Кудрявцев Л.Д. - Математический анализ (1077055), страница 34
Текст из файла (страница 34)
13.3; для этого следует в случае хо + О предварительно сделать замену переменного ! = х — х„, тогда условию х-о. к будет соответствовать условие ! — О. Случай х-э оо 1 заменой переменного х = — сводится к случаю ! -к- О. Если имеется неопределенность вида — , т. е. требуется найти Ищ („, где И)п~(х)=Игпд(х)=со то ее можно легко при» ко 0 ( ) к .кк к кк 1 вести к рассмотренному случаю — преобразованием — = — . о ! (х) и (х) о й(х) 1 ! (х) ИА ВикиСЛЕННЕ НРЕВЕЛОЕ С ПОЛЮЩОЮ йюрпулн ТейЛОРа 3ОЛУЧИ!! хк — + о(хк) ск — е "— 2х !!т, ° = )!!и х„о Х вЂ” МПХ к. О хк — + о(х") б Рассмотрим иеопределеипость вида оо †: е!Пех — хк — [- 1- хе 12 х — — + о(хк) ~ — хе 6 )пп! —,-- —., 1=)!п1,, )пп ~1~'~/, о "е'п'х -о хе(~+'(х))е х' хк х' — — + о(х") — — + о(х') 3 3 3 1 =)ип к к к =)нп хк(х".+ О(х")! О хе+ о(х") „, хк 3 = ))!и — = —— ! Га!п хт к В качестве последиего примера вычислим предел Ит !( —, ,О г.
е. раскроем неопределенность вида ! . Согласно общему правипу, исследуем предел логарифма выражения, стоящего под знаком предела: х + о(х") Ищ — )п — )пп— е!Пх . !и х . !и(1-1- о(х)) . о(х) = )!щ — „= 1)ш — „=О. к О х х „О к О Следователь ко, йГ )'=""" ' =' !п (1 + х + хк) + !п (1 — х — хк) хелп х 2. Нт к О ! (!+х) к — е сок (5!и х) — сох х 6. Нш(с!Кх)к'и * к О 4 ! 1 — хе — 4е' + !п(1 + хе) б Нщ к О асс!д х — Мп х Уп ратин ение 2. Найти пределы! х — е!их к О хе ел †! †х ††.
2 3. !Пп -о 4. Нт . -О хк = )!!п = 2. 3 к О хе 6 1ач Ы Исследо»анне неведения фу»«Ч»» соя(«е") — го (хе «) -!- ух« «о лл З. 1(г» !+к гх х«Л — „, 9. 11г» )г) — !»11 — х) — а1п ~ —, + — Ц -о! зЦ" 1 1О. 1)гп — с!ятх «гс «!» «' 1 х« — — х« 3 й 14. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИИ В этом параграфе с помощьюразвнтогов предыдущих параграфах аппарата мы займемся изучением различных свойств поведения функций. 14.1. Критерий монотонности функции Теорема 1.
Пусгпь функция / определена и дифференци руелт на интервале (и, Ь). Тогда если /'(х) л О на (ат Ь), пго /(х) строго манон!анно егх!рг!стает на (а, Ь), если эке //(х) с. О, то /(х) строго монотонно убывает ни (а, Ь). Доказательство. Пусть а<к!с. ха Ь, тогда по формуле Лагранжа (см.
п. 1!.2) /(хя) — /(х,) =. /'(9) (хт — х,), ГдЕ Х, с. 9С.' Х,. ТаК КаК Хя — Х, л О, тО /(ХВ) ) /(Х,), ЕСЛП / (еь) ) О и /(хт) с /(х ), если / (ье) с О. Теорема доказана. Отметим, что условие /'(х) ) О, являясь достаточным условием для строго монотонного возрастания функция /, не является в то же время необходимым.
