Кудрявцев Л.Д. - Математический анализ (1077055), страница 28
Текст из файла (страница 28)
1 2 !п агсз1и— х 1 — 2 1п агсз!ив 1 г(х. 1х ! 3/х' — 1 атак!и†х 1 агсз!и— х Выведем с помощью теоремы б еще одну полезн)ю фора!улу. 5. Пусть у=и', где и =и(х))0, о=о(х). Вычислим —: г!х . Йх ф, Лес!п н и (гЬ з Фп1 г1х г!х пх — = — =е"'"" — (о!пи) из! 1пи+ — — ~! ~йх а Их/ , г!с пн = и' — 1п и + огг" — ' — . и'х ггх ' С помощьк> правила дифференцирования сложной функции можно находить н произеидные функций, заданных нелнно.
б. Пусть дифференцируемая функция у = у(х) задана неявно уравнением Г(х, у) = 0 (см. и. 4.2). (Вопрос о том, как узнать, что данное уравнение на самом деле определяет некоторую функцию, мы пока оставляем в стороне, он будет изучен в дальнейшем.) Дифференцируя тождество Р(х, у (х)) вв 0 как сложную функцию, можно вычислять производную х, Отсюда диг)ференциал находится непосредственно по формуле с(у=у'г(х, однако, если бы мы уже не имели готового выражения для производной, дифференциал можно было бы найти и непосредственно, используя его ннвариантность относительно выбора переменных: 4 9.
Проиааодиая и дидиререеи!иил (е')' = ели (з(пи)' =-и'сов и; (соз и)' = — и' з(п и; (1п сс)' =.= — (и ) 0); и' сох" и и' (агсгй и и)' =-— 1/à — ил и' (агссоз и)* =- — —;===. 1/ 1 — и' и' (с1д и)' = — —.— ииа и В качестве конкретного примера вычислим производную неяв- ной диффереш!пруемой функции у(х), определенной уравнением х'+ у' = 25. В данном конкретном случае существование по- добных функций не вызывает сомнения, так как ими, например, являются функции у = )/25 — х' и у = — 1/25 —.хз. Продифференци- руем уравнение х'+ у' = 25, считая у функцией от х.
Получим 2х + 2уу' = О. Отсюда у' = — —. У С подобными задачами приходится сталкиваться в геометрии. Пусть, например, надо найти касательную к окружности х'+ у' = 25 в точке (3; 4). Угловой коэффициент А касательной равен производной: й =-у', и,значит, в на!нем случае А = — †. Для 3 рассматриваемой точки А = — —; поэтому уравнение искомой 3 касательной можно записать в виде у — 4 = — -' (х — 3), т. е. Зх + 4у — 25 = О, Метод дифференцирования неявных функций ь!ожет быть приме- нен к выводу формул, полученных ранее другим путем.
7. Рассмотрим снова функцию у = и'. Логарифмируя, имеем !п у=и!пи. Дифференцируя результат как неявную функцию, получим — = о' !п и+ — и' 1!выражение (!п у)' =- У- называется лоеа- У У и У е о рифмической г!роизеодной функции у (х)), или у'=- у(о' !п и + — и'); и подставляя сюда у=.и', мы и получим снова формулу (9.27). Другой пример: у=-агсз(их, значит, х=-. з!ну; дифференцируя как неявную функцию, получим 1=у сову, откуда у'=- — =- сол у ! ! , т. е.
то же, что и в п. 9.6. 1/! — л|ол у '1/! — х~ 3 а и е ч а н и е. Используя теорему 6, можно все получен- ные нами формулы для производных основных элементарных функ- ций записать в несколько более общем виде: если и = и(х) — диф- ференцируеман функция, то 146 9.8. Гилерболнчегкие грункггггн и их прггвпапднме и' (ии)' =- ии"-'и' (и ) 0); (агс19 и)' =— 1+ из' (ав)' == а"и' 1п а; (аггее и) = —— 1+ из Из перечисленных формул видно (при и = х), что производные основных элементарных функций являются элементарными функциями. Полученные же нами в совокупности формулы дают возможность конкретно вычислить производную и дифференциал любой элементарной функции в случае, если эта производная существует.
