Кудрявцев Л.Д. - Математический анализ (1077055), страница 30
Текст из файла (страница 30)
с. использовав инвариантность первого дифференциала). Сравнивая формулы (10.9) и (10.12), мы видим, что ош( отличаются вторым членом, и так как, вообще говоря, (?туФ О, то опн существенно различны. Леля обе части равенства(10.12) на ((ха, мы получим формулу второй производной для сложной функции: е„=-з у,'+е,,у„, которая была нами получена раньше (см. (10.4)) другим путем. Подобным же образом могут б)ыгь вычислены дифференциалы и производные высших порядков сложной функции.
аж не и не 1. Вычислить проианодиые и дифференциалы; для Функции у = )»»хг )»Т — х для функции у = —,-== ', Т 1-1-х »»х-1 ь, для функции у =- — — ' ех+(1 для ф)'нкшш у = 5Ш» х; для функции у =- х сь х; для ф)нкцяп у=- хн е"', !их длн функции у =— х для Фрикции х =-. 2( — И, у = 3( — И; Упр у(а) (бо) (и) (и) (е) йн йе У»х 1'х»х для функции к == и(1 — а!и г), у= — и(1 — сонг); для фупнции х =- у — о Мп у; для функции хт+2ху — ут.=. 1. У» " У»х Ух )' Ух» й 11. ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕМ ДЛЯ ДИФФЕРЕННИРУЕМЫХ ФУНКНИИ 1!.1. Теорема Ферма Теорема ! (Фермаа).
??успгь (?)(?нкг(ая ? определена на некос)орох( ннп)ервале (а, й) а в точке 6 (- (а, ()) ггрггнцмаепг наабольи(се алн нааменьа(ее значение на (а, ()). Если производная ?'(6) сдществ(?ет, то она равна ндлю. ?( о к а з а т е л ь с т в о. Пусть для определенности функция ? в точке 6 принимаег наибольшее значение, т. е. ?(х) < ?(6) для *) П. Ферма (1601 — 1665) — французский математик. /ЬЬ теорел!и Ферл!а !и всех х(-(а, (л).
Тогда )>О к — с, если хс" 5, и (11.2) '0 если х) $. Если существует производная /'(е) =-!пп товаре /(х) — /(с) л х — ч деле при х- ие — 0 из перавепслва (11.1) получим, что /'(5) ~0, а из неравенства (11.2) при х — ль+О, чго /'Д) < О, чтовозможио лишь в случае /'($)=0. Теорема доказана. Геометрическая интерпретация теоремы Ферма состоит в том, что, если в точке $ ~(а, /л) функция / принимает наибольшее или наименьшее значении, то касательная в точке (в, Я)) к графику функции параллельна оси Ох (см. рис. 30).
Рис. еО Рис. И 3 а м е ч а н и е. Если фупкпия / определена на отрезке (а, б)„ то в случае, когда опа принимает наибольшее или иаимеиыпее зпачепия па одпом из концов а или б и когда на этом конце существуег производпая (естественпо, односторшшяя производная, так как только о ней и можно говорить в этом случае), то оиа, вообще говоря, ие равна нулю. Так, наприлгер, рассматривая функцию у = х на отрезке 10; П, видим, что эта функция в точке х =- 0 принимает наимеиыпее, а в точке х =-: 1 наибольшее значения, однако как в той, так и в другой точке производная равна единице (рис. 31). 158 !х теоремы о среднем для дофференанруел!мх фуакчаа ! ! ! ! г 11.2. Теоремы Ролла, Лагранжа и Коши о средних значениях Теорема 2 (Ролль'а').
//!/спгь Функция /: 1) нег!рерсолна на олпрезке (а, И; 2) гыиеепг о каждой пгочке ингпереала (а, /г) ггропзвдн/г/кг 3) /(а) = /(б), тосда сущестпог/егг! пгаксгя ггилскс! В, чио / (в) = О, а ( ь ( Ь. Д о к а з а т е л ь с т в о. 1(ы уже знаем, что функция, непре- рывная на отрезке, принилгает наибольшее и наименьшсе оначения в некоторых точках этого отрезка (см. п.
6.!). Пусть М = плах /(х), т = ппп /(х), тогда для всех х Е!а, И выполняется неравенство т ( /(х) ( М. Если гп = /И, то функция / постоянна и, значит, /' == О на 1а, И. В качестве точки $ можно взять любую точку интервала (а, /л). Если же и + М, то из условия /(а) = /(/1) следует, что хоть одно из значений и или М не принимается иа концах отрезка (а, И. Пусть атил! значением является М, т. е. сушествуег такая точка ~Г(а, б), что /(в) =.
М. В этом случае из теоремы Ферма следу- ет, что //(в) =- О. Теорема доказана. Геоллетрическя теорема Ролла означает, что у графика непре- рывной на отрез! е н дифференцнруемой внутри его функции„принимающей на концах этого отрез- У ка одинаковые значения, сугцествуетточка, в которой касательная параллельна оси абсцисс (рис. 32). Заметим, что все предпосылки ! теоремы Ролла сущсствапгы. ! ! Чтобы в этом убедиться, доста! ! + точно привести примеры функций, для которых выполнялись бн два а нз трех условий теоремы, третье Рис. 82 же не выполнялось н у которых не существует точки $, такой, что /'(в) = О.
