Кудрявцев Л.Д. - Математический анализ (1077055), страница 39
Текст из файла (страница 39)
с 1„ А это, согласно (15.2), н означает, что Игп г, (1) х е, (1) == и х Ь. с- с Свойство 5 доказано. Отметим, что свойства 1 — 5 пределов вектор-функций могут, конечно, быть получены с помошью формул (!5.3) из соответствуюших свойств скалярных функций, если перейти к координатной записи векторов и их скалярных и векторных произведений. Перейдем к определению непрерывности вектор-функции. Определение 3. Вектор-функция г ==- г(1), опргделеннпя в некоторой окрестносспи точк с 1„называепсся нессрерыссной в точке 1 „если И гп г (!) =- г (1„). ! Из эквивалентности услоннй (15.1) и (15.3) следует, что для того чтобы вектор функция г(!) = (х(1), у(1), г(!)), определенная в некоторой окрестности точки 1„была непрерывна в этой точке, необходимо и достаточно, чтобы в точке 1, были непрерывны функции х(!), у(!), 2(!).
15.2. Производная и дифференциал вектор-функции Определение 4. 1)усть вектор-функция г =- гЯ определена в некоторой окрестности псочки ! . Если существует предел Ит г(сл+ Л!) — г (!о) Лс- в Л! то он назыеаеспся производной донной векпвр-функции в пючкв 1л и обсвначветсп г'(1,).
2!3 Еао. Праиэеоднао и дифференциал аек«ар-фрикции Таким образом, производная вектор-функции в точке есть некто(ь Для того чтобы функция г(1) = (х(Е), у(1), е(1)), определенная В НЕКОтОРОй ОКРЕСЕПОСти ТОЧКИ !о, ИМЕЛа ПРОИЭВОДИУЮ В ТОЧКЕ 1„ необходимо и достаточно, чтобы функции х(!), у(1) и г(1) имели производиыс нри ! =- !о, нрпчсм в этом случае г'(1„)=(х'(Ео), у'(!о), г'(1,)), ~г'(Ео) ~ -- 3/ х" (1,) 1- у" (1,)+ г" (Ео). Это сразу следует из эквивалентности двух подходов (15.1) и 15.3) к определению предела для в«ктор-функции: г [Ео + дЕ) г г(Ео) ДЕ «( о + д б — к (Ео) у (Ео+ д 1) — У (Ео) а ( о +а!) - ',(Ео) ) =(— ле а1 де при й(-оО.
Определение 5. Вектор-функцеея г=г(1), апре)егеннац в некоторой окресгиносое точки 1о, новывиегися дифгререно(ируемой в этой то!хе, если ее преераи(ение !«г==г(!о+И) — -г(!о) в точке Е„предсшаеелмо в виде Е)г=ие)1+е(Ю) Е11 (15 8) где 1(те(Л!)=-О. При этом линейная вектор-Функция* ) аЫ надо -«о зывае«пся дифференце«алоло функции г(1) в опочке 1„и обозначается дг -аЛЕ. Таким образом, Е)г = де+ в (51) Е)1.
(15.9) Очевидно, что если вектор-функция дифферешьируема в точке Е„то она и непрерывна в этой точке. Как и в случае скалярных функций, из дифферснцируемости функции следует существование производной ! '(1) и равенство ее вектору а. В самом деле, из (15.8) имеем 11 т — =- 1ип (а+ е (М)] = а. Лг а«-~о Еи Еи о о) Век«ор-фуики«и1 аргумеи«а 1 иааывае" еи л«и~гений, если оиа имеет вид а!+ Ь, где а и Ь вЂ” какие-либо два фикоироваииык аек«ора, Е /а Вектор-аралкнпл Обратно, если существует производная г' (1о) = Итп —, то, Лг ла о Лт полагая в(Ы)= — г — г'(1,), получим М Лг = г' (1„) Ы+ «(Ы) Ы, где Ип|е(Ы)=0.
