Кудрявцев Л.Д. - Математический анализ (1077055), страница 32
Текст из файла (страница 32)
что выполияегся и послед+о,( д( нее условие 4 теоремы 2. действительно, 4 12. Рагкритие неопределенностей ао ори«или Лониаалл 168 1 где х= —, поэтому 1(х) 11 п1 в(х] Тсорема доказана. Эта теорема остается верной при соответствующем видоизменении и при х- — оо. 12.2. Неопределенности вида— Теорема 4. Пусть гРункции )(х) и (т(х): 1) дигРференцируемы на интереале (а, й); 2) (ПП ~(Х)=о«, 1!П1 р(Х) =со; х а+О х а+О 3) у'(х) ~О на (а, й); 4) су1цестеует конечный или бесконечный предел 1! п1 Г (х) к «+ау (!2.2) тогда с!(и(есте!(ет и !(гп — = !!ш 1(х) . Р (х) к а-(-О «(х) о а.(.о а (х) До к аз а тел ь ство. Без ограничения общности можно считать д(х) + О и 1(х) + О. Действительно, из условия 2 следует существование такого Ч ) О, что для всех х ~(и, а+т() указанные неравенства выполняются.
Пусть сначала предел (12.2) конечен н 1!п1, = й. Р(х) - +он('1 Пусть фиксировано какое-либо е ) О. Выберем б ) О так, чтобы для всех х, удовлетворяющих условию а ( х( а+ б, выполнялось неравенство (12.3) Зафиксируем какое-либо х, так, что а( хо( а+ б, тогда для любого х, удовлетворяющего условию а ( х ( х, по теореме Коши существует такое $, что 1(х) — 1(х«1 Р (Ц) д (х) — д (ла) е' (Г) ' )22 Неанределеннагги вида— Отсюда г (х»,) Пх) )1гх) Г(й) ягх) а(хо) я»'© а (х) и, значит, И»хо) П ', )" (г) я( ) а(х) гг ф) К(хо) !— (12А) Нам надо доказать, что левая часть, а следовательно, и правая часть этого равенства стремятся к й. Для первого сомгнгжитсля правой части равенства (12.4) прн хо, стремяшемся к а+ О, имеем Иш —, гг, Г (ч) х, а+В о (о) а для второго при фиксированном х„ 1 —— в (хо) в (л) Иш =1.
,. а г) )(хо) + ) (х) Таким образом, первый сомножитель может быть сделан сколь угодно близким к»г аа счет выбора хео достаточно близкого к а, а второй сомножитель может быть сделан близким к единице за счет выбора х, достаточно близкого к а при фиксированном х . Тем самым здесь нельзя просто использовать теорему о произведении пределов, а придется сделать последовательный переход к пределу, т. е. сначала выбрать хо дгктаточно близко к а, а затем, зафиксировав его, образно говоря, устремить х к а.
Поломшм а,= —, — гг, л($(х. Г (э) — (й)» ' о. (12.5) )гг 1( (12.6) Точка $, а потгжгу и функция а, зависят от точек х и х„однако при лгобом их выборе, ~аком, что а( х( х„( а )- 6, в силу нера- венства (12.3) имеем Э П. Ригкрытие невиределеииогтед ио иривилд Полагали !70 Положим, далее, д (хе) ! —— а (х) а (х)= — 1, е )(хд ! —— 1(х) (12.7) очевидно, !!ш ае(х)==0. а-«О Из (12.4), (12.5) и (12.7) следует, что — ) =(й-1 а,)(1+а,(х))=й+а,+((+а)ае(х).
(129) (12.8) ВыбеРем тепеРь бе так, чтобы пРн а(х(а+ О выполнЯ- лось неравенство ! ах(х)1( —— (12. 10) 2( ! Г«! 1-е) Это возможно в силу (12.8). Из неравенств (12.0) и (12.10) следует, что дпя всех х, удовлетворяющих условию а ( х ( а + Ь„гыполняются неравенства ! тг + (/г+ ат) ат (х) ! ( ! ат ~+ ( ! )т !+ ! а, ! ) ! ае«х ! ( е l е т е е е ( — + ~!й(+ — ~ 2 2 7'2(1и!+е) 2 2 ( — + — =- а. и потому из (12 9) следует, что ~ — — А ~ е при а(х (а+ 8 ! 1(х) ~ я (х) и« что н означает существование предела )пп — ' =-(т. 1(х) ,+О а [х) Пусть теперь 1пп — = ОО, тогда в некоторой окрестности 1' (х) к,+ОД (Х~ точки а имеем )'(х) ФО (почему?) и йш —, = О. Поэтому, и'(х) к «+О Г (х) согласно доказанному выше, 1!гп — = О, откуда н следует, и. (Х) к а+О 1(х) что 1!т — = Оо.
