие-либо последовательиости рациональных чисел (г,',) и (г,",) так, чтобы 1пп т,', =- х, к !пп г„" = у и чтобы г„' ( г, ( тк ( г,", для всех и =- 1, 2, .... Тогда й 7. Не«ьрер»евнь»ез ь злезюнн»аных функций 10В Таким образом, если х ( у, то а' ( аг, что и означает строгое монотонное возрастание функции ак при а ) 1. Случай а ( 1 рассльатривастся аналогичным образом.
Доказательство с в о й с т в а 2. Пусть («',) и Я— такие последовательности рациональных чисел, что !)ьп«'=х, в 1(пь«",=у, и, значит, !!пь(,.„'+«,,)=-х+у (см. и. 34). Тогда в н- и силу определения показательной функции й ==!ЬП1й"к и = 11«ил» (ивй и = а й . "+г» +» к.
и. » Заметим, что из свойства 2 следует, что для любого вещественного х справедливо равенство а'и- = ае =- 1. Поэтому — з 1 й ок Доказательство свойства 4". Всылуужедоказанной строгой монотоиьюсти функции а' утверждение леммы 2 настоящего пункта справедливо (вместе с доказательством) не только для рациональных, но и для всех вещественкых й. А именно для любого в > О суньествует такое 6 =- 6(е) О, что!а" — 11 ( в для всех в е щ е с т в е н н и х чисел Л, удовлетворяющих условию !А( ( 6. Пусьь х фиксировано, Лу»=а" +' " — а'--=а"(а ' — 1). Согласно сказанному, для любого е'зО существует такое 6.=61 а 1, что о" ) аа' — ! !( —, при ! Ьх!(6ввь н, значит, ( Ьу!=-а" (авк — 11<. в при (Лх ((6, что и означает непрерывность функции а' в точке х. Доказательство свойства 3. Пусть сначала у =-" р — целое положительное число; тогда, р раз применяя свойство 2, получим (У.13) е> Овойспн» 3 Судет доказано, после доказательства свойство 4.
н»> Ог ..стим, что и' > О при любом вещественном х. зио легко вытекает нз «войс-з 1 н 3 творенье 3 и из того, чьо иа="1 (ср. со свойствезш о' ирн рацио- ~ альных г.оььзателнх «). 7.2. Пан«зила«!иная, логарифлли«ариан и рти«аннан Чллллл«иии 103 Если же у=- — —, то Р ч (а ) ХР 1 ! — = — =а ХР („.х!и а ! Наконец„очевид!!о, что (а")а = 1 = аи.
Таким образом„доказано, что для любого вещественного х и л!обого рационального г (7.!4) (ах)х — ахх Пусть теперь задано еще одно вещественное число у, возьмем какую-либо !юследовательность (гн) рациональных чиссл, сходящуюся к у. Тогда из (7.14) для всех п = 1, 2, ... будем иметь (а )« — -а «, (7.15) Поскольку !пп хг„= ху, то, согласно доказанной выше непре« рывности функции а"', 1!гп а""« = а'и. « (7.
16) С другой стороны, в силу определения показательной функции ! ! гп (а')" « =- (а')'. (7.17) « Переходя к пределу в равенстве (7.15) при п-и со, в силу (7.16) и (7.17) получим свойство 3 теоремы 3. Теорема доказана. 1«' а У и ри ж и е н нс 1.
Л!!низать, «га (аа!х =--алах и ~ — 1 =- — Лин ню- '!,йЛ рх тли!х а > О, й > 0 н нсы!Чга ю 1 Пусть, далее, у= —, где д — целое положительное число. ПоЧ ! Х Х кажем, что (ах)'! =а'л, т. е. что а ! является корнем д-й степени из числа а". Для этого согласно определеншо корня, кадо х '1« доказать, что (а «/ = а; это же сразу следует из доказанного равенства (7.13). Пусть теперь у = —, р и !) — положительные целые, тогда, со- Р гласно уже доказанному, и ! ! лр (ах!" =- 1(ал)р)« = (ахр)« =а и . 7. Непрерывность зленентарпех фднкцю. 104 Определение 3. Функция, обратная к показапсельной срункци! у = а" (а ) О, а ин 1), назавоетея логарифмической и обозначаепня у = !ой„х.