Значит, г(1) дифференцируема в точке 1о и аа о Дг=«'(1о) Ы. Положим для независимой переменной 1 по определен иао 11=.Ы, тогда (опуская обозначение аргумента 1о) пг с(г =- г' с(1, г' = — . И1 Подставляя полученное выражение для е(г в (15.9), получим Лг= г' Ы+е(Ы) Ы, или Лг = г' Ы+ а(Ы), (15.10) где а(Ы)=-о(Ы) при Ы- Он> и а(0)=0. Пусть теперь 1=1(т). Если зта функция дифференцируема в точке то, 1а=-1(то) и от.—.
т — т„то пз (15.10) (обозначая для ясности г' =г,') следует, что Лг Ла «(Л1! Лт т Ьт лт Так кшс Ы-нО прп бт-нО, то, как и в случае числовой функ- ции (см, п. с)7Ь полагая в(0)=0, получаем Ип1 — = О, н(ЛО Лт Лг поэтому производная г~ —— Ит — существует н г =га1 Лт о от Отсюда, как и в случае скалярных функш й, получается инвариант- ность записи лифт)еренциала вектор-функшнк как для зависимой переменной 1, так и для независимой переменной т имеем с(г = г, с(1, е(г = г., с(т. м По аналотнн со случаен скалярных фтннння пншетсн к=о((!! прн Ю - 1е, есле и (т) .= а (т! р (О, тле $ нп а(1! =- О.
1 «м Щ?. Проиаппдпил и дпйкрп1к,паапа ппптп1-фу~пипи Г!риведем формулы дпфферешп1рования вектор-функций (аргумент для простоты обозначений опустим): !. (Гт+Г,) =-1~+Ге. 2. ()г)'=Г'г+)г'. 3. (1, г,) == г ~ г,+ г, гт. 4. (1, . г,) =г, х г,+г, хгз. Здесь все рассматриваемые функции определены в некоторой окрестности точки 1и и предполагается, что все производные в точке 1,, стоящие в правой части равенства, существуют; тогда утверждается, что в точке 1, существуют и производные, стоящие в левых частях равенства, причем имеют место написанные равенства. Все эти формулы доказьща1отся аналогично форл1улам дифференцирования скалярных функций (см.
п. 9.5). Докажем, например, формулу 4. (4спо.пьзуя свойства 1 — 5 пределов вектор-функций, получим гз (1п + Д1) Х га (1о + Л1) — гз (1п) Х га (1а) ! Г (1) Х 1'а (1)П П = Ити д~ и Д1 гт (10+ Д1) — г! (10),( М..., ге (1п+ Д1) га (10) Д!-~0 Ду д! =г1(1п)Хта(1п)+Г,(гп) Х Ге(гп). Если вектор-функция г(1) = (х((), у(1), г(1)) определена в некоторой окрестности точки 1п и имеет и производных в этой точке, то для пее имеет место формула Тейлора и бг==г(1,+ М) — г((п)=, „— — Ма+о(М).
д г(1п) „, М д1п Эта 1)юрмула непосредственно следует из разложения по формуле Тейлора координатных функций к(1), у(1) и г(1). й(ы видим, что многие факты теории скалярных функций буквально переносятся на вектор-функции. Однако было бы ощибкой думать, что это всегда так: например, в опреде.ненном смысле аналог 1(юрмулы конечных приращений не имеет места для вектор- функций. У п р а и~ н с н и е.
Доказать, что если г(1) — лиффсреицирусиая иа отрезке (и, Ь! функция, то, вообще говоря, ие существует точки $Е (и, Ь), еакогч что г (Ь) — г (а) = г' (Ц (Ь вЂ” а). г!в у сб. Дли и Вуги куиооа й!В. ДЛИНА ДУГИ КРИВОЙ 16.1. Понятие кривой Определение 1. Пусть в прссспсрсснсспссе фиксирована прялсоугольная ссссспелт координат. Л!н осгессссис спичек (х, у, г), кппрдинппсы коспврых предспсавл«ны ксск непрерывные на некотором пссс!!елке (сс, 1с) функции перелсенного ! х=-х(!), у=-у(1), г=-г(1), 1~(а, б), называется ссираметрически заданной кривой Г, итс про«спой кривой Г. Короче эзо выражают, говоря, что кривая — эпо непрерывный образ отрезка.
