Кудрявцев Л.Д. - Математический анализ (1077055), страница 38
Текст из файла (страница 38)
П р и м е р 3. Построить график функции !а+ 1 х= Э 4 (1 — !) у= !+! ' Параметрическое представление имеет смысл для всех (, кроме ! = -(-1. Асимптоты, параллельные оси Ох, получаются при ! 1 и ! = *чч; их уравнения соответственно 1 у= — и у=1. 2 И.б Пастнрсснив графиков фунвциа В данном случае лучите рассматривать х как функцию от у, а не наоборот, так как из нарисованного графика видно, что естест- 1 венно ожидать, что х является однозначной функцией от у, у+— и у чь1.
с -г+с т- Рис. 41 11з (14.17) видно, что хх = О прп 1 =- — 1 и когда 1+21 — Р=О, т. е. при 1= 1+ 1/2 и 1= 1 — '1/2. Значению 1 = — 1 не соответствуег никакая точка графика, а при 1 = 1+ $/ 2 и 1 = 1 — $/2 соответственно 1+ 1/2 1/ 2 ! — '1/2 1/2 у= — и у=— 2+ 1/2 2 2 )12 2 Составим теперь таблицу изменения производной х и точек экстремума.
Таблица 4 1 ~ ~1+ 1/2 ~ — 1! 11 —,'2 1 2 х — о ! Л!акса нум Л1ннн- ыуы Экстре- мумы д !4. Иееледоеание поведения финкяии 208 Из таблицы видно, что в точке у= — функция х = х(у) '1/ 2 2 имеет максимум, и точке у = — — — минимум и строго моно- 1/2 2 тонна на интервалах з з з з 1 1 з (1 + аа). Следует обратить внимание па то, что, взяв переменную у за независимую, а переменную х — за завнсимую, т. е. взяв ось Оу за первую координатную ось, а ось Ох — за вторую, мы получили систему координат, ориентированную противоположно рассматриваемой нами все время системе координат, у которой первой осью является ось Ох, а второй — ось Оу. Читателю полезно убедиться, что доказанные нами выше критерии, например, для экстремумов и точек перегиба геометрически не связаны с той или иной ориентацией осей координат. Для исследования выпуклости и точек перегиба функции х(у) найдем хии: Оз(З 1 зз ЗГз+ гз) х „=- (хи)з Гг— 2 (1 — 4)з Производная х„равна нулю при 1.= — 1 я когда Р(1)=3+3( — 34з+гз= О.
Замечая, что Р'(1) = 3(4 — 1)з>0, причем Р' = 0 только в одной точке ~ = — 1, видим, что РЯ строго монотовно возрастает на всей вещественной оси (почему?). Следовательно, существует един- ственное Гз, такое, что Р((а) = О. При этом Р(0) = 3 и О, а гз Р( — 1)= — 4 < О, отсюда — 1(тз(0. Если у,= — ", то, очевидно, +зз — оа < уз < 0(можно, конечно, получить и более точную оценку у, выбирая более близкие зз и 4з, такие, что Р(гз) < О, Р(гз) ) 0), Составим теперь таблицу изменения производной х„и определим с ее помощью интервалы выпуклости вверх и вниз, а также точки перегиба — см. таблицу 5. График функции (14.16) иаследован.
Пример 4. Построить график функции х= —, з+~з ' ~з 1.~ зз Табляна Б ((ь )) (-(. () ) 2 *уу не оп реде- Точка Выпуклость Интервал лена разрыва вверх выпуклости Точки перегиба н точки разрыва Точка разрыва Выпуклость вниз Функция х (у) Выпуклость вверх Точка перегиба Выпуклость вннз Не существует Точка разрыва 208 й !4. Иееледоялнне лоеедення функа1ана Лсимптот, параллельных осям координат, в данном случае нет, так как х- оо и у — » оо прн 1-» — 1, то, возможно, существует наклонная асимптота.