1 (х) +Он (Х) Теорема доказана. Она остаегся справедливой и для случая, когда х- а — О, а такжедля случая х-н — ои и х-~. + ОО. Из сказанного, очевидно, следует, что правило Лопиталя справедливо не только для односторонних, но и для двусторонних пределов. 1к.к Нелл(!едееелноега вида ~ Примеры на применение правила Лопиталя к нахождению пределов 1. Найти !пп — о >О. 1пх + х Замечая, что (!п х)' = — (х15)' = и х" к и что 1 1 )цп, == — !пп — „=О, ПХ1" ' С'к+ Х получаем, что Иш — — О.
!пх + х Это означает, что при х — +со функция !п х растет медленнее, чем любая положительная степень х. Иногда правило Лопиталя приходится применять несколько раз. хл 2. Найти Ит —,, где п — натуральное число и а)1, „.+ Пк х" . (кл) . пх" Игп — „=- 1пп —, =.!пп ах + ( а к ) + а лг = !пп —,— '„— - О. к +» а (п а (12.
11) Таким образом, при х -е + оо любая степень х" растет медленнее, чем показательная функция а, и ' е 1. 3. Следует иметь в виду, что проведение вычислений по типу (12.11) оправдано только в том случае, когда в результате получаегся конечный или бесконечный предел. Так, например, было бы сшибкой написать х — 51П х . (х — гпп х)' Х+ 51П Х к (Х+51П Х) !пп .
= — Ит так как предел (х — 51п л') ° 1 — со5 х Игп ., = Игп (Х т 51П Л)к К 1-1-СОХХ э 12. Рпснрмтие неопределенностей по правила Лопиталя не существуег (почему?). Вместе с тем данная неопределенность вида — может быть элементарно раскрыта: 3)п х 1 —— х — 5)п х х )пп =.=От . =-- 1. х+ Бспх, 3!п х к х У п р а ж н е н н е 1. Г1усть ! (к) = хт Мп, и (х) = 5!п х.
Найти в этом 1 Х ! (х) случае !пи — н ловазать, что лля этого првмсра правило Лопвталя иек О в (Х) применимо. 4. Неопределенности ОО, осе, О нли 1 можно раскрыть, предварительно прологарифмировав соответствугощие функции. Например, чтобы найти Ип! х", следует найти предел к +О 1 1пп х (п х =- 1нп — =.: — )пп — = — И и! х = О. 1пх . х к +О к +О к- +О 1 х +О Х хт Поэтому в силу непрерывности показательной функции ! нп хк = И!и ек 1п х = 1.
к +О к +О Неопределенности вида О- оо и оо — со следует привести к виду О ии — или — . При этом, каки всегда при применении правила Допив ае' галя, по ходу вычислений рекомендуется упрощать получающиеся выражения. Поясним это на примере. 1 т . слит х — х' соя'х б. 1ип!) —,— с1ИБХ~=- 1нп ' «О " „О ХМПХ Заметим, что 3!П Х Х С05Х 3!ПХ+ХСОБХ 3!ПХ вЂ” ХС05Х кт 5!пт х Б!ПХ Х БН1Х Предел первого сомножителя правой части находится непосредственно; 3)пк+хсоах . ! х И гп —.— — ' = Ищ! 1 -1- —.— соз х) =- 2, 5!ПХ к О! 5!ПХ 13 ! Лывод формулы Тейлора а предел !порого — с применением правила Лопиталя: ш л — л сох х х сии х !йп —, '' = !!ш «,О хес1и к „О 2хв!пх+хксоех = 1нп 1 1 х 3 * 2+ .
сов х Б!Пх Таким образом, 1ип ~ —., — с1йхх)!= —. к О ')=3. У п р а ж и е и и е 2. Найти пределы: а — х к а !. !ии , а>0. х — а 2. ! ип л !и х, е > О. к -!.О 1 3. 1ип х «! 1 с 4. 1ип ! с!ах — — ) . «О 1 х )' $13. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА 13.1. Вывод формулы Тейлора Если функция у=.1(х) имеет в точке к, произподную, то ее приращение можно прсдставнть в виде Лу = АЛх + о (Лх), где Лх= х — Х„Лу =-) (х) — уси уе=- !'(ХО) и А =1'(хо), т. е. )(х) =уе+А(х — хв)+о (х — хе) Иначе говоря, существует линейная функция Р,(х) =-уо+А(к — хс) 13.1) такая, что И~) =Рс(к)+о(к — х ), причем Р! (хв) = ув = Т (ке). Р ! (ХО) = — А = Т ( ке). Поставим более общую задачу. Пусть фуцкцня 1 имеет вточке х„л производных.