Саксо указан!те лсссоскество точек называксся носипселелс данной кривой. Пе[семеннос ! называется пиримеспролс крисхссс, а функции х(!), у(!), г(с) — кпордпнапсным представлением кривой, при этом пишется Г.=-(х=-х(!), у=-у(1), г==г(1), а(1 - 6). Зада!сне трех функций х(!), у(!), г(!) эквивалентно заданшо одной вектор-функции г'(1) = (х(1), у(!), г(!)), а:.'с ..й. Поместим начало всех векторов г = г(1) в начало координат (векторы, начало косорых находится в начале коордиии, называются рпдиус-ьекторплси). Кривая Г называется в асом случае годпграфом пенс!сор-функции г(!), а сама вектор-функция г(!) — векторным ссредсссспссленссем, или вектор-предсссисвлением, кривой Г и шипе!си Г .--.
(г(!); а с. 1 < й), или просто Г =- (г(1)). Конец радиус-вектора г(!) будем обозначать «(!). Векгор функция г(!) и отображение «(с), а < ! ~(Ь, называются соответствующими друг другу. Отображение «(!), а <, 1 ( Ь, называется представлением «рсссхсй. Таким образом, имеется три вида представлений кривой: координатное, векторное и просто представление.
Если М = «(1„), то точка М и соответствующее ей значение парамегра 1е называется тачкой кривой, а сама точка М вЂ” нпстпелем этой точки кривой. Одна и та жеточка пространсгва, принадлежащая носителю кривой Г, может являться нос!мелем одной или больше точек кривой Г; последнее будет иметь место в том случае, когда существует несколько значений параметра 1, прн которых вектор-функция г(1) принимает одно и то же значение.
Такие точки называются тачками салсопеуесеченсся кривой Г, или кратными ее точками. Определение 2. Кривил без крипсных пючгк низывпессссл с!росс«!ой дугой. 16.1. П<знягне кривой Будем говорить, что точка Л( =- г(!) кривой Г стремится к точке ЕИа == г(Е,) этой кривой, если 1- 1,. Приведенное определение кривой имеет в своей основе физическое представление о з раекторпп (пути) движущейся в простраистве мазериальной частицы. Если рассматриваемая кривая Г лежит в некоторой плоскости, то эта кривая иазывается плоской. Если указанная плоскость выбраиаза коордииатиу<о плоскость хОу, то представление кривой имеет вид х;=- х(1), у= у(1), 2==0, причем уравнение 2 = О, если это ие может привести к иедоразумеииям, обычно пе пишется.
График непрерывной иа некотором отрезке (а, Ч фуикпии у = 1(х) является кривой в нашем смысле с представлеиием х=-х, у=-1(х), а~(х < 1з (в этом случае парамезр ! = х]. Порядок чисе.< (по велпчпие) иа отрезке (а, Ы с помощью пред. ставленич г(!) кривой Г =:(г(!); а < ! -. й), естественно, порождает соознетствующий порядок точек па кривой. Определение 3. Тгнкп г(! ) 1- Г с и<<<и<в«псу< предтествуюгцсй в<очке «(1") (- Г, или, что <по ясе, пю««а г(!") счшппвтся следуюи(с« за точкой г(! ), если о -..
Е' < Е < (<; поэтому кривую Г нпчывпют «<и<кохе орисн<т<ро«анной «ривой, и. с. «рпвой, на которой указан порядок следа<завив точек. То«гоп г(п) нсдыопется началом, а точка г (1!) — «онцол< и!завой. Определение 4. Если «Еа) = «((з), п<о «ривпн Г нпзьюаегпся зам«- нутой, или контуром. Зпх<«н утаи кривая, начало и конец «опюрой являются вв единипввн ныл<и кртвнылш пкх<«ами, назь<впспгся простым «онгг<уром.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