Для ее нахождения вычислим соответствующие пределы: Ип! ! = Иго ! = — 1, т. е. А = — 1, !Х!-! !а 1 1пп(у — /х) =!пп( + ~ = Ип! — ь.— !11+!а 1+!а~ ! Н вЂ” !+! З Отсюда следует, что наклонная асимптота существует и что ее уравнение имеет внд ! у= х —— 3 Построим приблизительный вид графиков х(!) и у(!); для этого предварительно на!!дем производные: 1 — 2!а . ! (2 — !а~~ (14.19) а (! 1.!а)а ' а (! ! !а)а ' 1 Производная х~ обраапается в ноль прн ! = —, и меняет знак с «+» иа « — », значит, это точка максимума; производная уе об- Рис 48 рап1ается в ноль при ! = О, меняя знак с « — » на «-1-», значит, это точка минимума и прн ! = 1х2, меняя знак с <+» на « — », значит, это также точка максимума.
Из этих замечаний следует, что графики функций х(!) и у(!) имеют вид, изображенный на рис. 48. По этим графикам, зная уравнение аснмптоты, можно найти приблизительный вид графика искомой функции (14.18). Он имеет вил, изображенный на рис. 49. 13.1 Понятие предела и неирернвноспь дли вектор-функции !.!сследование производной у, позволит уточнить размеры «петин», образуемой графиком. Из (14 !9) имеем 1 (2 — И) 1 — 21» зл- Теперь видилз, что: 1) у,' = 0 при 1 = 0 н ! = 1' 2, т. е.
касателы!ая к графшсу параллелы1а оси Ох в точках (О; 0) и с в — 2) у' = оо при у 3 3 ) ! = — и 1= оо, т. е. касательная зс— 2 к графику параллельна оси Оу в точках !1 —; — ) н (О; 0).Таким /у~« 1' 2 ! О Х 3 3 ) образом, точке (О; 0) (явля!о!цейся, как говорят, точкой самопересечения графика) соответствуют два значения параметра ! = 0 и ! = оо, если Риг. 49 только доопределить формулу (14.18), положив к(оо) = О, у(оо) =- О. В этой точке две части графика имеют соответственно своими касательными координатные осп.
График функции (14.18) называется листом Декарта. Из формул (14.18) нетрудно получить его неявное задание х'+ уз — ху = О. У и р з ьх н е и и е 3. Построить грзфики следующих функций. у =-1 (ь +! )ь — 1 (х — !)-'. 2. у =-. з ь и" х + соз' х. 3 у =- хз 1и х. ьз )/~ь — 1 у .— 2ль — 1 г, ь 21 1» у 31 1з б. »=1 — е, у==21 — е — зь Р+! 7, х=- — „—, у== — —, 1» .,1 ' 1«+1 4 13. ВектОР-Функ(!Ня 15.1. Понятие предела и непрерывности для вектор-функции Определение 1. Если каждо»!у значению((- Т, где Т— некоторое множество чисел, согьтеюпспьи!11тп определенный ьеюпор 1 — — к(1) трехлгернсго просспранстеа, пи> брдзл1 госзрить, что на Т 210 Э Е5. Некьор-функция Длина всякого вектора р обозначается через !р!.
Будем пред- полагать известными основные алгебраические свойства векторов, понятие скалярного и векторного произведений, а также свойства этих произведений. Скалярное произведение векторов а и Ь будем обозначать аЬ, а векторное а хЬ . Введем понятия предела, непрерывности, производной и дифферешшала I для векторных функций. Определение 2.
Е? усть векторфункция г(Е) определена в некоторой окрестности пинки Е„, кроме, быпеь ье леоясепц самой пеочки Е„и пусть ив некоторый вектор. Векпюр а будем в называть пределом функции г(Е) при рис. до Š— и Е„и писать а=- !!шг(Е) (или г(Е) — а при Е-ь(,), если для любого е)0 существует гпакое 6= — 6(е) > О, чпю/г(Е) — а! к едлявсехЕ, удовлетворяющих условию !Š— Е !(6, !+ !, Грие.