Если а = е (см. п. 3.2), то вместо у = !орех типун. !!рос!по у = — !и х. Теорема 4. Функция у = !о!1, х, а ) О, а+ 1, определена для всех х ) О и является на атом лснозхестве строго монотонной (воз раопаюсцей при а ) 1 и убываюгцей при а<" 1) и непрермвнойфунк. цией. До к а з а т е л ь с т в о. Надо прежде всего доказать, что мно >кеством значений функции у = а" является множество всех положительных чисел.
Прп а ) 1, в силу непрерывности и строго монетов. гюго возрастания функции у = а', это означает (см. п. 4.8), что !ппа'= +ов, !ппа"=О. (7.18; При этом, поскольку пределы (7.18) существуют (см. п. 4.8), достаточно доказать, что 1пп а"" = +со (соответственно 1!гп а"' = О) П О хотя бы для одной последовательности (х„), которая стремится к +со (соответственно к — оо).
Покажем, что при а) 1 11 гп а" == + со, 11т а —" = О. а +О й -1- (7.19) а~+ ...) ап, г а" =(1-,'-ссу' ==- 1-с- па-1- и, следонагельно, !пи а" = +оч. П + Отсюда, Оси а =- — =-. О. — л 1 д ~<, !ив вп Н + 1 Если теперь а(1, то Ь.=- — )! Таким образом, (7.18) доказано. и!1П1 ал' =- !1пс — == — = ! ! х-~+ю с- ° +е И' 1!нс ел .~ + 1 = О, 1 1пс а' = — —, == + оо. 1нп Ьк Х- — ( Из доказанного следует (см. п.
8.3 н теорему 3 эгого параграфа), что как в случае а ) 1, так и в случае а (! множеством значений функции а"', а значит, и областью определения обратной функции у = !од„х является полупрямая (О, -;-оо). Этим, в частности, доказано существование логарифма для лсобого положительного числа. Все другие утверждншя теоремы 4 непосредственно следуксг из теоремы 5 п. 6.3 н теоремы 3 настоящего параграфа.
Так как а = а — 1 ) О, то, раскладывая (1+а)" по биному Ньюто- на и отбрасывая все члены (которые полоксительны), кроме второго, получим 105 7 Л. Тригонометрические функции Определение 4. Пупнь задано некоторое веи1есгг1венное число а. Функция хо, определенная для всех х) О, называепгся плененной функцией с показателем а. Теорема ог. Степенная функция х" непрерывна при всех х ) О. Действительно, х" ==еа '" -', т.
е. х" есть суперпозиция показательной функции с"' и логарифмической функции, умноженной иа постоянную: и == а!п х. Показательная и логарифмическая функции непрерывны (см. теоремы 3 и 4), поэтому, в силу теоремы о непрерывности суперпозипии непрерывных функций (см. и. 5.2), функция х" также непрерывна. Теорема доказана. При рассмотрении функции у = ха предполагалось, что х ) О, так как выражение л~ при х( 0 не для всех а имеет смысл в вещественной области. Однако, если а рационально и х" имеет смысл при ! в х (О, например, у =- х', у = †„ у =- т х, то функция у = ха будет при а ) О непрерывна иа всей вещественной оси, а при а ( 0 на всей вещественной оси, кроме точки х =- О. При х+ 0 это легко следует из теоремы 5, так как функция у = = х" если она имеет смысл и для всех х ( О, всегда является четной или нечетной функцией, а если четная или нечетная функция непрерывна при х ) О, то опа непрерывна и при х ( 0 (почему?). Если же в точке х = О четная или нечетная функции имеют предел справа, равный нулю, то они нспрерынны в этой точке (почему?).