Следует иметь в виду, однако, что не всякая элементарная функция имеет производные во всех точках области своего определения. Примером элементарной не дифференцируемой во всех точках функции является функция ~ х~ =-'угла; она, как мы знаем, не имеет производной в точке х = 0 (см. п. 9.2). У и р а ж н е и не 4. Ответить на вопросы. г?2 212 ду Можно или нет доклзать формулу — = — — - нри ау~о, иросто умно. дх ду Зх да жнв и разделив — на г?у? дх дх 1 Можно илн нет доказать формулу --= — прв дх ~ О, разделив числиву 111г Йх дх тель и знаменатель дроби — на дх? ду 9.8.
Гиперболические функции и их производные Определение 4. Функции — и — — - новые*+е ' е" — е ' 2 2 впюглся сг?оглсепггтггнно гиг?ерболичегкилг косггнусол1 и гиперболическил1 синусом и обозначпюгпся сЬ х и 511 х: ел+с л е' Е л — — =- с!1 Х, — — = 5Ь Х. 2 ' 2 Справедлива формула с 112 х — 5112 х = 1. (9.28) Действительно, с)1зх 5112Х,,(е +е ) ~~ е ) = — (езл-1- 2-1- е — зл — езл !. 2 е-зл) 1 6 9. Ириизеодиил и дидкфереицип.; !4з Справедлива также формула з)1 2х=2 ай хсй х; в самом деле, Š— к г2к Š— 2» =- зп 2х. ,к 2 511 х сй х =- 2 Эти формулы напоминают соотношения между обычными (как ьх иногда называют, круговыми) синусами н косинусами.
Для зп х н с(2 х имеется н ряд других соотношений, аналогичных соответствующим формулам для з!пх и созх. Зтим и объясняется назвапие функпий 511 х и сп х. Эпитет же «гиперболический» связан с тем оГктоятельсгвом, что формулы х=аспг, у=ага| (9.29) параметрически задают гиперболу, подобно тому как формулы х=-асоз(, у=-аз)п1 (9.30) (сй ) =( ~ = =з'их, (511 х)'= ( ) =- =с!1х. Таким образом, (сп х)'= зп х, (511 х)' =-сп х. »Ь» снх Частные — и — по аналогии с обычнымн синусами и коса» »Ь» синусами называются соответственно гиперболическим »пангенсом и гиперболическим котангенсом н оГюзначаются — = 1)2 х; — = с()5 х.
5Ь х сЬ х снх ' »ь» параметрически задают окружность. В самом деле, если возвести в квадрат равенства (9.29), вычесгь одно из другого и воспользоваться формулой (9.28), то мы получим уравнение х» — у' = а', т. е. каноническое уравнение гиперболы. Подобным же образом нз уравнения (9.30) вытекает х' + у» = а', т. е. уравнение окружности. Найдем производные гиперболических синуса и косинуса. Замечая, что (е — ')'= — е — ', имеем Ггепепбочичегегге фагппцгп и чг зрооглобчые упрагквенгги. 5.
Вычислить производныс !)зх н с!6«. Построить графики функций у=сйх, у=зйх, у !пх н у=с!6«. Найти произвол. ные их обратных функций. Выразить указанные обратные функции и ах производные через логарифмы. 6. Вычаслить производные следующих функций в тех точках. в ноторых опп существуют: !. у= х'!х" — 1)'. х'+ ! 2 у= хз — х+! ' З.
у=Ъ/.х. ! у х 5. у= хаь!п2« ? 2«соч х)их. х сот « 6 у=)игрй . г 2 2япгх ' з— ! 7. у =- г/ хе)д 2х — — )п агс!й Зх, 2 8. у = агсз)п х. 1 9. у = агссоз -". х' ! хе+ х)/2+1 1 «)/2 10. у.—... =- !и — + —, агсс!й — з. )/2 х" — х !' 2 + ! х 11. у = х )/аз — х" + и'агс)б —. а' 1,. у= !и (х+ Ъ1«з)-пз). х+ ! 13, у = агс!й „вЂ” ! агсз)п х ! ! — х 14. у= = — + — 1и — „ тз 2 1+х сй х 16. у=- „— — !и сйй —,, гйх х' 1 19. у = агссоз —.
