Кудрявцев Л.Д. - Математический анализ (1077055), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Теперь мы имеем 1и (1+ х (- х')+ агсз!п Зх-бх' = х+ о (х)+ Зх+ о (х) — о(х) = =4х+о(х), з!п 2х 1- !я'х+(ох — 1)л = 2х !- о (х)+ о(х)+ о(х) = 2х+ о(х). Поэтому йш 1(!г й.*у~-"" 3* — Бе - нг (*г — !1П1 х о х!и2х+12'х+(ох — 1!' х о 2х+о(х) Но 4х+о(х) 4х, а 2х+о(х) 2х при х- О, и, значит, по теорел1е 2 Иго 4х+о(х) . 4х =. )пп — =2. х о 2х+о(х) х-о 2х Таким образом, искомый предел существует и равен 2. При вычислении пределов функций с помощью метода выделения главной части следует иметь в виду, что в случаях, не рассмотренных в п. 8.3, вообще говоря, нельзя бесконечно малые заменять им эквивалентными.
Так, например, прн отыскании предела выражения 1пп —, было бы ошибкой заменить функцию з1п х на эквих О валеитную ей при х-л О функцию х. Естественный метод решения этой задачи будет дан в п. 13.4. 8 8. Сравнение 4!унняид Вычисление пределов 120 В случае отыскания пределов выражений вида и(х)а1"! целесооб разно находить предел ик логарифмов. Рассмотрим подобный при мер. Найдем предел 1 Ипт соз' 2х. -о Замечая, что 1 х" 1а сах " 2х соз 2х=е (8.30) видим, что следует вычислить предел — !пса ах 1 . Рл(1 — Ы" 2.) 1ип!псов«' 2х= Игп = — 1ип х- о «ох'2о х' Так как 1п(1 — з!п22х) — — з!и'2х, то отсюда, согласно геореме 2 этого параграфа, имеем 1 .
1и (! — а)п' 2х) 1 . Мпх 2х — Ип! = — — 1ип 2 «о хх 2,-о хх но ги'22- (2х,', поэтому 1 . сии'2« 1 . 4х' — 1ип ' = — — Ищ — = — 2. 2 хо х! 2 хо хх Таким образом, 1 Ищ )псов "' 2х=- — 2. «О В силу непрерывности показательной функции из (8.30) имеем 1 х*, 1 На1 1а сах 2« Ищ СОЗ х 2 2Х Ех-+О «о е' Метод вычисления пределов с помощью выделения главной части функции является очень удобным, простым и вместе с тем весьма общим методом.
Некоторое затруднение в его применении пока связано с тем, что пока нет еще достаточно общего способа выделения главной части функции. Это затруднение будет устранено в дальИейшем (см. 2 !3). У п р а !а пение 4. Вычислить пределы: агс Мп 2х — сине х 1. 1!ич х-о х! 1-1п(1+ Зх) 1 — сах х 2. 1!и! х-о!п (1+12! х) 9.1.
Определенна производной 121 пх — («т 3. ! !т —. -о х !д х — з1п х 4. 11пз к о хз 1п(1+ а ") З, 1!и« „„„а>0, ()>О. 1п(!+ а' ) 1п!ях и б. !!и« . Указание: полезно сделать зачену х=- — — у. и со«2х 4 ( соз х т. 1!т «-,о«соз 2х ) 8. 1пп ( — ). 9. 1пп (!+2!я«к)с!а «-«о 1 1О. Нпз ( — ) ф 9. ПРОИЗВОДНЛЯ И ДИФФЕРЕНЦИЛЛ 9.1.
Определение производной Определение 1. Пусть 4ункз(ия у = 1(х) определена в некоторой окрестности точках, и пусть х — некоторая спочка этой окресзпноспии х+х,. Если отношение 1 (х) — ! (х,) к — хо илзеет предел при х-ьхо, пзо этот предел называеп!ся произ- водной функции 1' в точке х, и обозначается 1"'(хо). Таким образом, 1'(Х,)=1!ПЗ 1(х) 1(х'). (9.1) ко к — хо Если ввести обозначение х — хо= Ьх, то определение (9.1) запишется в ниде ! (х,)= ип 1(хз + Лх) — ) (хз) а о Лх ПолагаЯ 1(хо+ !)х) — 1(хо) =-ЬУ и опУскаЯ обозначениЯ аРгУмента, получим еще одну запись определения производной: у'= йт Лх Л,„о ак' 122 Е 9. Прои»падлов и дог)гферонмггал Если для некоторого значения х, выполняется условие 1ПП вЂ” =+ос, ИЛИ ИГП вЂ” = — сс, ИЛИ ИП1 — =со, дх . Лх .
Лх дк-О ДХ дк-О д» дк-О дг то говорят, что для этого значения хо существует бесконечная производная, равная соответственно +ос, — сс или сс. В дальнейшем под выражением «функция имеет производную» мы будем понимать всегда наличие к о н е ч н о й п р о и з в о дн о й, если не оговорено противное. Определение 2. Если функцил г' определена в правосторонней (лееосторонней) окрестности точки хо и существует конечный или бесконечный предел Ипг — ( " + д -+о 1(ко+ дх) — 1(хо)1 Игп П '+ ', то он назогвается соопгветственно конечног! или бесконечной производной справа (слева) функцшг ) в точке х, и обозначаетсл (+(хо) (или ('.