(При этом в силу условия 3, в котором говорится о зна- чениях функции в кошгевых точках промежутка, следует рассмат- ривать лишь функции, определенные на отрезках.) Функшгя /(х), определенная на отрезке !О; П н равная х, если О ° . х ( 1, и О, если х = 1, удовлетворяет условиям 2 и 3, но не удовлетворяет условию 1 (рис. 33). Функция /(х) =- ~ х(, к; — 1 — 1; 1) удовлетворяет условиям 1 н 3, но не удовлетворяет условию 2 (рис.
34). "! ЛЬ Ролла О652 — 17!В) — фраииуасиий натаиатиа. 11.2. теоремы Роллл, Лаеранзеа и Коиш о средних зниченилх 1эй Наконец, функция у =- х, хС (01 !! удовлетворяет условиям 1 1 2, но пе удовлетворяет условию 3 (см. рис. 31). Для всех этих функций ие существуег точки, в которой их производная обращалась бы в ноль. Заметим, что построением соответствующих примеров (если, конечно, это удастся сделать) и проверяют обычно в математике =уществениость тех или иных условий доказываемых теорем. Рис. ау Рис.
34 В дальнейшем мы нс будем проводить проверки необходимости условий теорем, предоставляя это делать учащемуся по мере внутренней потребности. У п р а ж н е н и я. 1, доказать, что, если функния 1 удовлетворяе~ условиям теоремы Ролла на отрезке (а, Ь) и не является постоянной, то на атом отрезке сунтествуют такие точки вз и 1з, что у(в,) > О и 7 (вз) (О. 2.
Привести пример функнин непрерывной иа отрезке !а, Ь), имеющер производную в каждой точке интервала (а, Рь но не имеющей производной (односторонней) в точке и. Теорема 3 (Лагрантк ™), Пусть функция ! непрерывно па опь резке !а, Ь! ц имввтп проижодную в каждой точке инепеувалп (а, Ь), тногдп суп(ествует 1пакая точка й, что ! (Ь) — ! (а) =- !' (Я) (Ь вЂ” а), а г.
й ( Ь. (11. 3) Эта теорема является, очевидно, обобщением теоремы Ролла До к а з а тел ь с та о. Рассмотрим вспомогательную функ цию с (х) = 7 (х) — ).х, (11.4) где число ). выберем таким образом, чтобы с(а) =- с(Ь), т. е. чтобь ((а) — Ха =- )(Ь) — ).Ь. Для этого достаточно взять (11.3) ° 1 Ж. Лагранж (1730 †18) — франнузский математик и механик, )66 6 ДС Теоремы о среднем длн дифференяирдемык функни~ Для функции Е(х) выполнены все условия теоремы рояля: Е(х) непрерывна на отрезке (и, Ь), дифференцируема иа интервале (п, Ь) и принимает на концах одинаковые значения, позтому существусч такая точка 6, что г'(6) = О. У а < 6 н.
Ь. Из (11А) получаех а г'(х) =- 1'(х) — Х„поэтом) 1'(5) — Х =- О. Подставляя сюд; х пз (11.5), получим Г(Р=- '",) ' ( . ) ч Теорема доказана. Геометрический смысл тсоа 4 ь * реми Лагранжа состоит в сле- дующем (рис. 35). Пустг рис, ай А = (а, 1(а)), В = (Ь, 7(Ь))— точки графика функции 7, АВ— хорда, соединяющая точки А н В. Тогда отцошенис — — '- /(Ь) — Ви 6 †равно тапгенсу угла наклона )) хорды А В к оси Ок, т. е. ь — (н е' 1(Ь) — 1(а) а производная 1'(6), как известно (см. и.
9.3), равна тапгенсу угла наклона и касательной к графику функции 7 в точке (6, )(6)), т. е. 1' (6) == 1к и, и равенство (11.О) может быть переписано в виде 1ап=-1аР Таким образом, теорема Лагранжа показывает, что в условиях теоремы должна найтись точка 6 (может быть, и не одна — см. рис. 35, точки 6' н 5"), в которой касательная к графику параллельна хорде АВ. Теорема Лагранжа найдет ряд важных приложений в дальнейшем. Приведем другие формы записи формулы (11.3). Пусп а ( 6 Ь и — ' = О. Тогда в=а+0(Ь вЂ” а), О(0(1.
(11.7) Обратно, если 6 выражается по формуле (П.7), то, как легко видеть, а ( 6 ( ь. таким образом, в виде (11.7) могут быть пред. Ы2. Теоремы Ролан, Лагранаха и Коа>н о «Р«анях анан«ноях ставлены все точки интервала (а, Ь) и только этн точки. Поэтому формула (1!.3) может быть записана в виде /(Ь) — /(а)= — /'[а+0(Ь вЂ” а)[ Ь вЂ” а).
0(0(1. (11,8) Положим теперь а = х, Ь вЂ” а = Лх н, значит, Ь = х [ Лх, тогда (11.8) перепишется в виде /(х+ Лх) — /(х) =/' (х+ 0 Л х Лх, 0 0 (1. (! 1.9) Формула(11.9), а также, конечно, равнозначные ей формулы (!1.3) и (11.8), называетса е/горл«улой конечных прора>цений Лаврин>ха, илн просто формулой конечных прирацений в отличке от прнбли.
жспного равенства /(х+ Лх) — /(х) =/' (х) Лх, (! 1.10, которое иногда называют формулой бесконечно малых приращений. Эта формула выражает собой тот факт, что левая и правая части равенства (11.! 0) равны между собой для днфференцнруемой в точке х функции /' «с точностью до бесконечно малых более высокого порядка, чем приращение Лх».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