Это видно, например, из рассмотрения функции у = х', для которой производная в нуле равна нулю и которая вместе с тем строго монотонно возрастает на всей числовой оси. У и р а ж н с н н е 1. Доказать, что для того чтобы функння /, определенная н днфференннруемая на интервале (а, Ь), монотонно воэрастала (соответственно убывала) на этом интервале, необходнмо н достаточно, чтобы /'(х) > О (соответственно /'(х) сс О) для всех о < х г Ь.
14.2. Экстремумы функций. Определение наибольших и наименьших значений функций Определение 1. Пусть функция /определена а некоторой окрестносгпи точки ха. Тогда х„наоыеается точкой лгаксимума (ссотеетсгпеенно точкой минимулш) функции /, если суи(его!сует такое Еа2, Экстремумы 4>викка» 6 ) О, что /(хо + с>х) < /(ха)„ес.и ! Лх) < б (соотвел>стеенно /(х + >ух) ) /(хе)). Если суи(ествует такое б > О, что /(х + >>х) < /(х>,) (соотвегпапвенно /(х,) + />х) ) /(х„)) для всех Лх + О, таких, что ( Ьх ~ < 6, то точка х, нияхвается пичкай строгого л>аксимул>а аютветственно с>прогого лтнил>ума).
Точки (строгого) максимума и минимулю называются точками (с>ярового) экстремума. Для точек строгого экстремума функции / и только для них прнрац>ение функции Ь/ = /(х, + Лх) — /(х,) не меняет знака при переходе аргумента через точку экстремума х, т. е.
при изменении знака Ьх. Именно б/ < О для точек строгого макея>мума и Л/) О для точек строгого минимума независимо от знака Ьх. Теорема 2 (необходимые условия экстремума). Пусть пючка ха является точкой экстремума >/>унк>(ии /, определенной в некоторой окрестноспи> точки ха. Тогдг> либо ггроиэводная /'(х) не суи(ествуеги, либо /'(ха) = О. Это непосредственно следует пз теореа>и Ферма (сл>. п. 11.!), примененной к интервалу (ха — 6, х„+ 6), где б есть то 6, которое указано в определении гочс>> экстремума. Отметим, что условие /'(х„) = О не является для дифференцнруемой в точке х„ функции достаточным условием наличия в точке экстремума, как это гюказмвает пример функции /(х) = х', которая в точке х = О ил>сет производную, равную нулю, но для которой зта точка не является точкой экстремума.
У и р а >к н е н и е 2 (лостаточные условия экстремума). Пусть функция / оорелелеиа на интервале (о, Э) и непрерывна в точке х ~ (о, ь). Если функния/(х) (строго) монотонно возрастает на интервале (о, хе) н (строго) монотонно убывает на (хо, Ь), то точка ха является точкой (строгого) маколь>ул>а; а если функция /(х) (строго) монотонно убывает на (а, хе) н (строго) монотонно возрастает на (хе, Ь), то точка хч является точкой (строгого) минимума.
Теорема 3 (достаточньле условия строгого энстрелеулгал. Пусть функция / диг/>г/>грен>4и/>уел>а на интерва ее (а, Ь), кроме, быть может, точки х„~- (а, б), в которой она является, однако, непрерывной. Если проиъх>дная //(х) меняет знак при переходе через >почку ха (э>по озничает, чвю суи(есп>вуги> и>акое 6) О, иио значения про>аводной /' на каждол> интервале(х, — б, х„) и (х„хо+ 6) имеют один и тот же знак, а на разных — противопо,южный), >по точка х, является точкой стпрогого экстрел>ума.
При этом, если /'(х) > О для х„— б < х < ха и /'(х) < О длЯ ха + б ) х ) х>н Яо хе Явлаетса >почкой стРогого л>аксил>У- ма, а если /'(х) < О для хе — 6 < х < х„и /'(х) ) О, для х„+ 6 ) х ) х>н то точка х„являеЯся точкой строгого чинил>уиа (рис. 36). 1зз У /4. Исследование поведения функции д о к а з в т е л ь с т в о. рассмотрим первый случай /'(х) ) О для х < хо и /'(х) < О для х > хо, х ~ (а, Ь). По теореме Лагранжа (см. и.