50). Очевидно (ср. с леммой п. 4.?), что !1ш г(Е)=- а с- и тогда н только тогда, когда !пп ! г (Е) — а ! = О. 1 и Если г(Е) = (х(Е), у Е), г(Е)) и а=(а„а,, а ), то для того чтобы а=1!гпг(Е), необходимо и достаточно, чтобы и !пих(Е)= а,, !!шу(Е) =- а,, Ишг(Е)=аь. (153) и ! с ь. В самом деле, )г(Е) — а!= У !х(Е) — о!'+ ГУГЕ) — а!'+ (г(Е) — аь)'. (154) l Ъ I Ъ ! Е г!ь1-а 1 \ 3 ! ! г (15.1) определена вектор-функция, или, чпю гпо же, векпюрнпя (Ьункция, г(Е).
Если в пространстве фиксирована прямоугольная система координат, то, как хорошо известно, каждому вектору соответствует упорядоченная тройка действительных чисел — его координат, и наоборот, каждой упорядоченной тройке чисел соответствует вектор, для которого эта тройка является его координатами.
Поэтому задание вектор-функции эквивалентно заданию трех скалярных (числовых) функций х(Е), у(Е), г(Е), являющихся его координатами: г(Е)=-(х(Е), у(Е), г(Е)). >5.> Понятие оределв и непрерывности для вектор-функции тп! ! (оэтому ! г (1) — а (? ! х (1) — а )РУ т7(= (Р)(е7)з(>>Р>7 ((Р!)>7!. ((5.5) Поэтому, если р = р(1). в7 = ту(1), причем И>и~~ р (1) ! = О, а ! >7 (1) !— т-+и ограниченная функция, то нз ((5.5) имеем (см. п. 4.8) ! и п ! р >ц ~7 ! = О.
т т„ ()5.6) Пусть теперь Ип>г,(1) = а, Итг,(1) = (>. Положим т-тт, т т, а(1) =- Г,(1) — а, )>(1)= Гв(1) — 1>, тОГда, СОГЛаСНО ()5.2), )ип ! а (1) ! =- И и> ! !) (1) ! = О. т т„ т т ((5.7) ОГСЮда СЛЕдуЕт, Ч>О УСЛОВИЕ )Г(1) — а! — О Прп 1-~-1в ВЛЕЧЕТ За собой условие !х(1) — а, !. О при 1->1„т. е. условие Итпх(1)=,а, Аналогично доказываются другие равенства ()5.3). Наоборот, если выполнено ((5.3), то нз ()5>.4) сразу получаем, что (г(1) — а(- О прн 1- 1тн т.
е. а=.. )ипг(1). > („ Отметим некоторые свойства пределов векторных функций, !. Если Ип>г(1) =а, то Ип>)г(1)!=)а!. Это сразу следует из т- т,, неранено > ва )! г ! — ! а !) ( ! г — а !. 2. Игп (г, (1)+г,(1)) = !ип г,(1)+ Игпг,(1). т- т„ 3. !ип1',1) г (1) = )ип1'(1)!ип г(1) (1 (1) — скалярная функция). т- т„ т-тт, 4. И гп г, (1) гв (1) =- аппп г, (1 ) И тп гв (1). т„ т > 5. Ип> г,(1) х гв(1)=. Ип>г,(1) х )ипг,(1).
т т т-тт, В свойствах 2 — 5 нсе рассматриваемые функции определены и некоторой окрестности точки 1то кроме, быть может, самой точки 1„и предполагается, что все пределы, написанные в правых частях равенств, существу>от; тогда утверждается, что существ)чот н пре- делы, стоящие в левых частях равенств, причем справедливы на- писанные равенства.
Все эти свойства доказываются аналогично тому, как мы до- казывали подобные утвер>кдения, встречавшиеся нам раньше (см. п. 3.5, 4.6). Локажем, каприз>ер, свойство 5. Предварительно заметим, что для любых векторов р и д э !Гс Вектор-функчил 2!2 Теперь г, (1) Х г,(1) =[а+ а(1)! Х(Ь+(!(1)) = =ах 5+о х)1(1)+а(1) х о+а(1) х()(1), где в силу (15.7) и (15.6) Игп(а х(1(1) !=-Игп! а(!) х Ь) = 1(гп(а(!) х()(!)(=-О, с-+с„ с с, и так как (а х ))(!) + а(1) х (1+ а(!) х (1(1)! <(ст х р(!)! + ! а(!) х д ) + ! а (!) х (1 (!) ), И ! п ! ст х () (1) + а Я х й + а (1) х () (1) ) = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