' с)з х' 21~о" — В' /З/а — б х~ 20. у — х+ агс!й ) ~~ — б !)з — !О < б <- и). и а ~3 а+6 2г 16. у= 16. у= 17, у= .х" ! га." ! ах~ (юпх)" "+ )го х)еюх. <48 В >О Производные и дифференциалы онпиих порядков й >О. ПРОИЗВОДНЫЕ И /1ИФФЕРЕНЦИА/>Ы ВЫВШИХ ПОРЯДКОВ 10.1. Производные высших порядков Определение 1. Пусть функция /(х), определенная на пн<перволе(а, Ь), в каждой точке х~(а, Ь) имеет пронзая>дну>о /'(х) и пусть х<> ~ (а, Ь). Прои'водная функции /'(х) в точке х, называе>пся второй производной функц<си / и обозначаеп<ся /"(х) или / "'(х„). Таким образом, /" (х,) = [/'(х)1' !„„, илн, опуская обозначение аргуме>па, у"=(у')'. />налогпчно определяется и роизводна я у<"> л >обо го пор яд к а и= 1,2, ...: если сусцествует производная !'<" '> порядка и — 1 (прн этом под производной нулевого порядка подразул<евается сама функция у<ш = у), <по у<"> =- [у<и — < >! ' Вспоминая определение производнол (см.
п. 9.1',, определение и-й производной в точке х<, можно записать в виде предела: х Лх — <" » х /<и>(х,)=-1<и ' » ", п=-1,2, Л» о Лх Отметим, что когда говорится, что функция / имеет в точке хо производную порядка и, т. е. что существует /<">(хи), то отсюда следует в силу определения производной, что в некоторой скрестности точки х„у функции / существуют все производные низших порядков /г ( и, в час<нос>и, сама функция / определена в некоторой окрестности точки х„. Определение 2. а/»1/нкцпя / называется и раз непрерывно дифференцируемой на неко<порам промежутке, если на том про. межуткс су<цествует пропзводная и-го»прядка ро> функции / и зта производная непрерывна.
П р и м е р ы. 1. у=хи у =Зх', у'=бх, у<з> 6 у<'> у<з> О 2. у=а' у'=а' 1па, у"=а" 1п'а, у<з>=а"!и'а. Вообще по индукции легко устанавливается, что у<"> =а !п"а. В частности, (е')<и>=е", и — — О, 1,2, .... 3. у=з!их. Вычисляя последовательно производные, получим у'=созх, у" = — з!пх, у<в>=. — созх, у«>=з)их, далее производные повторяются в том >ке порядке. Чтобы получившийся результат записать одной форх<уло<1, замесим, что соза=з1п(а+ — ~, нпо- !0.2 Сводя»во прои»водных высши» порядков 149 у"=сов(х+ — 1» з|п1»+ 2 -"-~1 этому у' = соз х = з1п(х + — ',~ 1 2 ~~ и т.
д. ят По индукции (з(пх)о'1=.яи(х+и — --)для любого п=--1,2, .... 2) 4. у = сов х. Замечая, что — з(п и =-. соз (и+ — 1, аналогично 2 /' предыдущему примеру получим (соз х)1л> = соз ( х+ и —" 1 и =-- 1, 2, .... 2) 10.2. Свойства производных высших порядков ТеоРема 1. 11Уапь фУнкции У, =)т (х) иУ,=1»(х) имеют произсодные и-го порядка в точке хо, пюгда функции у,+у = = Рт (х)+ ~» (х) и Утуи = 1;(х) 1» (х) также имеют производные и-го порядка в точке хтл причем (ут+ 1;)гл1 =- у'~'+ у'с', (10.1) (УтУ.)гл =У Ух+С.У1 Ут +С.У )т+-+У«У л1 1«1 3 Дл — !1 01 .
2,<л — М т, <л1 ~1 С/г Дл — »1 Д»1 я=-о (10.2) (у у)'"'=--(у +ут)1"). Индекс (и) означает, что выражение (у,+ у,)(л) записывается подобно биному Ньютона, т. е. в виде суммы с теми же коэффициентами, что и у бинома Ньютона, только вместо степеней у, и у, берутся их производные соответствующего порядка (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