(хо)). Из теоремы об односторонних пределах (см. п. 4.5) следует, что функция ((х), определенная в некоторой окрестности точки х,, имеет производную 1'(хо) тогда и только тогда, когда 1' (х,) и ~+ (х,) сущесгвует и )' (х,)==~+(хо). В этом случае 1'(хо)==1' (хо)=-)ч (хо). Если функция 1определена на некотором про»ген<утке и в каждой точке этого промежутка существует производная (причем под производной в конце промежутка, который принадлежит промежутку, естественно, понимается соответствующая односторонняя производная), то эта производная 1' есть, очевидно, также функция, определенная на исходном промежутке. Операция вычисления производной от данной функции называется операцией дифференцирования.
П р и меры. 1. у =- с (с — постоянная). Так как Лу = с — с =- О, то Игп — =- О, и, таким образом, Лг ,ОДХ с'=О 2. у == я и х. Имеем Д»1 . Лх Лу=-81п (х+ Лх) — 3!п х = 2 сов (х+ — ) 51н— к н поэтому дх д г д, ого ! пп — „=- Иш соз (х+ — ~ Игп - — „: =- соз х. У дк'О Л" О -О 2)' Лх 9.1. О Юеделеное лаонооодноа 123 Таким образом, (з! п х)' = соз х. 3. у=созх.
Так как Лу= соз(х+Лх) — соя х=- — 2 з(п~х+ — ) в1п о, дх1 . дх то Дх $1н — !!п1 ып ! х+ — ~ Пп1 — „= — з! п х. Дк О 2 ~ Дх 0 2 !нп —, Ду д.ло Дх Таким образом, (соз х) = — з1п х. 4. у=а'. Имеем Лу =- а'+дх — а" =. а" (ад" — 1), поэтому д» ду „а — 1 а» дх Дх откуда з силу формулы (8.17) получаем Дн !пп — У=а" йгп = ах !па. Таким образом, (ах) — а.» )п а в частности, (е")' = е.". Последнее равенстно показывает, что число е обладает замечательным снойством: показательная функция с основанием е илеехо производную, оовпадаюа(ую с о леой функцией.
Этим и объясняется то обстоятельство, что в математическом анализе в качестве основания степени и основания логарифмов используется преимущественно число е. Это очень удобно, так как упрощает выкладки. 5. у=х", и — положительное целое. Используем разложение бинома: Лу =(х-1- Лх)л — х" =- пхл- Лх+ х — х Лх'-1- -1-Лх л (л — 1) 2 г24 4 9.
Пронзподнггк и дпг)гд>еренципл и, следовательно, Л» 2 — =пхп — '+ " ) х" ' Лх+...+Лх" — '. Так как при Лх-ьО все слагаемые правой части, содержащие множитель Лх в некоторой положительной степени, стремятся аг к нулю, то Игп — ~= ахи — '. Таким образом, б „сд» ()= В дальнейшем мы увидим, что эта формула справедлива, когда и является произвольным вещественным числом. 9.2. Дифференциал функции Определение 3. Пусть фггнкцггя у = )(х) определена внвкааюрой окрестнсопи точки х, и пусть Лх == х — х,.
Функция г называется дггффвренцируемоггр в тачке хги если тгрираи(ение Лу =- г(хс + Лх) — г(хс) предстггавггмо в аиде Лу =- А Лх+ а (Лх), (9.2) где А — пост>го>агния *г и а(Лх) =- о(Лх) при Лх — О. Линейная функция А Лх (от Лх) яазываегпся диффергн ц иалолг функции ( в тачке хс и обозначается дг(хс) или, корсве, ду. Таким образом, Лу==ду+о(Лх) при Лх-».О, (9.8) ду ==. А Лх. (9.4) Заметим, что дифференциал функции ду =- АЛх, как н всякая линейная функция, определен для лгобого значения Лх: — со . Лх ( + со, в то время как приращение функции Лу = — г(хи + Лх) — г(хс), естественно, можно рассматривать только для таких Лх, для которых х, + Лх принадлежит области определения функции П Если А + О, т.
е. если ду нь О, то дифференцируемость функции в точке х означает, что с точностью до бесконечно малых более высокого порядка, чем приращение аргумента Лх, приращение функции Лу является линейной функцией от Лх, т. е., используя терминологию п. 8.4, можно сказать, что главная часть приращения функции Лу в точке х„ является линейной функцией относительно Лх; при этом приращение Лу и дифференциал ду являются эквивалентными бесконечно малыми при Лх- О.
*г При фиксироииииой гочкс »„А есть испо>прис число, ис зииисищсс пт а»; конечна, при пзисисиии тачки к„ число А, вообще говоря, исиистси. 92 БнФФерен«иал фонеции Газ Если же А = О, т. е. ду = О, то Лу = о(Лх) при Лх- О, т. е. при Лх — О приращение Лу является бесконечно малой более высокого порядка, чем Лх.
Пусть ) (х„) = у,. Подставляя в (9.3) Лу = У(х) — ум Лх = х — х„ду = А(х — х,), получим ) х) = у, + А (х — х,)+ о(х — х,) при х - хв. (9.5) Итак, если функция г(х) дифференпируема в точке х,, то с точностью до бесконечно малых более высокого порядка, чем х — х„ она равна линейной функции; иначе говоря, в этом случае функция / в окрестности точки х„ведет себя «почти как линейная функцияъ у,+А(х — х,), (9.6) причем погреп|ность при замене функции г линейной функцией (9.6) будет тем меньше, чем меньше разность х — х„, и, более того, отношение этой погрешности к разности х — х, стремится к нулю при х — хее Для большей симметрии записи дифференциала переменную Лх в этом случае обозначают ах и называют ее дифференциалом независимого переменного. Таким образом, дифференциал можно записать в виде ду = Ас(х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