11.2) Л/ = /(х) — /(х ) = /' (гв) (х — хо), где $ лежит на интервале с концами х, и х. Если х < хо, то х — х, < О и /'($) ) О, так как х < $ < х,. Если х > х„то х — х, > О и /'(й) < О, так как в этом случае г г'а х и Рис. дб х, < 5 < х. Таким образом, всегда а/ <' О, т. е. в рассмотренном случае точка х является точкой строгого максимума. Аналогично рассматривается второй случай. Теорема доказана.
Задача 4. Построить пример функпни, которая днфференпируема на интервале, достигае~ в некоторой его точке хо строгого зкстремума„а ее производная в любой окрестности точки «о, как слева,так и справа от»той точки, принимает и положительные н отрипательные значения (таким обрааом, условие изменения знака производной в данной точке, являясь достаточным условием строгого зкстремума, не является вместе с тем необходимым).
Введем еще одно понятие, полезное для дальнейшего. Определение 2. Пусть функция / определена в некогпорой окресгпносгпи точки хо. Точка хо называется точкой возрастания (убывания/ функции /, если существует птакое б ) О, что /(х) < /(хо) (соответсгпвенно /(х) > /(хо)) ири хо — б < х < к и /(х)» /(хо) (соответопвснно /(х) < /(хо)) при х < х < х, + б. Таким образом, точки возрастания и убывания функции / характеризуются тем, что при переходе через них приращение функции а/ меняет знак, а именно с « — » на «+» в точке возрастания и с «+» на « — » в точке убывании (рис. 37).
Не следует думать, что если функция определена на интервале, то всякая точка этого интервала является либо точкой экстремума функции. либо точкой возрастания, либо точкой убывания: могут гл2. экттрел»умм фуакцае !8» существовать точки, не принадлежащие ии к однол!у из указанных типов. Например, точка х = 0 для функции ° ° х'яп — при х+ О, 'г' = 0 при к=О не является пп точкой экстремума, ни точкой возрастания, пп точкой убывания. Рос 27 Уп раж иен ие 3.
доказать, что функция 1 хх 51п при х ть О» х х О при к=о имеет проиаволнуц» при х=о. Дадим теперь достаточные условия строгого экстремума, а также точек возрастания и убывания в терминах значений высших производных в точке х„. Теорема 4. Пусть функция 1 определена в некоторой окрестности точки х, и пуппь в точке х, у функции 1 ау!цеста(гкгт производные до порядка и вклгочительно, причем г (хю) — 0 для 1 1»» г! 1 ° 11"1(х ) чь О. (14,1г Тогда, если п=2й, у=1, 2, ..., гп. е. и — четное число, то функЦиа ! имеепг в точке ха стРогий ВкстРемрлт, именно лигксимУм при !гам (хр)(0 и минил!ум при !!аа!(ха))0.
Если же п=2й+1, я=О, 1, ..., гп. е. и — нечегпггое число, то функция 1* не имеет в точке х, экстремума, вта точка являепкя точкой возрастания при )газ+!1(ха)ьО и 1гбывиния при 11а"+!1(ха)(0. Предпошлем доказательству теоремы одно простое замечание Если р (х) = о(а(х)) при х-ь х„то существует такое 6) О, что при ~!х — ха)ч,б, хчь х„справедливо неравенство (1) (х) ~< — ~ а(х) ~. (14.2 й 14.
Исследование поведения функции В самом деле, (14.6) р (х) = в (х) а(х), /1 Ъ где !!сне(х)=0 и, следовательно, существует 6=6~ — /1, такое, что нри !х -хо(«,.6, хньхо, выполняется неравенство (е(х) ~ «,.— (14.4) Из (14.3) и (14.4) и следует (14.2). Д о к а з а т е л ь с т в о. Из условий (14.1) формула Тейлора и-го порядка для функции / в окрестности точки хо имеет вид Л/ /(хо+ Лх) — /(х ) = ' Лх" +ох(х), /! 1(яо! где я ( х ) о ( Л х н ) и, значит (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