При а ) О как раз 1пя хгх =- О, ибо ха =- еа '"" и (см. теорему 4) г-+О 1пп !п х = — оо, поэтому н этом случае хи непрерывна и при х — О. г .~- в 7.3. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции Лемма. При любом вегцесгггвенном х справедливо нера- венство ! з!и х ! ~( ! х !. Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим круг радиуса ?? с центром в точке О. Пусть ОА — неподвижный радиус, а О — подвижный, образующий угол х с подвижным. Пусть 0 < х < —; и радиус ОВг симметричен радиусу ОВ относительно ОА (рис. 13). Опустим из точки В перпендикуляр ВС на неподвижный радиус ОА. Тогда ВС Я з)п х и, так как ВС = СВ„то ВВ, 21? ейп х.
Как известно, длина дуги ВАВ, равна 2Ях. Длина отрезка, соединяющего две точки, не превышает длины дуги окружности, соединяю- а В. Сраннение диана|ай. Вичиаление пределов щей тежеточки, значит, тяп х < а~к, т. с. яп х < х. Если теперь — —,:-,. х< О, то О< — х -. —, н по~ому в силу доказанного яп( — х)< — х, по * м случае яп( — х) = |яп к| н — х=|х|, поэтому | а!п х| < | х|.
Таким образом, если ~х! < — ',„то |з!п х| < |х|. Если же | х! )--, то ~яп х! < 1 < -',- ( |х!. Лемма доказана. Теорема 6. Функции у = з|п х, у = соз х непрерыеэы на всей вен(есввенной оси. С л е д с т в н е. Функции у =- !их и у = с16 х непрерывны при всех х, при которых соз х, соотгмгпстьеино рис, |в яп х, ие обраи|авпка в ноль. Док аз а з ел ьство.
Так как |з|псс~ < 1, |сози! < ! прн лкь Ал~ | бом и н в силу леммы ) з|п — ~ < — |Лк|, то 2 ! яп (х + Лх) — яп х ! < 2 ( зш — ~ ~ сов ( х + — '~~ «( ! Лх |, |сов(х+Лх) — созх~ < 2) яп — ~ ~яп|1х+ — )~ < ! Лх|, Отс|ода следует, что прн Лх -и О левые части неравенств так>не стремятсн к пулю. Это и означает непрерывность функций яп х н соз х. ив к соз х Непрерывность 18 х = — - и с!д х = —. в точках, в которых е05 х яп1 х знаменатели пе обращаготся в ноль, следует нз непрерывности яп х н соз х н теоремы о частном непрерывных функций (см.
п. 5.2). Теорема 7. Обратные тригонометрические 4цнлции агсяп х, агссоз х, агс1н х и агсс1д х непрерывны в области их определения. Это сразу следует из теорем 4 и 5 вч 6 и нз непрерывности и стро- Г и и! той монотонности функций яп х на отрезке |! — „—, 2 |, соз х на отрезке (О, и), 1ц х на интервале ~ — — „, — ) и с(д х на интервале (О, и). й З. СРАВНЕНИЕ ФУНКЦИЙ.
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ 8.!. Некоторые замечательные пределы Для дальнейшего весьма полезно вычнслить некоторые пределы конкретных функций, з,т' Некоторые зокм«отельные оределы !07 Лемма 1. 1нп " =1. «о к илн, заменяя величины нх обратными, сов к( ' (1. (8 2) Рис. /9 х Заметим, что в силу четностн функций сох х и ' — неравенство з!и х к (8.2)справед.пиво и вслучае — — ( х( О. 2 Так как функция соз х непрерывна н соз О =- 1, то из (8.2) при к-ь 0 следует (см.
и. 4.б) равенство (8.1). Лемма доказана. Следствне 1. 1ип — — =!. !ах «-о х (8.3) В самом деле, Ип! —.— = Ип! -' — Ип! — = 1. !дх . Б!пх . ! «-о х «-0 х «о созх Следствие 2. зтс зн1 х Ип! - — =1 о х (8.4) Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим круг радиуса )г с центром ! точке О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