Требуется выяснить, существует или нет многочлен Р„(х) степени не выше и, такой, что ! (к) = Р„[к)+о((х — кв)а) (13.2) 4 1Л карр ох.ко тра«ори 174 ~(хо) —.. Р(хо), (' (хо) = Р' (хо), .-, )оо (хо) = Р~,"' (х,). (13л3) Попробуем паата этот многочлен по аналогии с (13.1) г анде Ро(х) =Л„+ А,(х — хо)+ Л,(х — хо)'+ ... -1- Л„(х — хоуп Замечая, что Ро(х,) =.- Л„из первого условия (13.3), т. е. условия ((хо)= Р„(х,), имеем А,=)(х„). л!алсс, Р,(х)=А,+2Л,(л.— х,)+ ... +и А„(х — х„)" Р,(х)=-2.1 Ло+ .. +и(и — 1)Л„(х — хо)о-х.
Отсюда и из условия )" (х,) = Р„(хо) получим А,= — -х — '1 и 1 (хо] 21 вообще Ло — — '), й=-О, 1, 2, ..., и. Н В силу самого построения многочлен Р„(х) = (и'!..) !1 1("о) = ~(хо)+ 1'(хо) (х — ло)+ ... + а! (х — хо)о+ ... + —, "- (х — хо)" удовлетворяет условию (13.3). Провсрим, уд~1в.геоьоряс1 ли и условию (13.2). Пусть «„(х) = ((х) — Ро (х). Из условия (13.3) следует, что «о(х,) =«„(хо)= ... =«„(х„)=О. (13.4) Поэтому, применяя и раз правило Лоппталя для раскрмтия неопределенности л„[х) о при х- хо, а именно сначала и — 1 ( ~ — ло)о раз теорему 2 из ч 12, а затем теорему 1 того же параграфа, получим "" '11.1 = ...=!пп о! 1« л'о1 «о ( «! «о ( Х ! 1!п1 " = !!1п— к, . Р— ! к *, (х хо! к-к, о!« — ло) ' «м~ (хо! кй =О, отсюда Р,(х,)=Л„н так как Р„(хо)=Г(хо).
то Л,=-Г(хо). За- тем находим втоРУю пРоизводнУю многочлена Ро(х1: 1?б 1Дб Вмлоа форма»и гейгера т. е, действительно гн(х) =о((х — хо)"). Итак, доказана следующая очень важная теорема. Теорема 4. Пусть функция !''(х) определена на интервале (а, Ь), хо ~ (а, Ь), и пусть функция 1(х) имеет в точке х, производные до порядка и включительно, тогда ) (» ) г(х)=1'(хо)+ — — '(х — хо) + " +, ' (х — х,)" + + о((х — хо)н), (13.5) или 1(х) = ~ ' (х — х,)»+ о ((х — хо)в'). »-О Эта теорема вместе сдоказательствомостаегся справедливой и для функции Л определенной на отрезке!а, Ь] при х,,~ !а, Ь), только в случае х, = а н х, == Ь под производными следует понимать соответствующие односторонние производные.
Формула (13.5) называется формулой Тейлора и-го порядка с остапгычнылг членом в форме Пеона" . Многочлен ггн)(х ) Р„(х) = ?(х,) + †",", )( — х,)+ ... + †" „',"-' (х — о (13.5) называется многочленом Тейлора, а функция ро (х) =- ! (х) — Р„(х) (13.?) — остапингнылг членом и-го порядка фар»аулы Тейлора. Каьь показано, остаточный член г,(х) является бесконечно малой более высокого порядка, чем все члены мьюгочлена Тейлора (13.6). Укажем другой внд записи форльулы (!3.5).
Пс>лагая к кгг "— Лхв ЛУ = 1 (хо + Лх) ) (хо)> получим » г») Лу= ~ ~ „") Лх»-1-)„(х). » 1 Если в формуле (13.5) х, =- О, то получается частный вид формулы Тейлора, называемый обычно формулой' Маклорена»е'. н г») ) (х) = ~~~~, х»+ г„(ха). (13.8) » о ° ) лл, Пиано (1888 — !982) — итальянский математик. ° е) К. Маклорегг (1898 — 1746) — шотландский лгатематнк. й И Фордика Тейлора (76 Доказанная теорема позволяет любу!о функцию, удовлетворяюн(ую условиял! этой теоремы в окрсстности некоторой точки, заменить многочлеиом с точностью до бескопечпо малых более высокого порядка, чем члены многочлена. Таким миогочленом является многочлеи Тейлора.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
