Кудрявцев Л.Д. - Математический анализ (1077055), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Касательная к кривой. Геометрический смысл производной вектор-функции Пусть задана кривая Г ==(«(1); а < 1 < Ь) и пусть 1 ь- (а Ы. 1в+ Л1 С (а, 61. Прямую, проведенную через точки «(1,) н г(1, + Л1), назовем генуи!ей кривой Г и обозначим 1л,. Если г(1,)+ г(1 + Л!), то такая прямая единственна. (Для простоты в дальнейшем будем предполагать, что условие г(1,) чь г(1, + Л1) выполняется для всех достаточно малых значений Л1.) Возьмем какой-либо единичный вектор 1(Л1), нараплелытый секущей 1ао Например, если Л« = «(1о + Л1)— — «(1а)+ О, то можно взять 1(Л1) = — — „—, ибо, очевидно, (Х(Л() ! = 1.
Лг. Определение 9. Будгл! гагарин!ьч что секущая 1»«сп!ремтпся! к предельном(Г положгнию, когда точка «(1 + Л1) кривой Г с«прелттся к точке г(1„) (т. г. когда Лг- О), если для всех доспшншчно л!алых по абсолютной величине значений Л1 мсакно пшк выбрать указанную выиг единичную век««!о)ьф!Гнкничо 11Л1)*>, чгпо для нгг суи!ествугт предел (16.2) Иш 1(Л1).:» 1в. Л!- о При вьтплнсн!т гипаго условия под предельным положвнисм сгкущей в тоисг г(1„) будсл! ионилиипь «чрямую, проходящую через пгпчку «(1„) и параллельную вгюпору 1„.
Из формулы (16.2) следует, что угол между секущей и ее предельным положением стремится к нулю, когда Л1-»О. »> Это означает, что сушссгвуст 6 > О, та«ос, что для нссх Л1, уховаетворяюшях неравенству ! Л1! (6, можно осушсствнть указанных выбор вектора 1(Л1). У 15. Длили дуги кривил Поскольку из (16.2) следует, что !пп11(Л1) !.—.= ! 1, (, то 1, — также единичный вектор. У п р а ж и с н н е !.
Локаааггь что прямая, являюсиаяся предельным полонсением сскупсей, единственна, т. е. доказать, что сели в предположенннх определения 9 для некоторого единичного вектора 1,(ЛО, параллельного сскУшсй 1дп сУществУет Псн 1(ЛО, то опРавенлнбог„либо — 1„(см.(!62)). Лг-о Заметим, что если для некоторого вектора 1а(Л1) (не обязательно единичного), параллельного секущей 1м, существует предел !сп 1*(Л1)=1о+О, (!6.6) дг и то существует и (ип е' (лг) дг -~о ! 1* (лг) 1 По вектор гь (ЛО !1ь (ЛО ! ' а очевидно, елипичнырк поэтому согласно сделанному определению, Рис, 51 в атом случае секущая 1„стремится к пределььому положению.
Определение 1О. Предельное гсолоакение секуисей в точке «(1а) (если оно, конечно, суигестпвуегп) наливается кпсапгельной к данной кривой в пачке «(1„). Лемма. Пусть вектор-нредстаиление г(1) кривой Г дигрференИируелю в точке 1, и (а, 51 и пдсгпь г'(1„)+О. Тогда кривая !' илсеегп ксссательнУсо в точке г(1е) и пРоизводнан г"(1а) нанРавлена по втой касательной. Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, вектор Лг =г (1„-1- Л1) — г(1„), да' а значиг, и вектор —, очевидно, параллельны секущей Лс дс (рис. 51).
Согласно предположению, !1 пт — =. г' (гв) + О, Лг дг- е т. е. выполняется условие (16.3) для вектор-функции 1(Л1) = —, Лг 162 Еаопелькел к красой 222 по и означает, что в точке «(то) существует касательнаяа~ и что она параллельна сектору г'(~е). Лемма доказана. Отметим, что в рассматриваемом случае дифференциал с(ю (~о] = г'(уа) сй также направлен по касательной к кривой, ибо он отличается от производной лишь скалярным множителем А. Вектор 2= —, г'+О, является единичным вектором, на)г'( правленным по касательной. Вектор Лг при Лт)0 направлен от точки кривой с ыеньшпм значением параметра к точке с большим значением парал1етра, поэтому можно сказать, что вектор Лг при Лт)0 с~оказывает направление, в котором параметр на кривой возрастает, т.
е., как говорят, Лг положительное направление на кривой. Вектор -„-- при Л~) 0 имеет Л« то же направление, что и вектор Лг. Поскольку!нп-, =г'(т), то ы од естественно говорить, что вектор г'(1), а значит, и вектор 2, который отличается, быть может, от вектора г'(!) положительным числовым 1 множителем —,, также направлены в сторону возрастания пара(г'(О р метра и что их ориентация (направление) соответствует ориентации кривой. Направление вектора 2 (или, что то же, вектора г') будем называть положительным наиравлсииелс каса«дельной. Уравнение касательной к кривой Г в точке г(то), для которой г'(Уе)+ О, в векторной записи имеет вид г= Ю+г'(Ыт, — <т<+ Где г — текущий радиус-вектор касательной.
В координатной за. писи уравнение касательной в этом случае имеет внд л = тс(та)+ х Ио) тю у=уйо)+у'(уо)т 2 = а (Уо) + г (Уо) т, — « + У и р а ж н е н и е 2. Пусть аектор-нредстанление г (О, и < т <; о, кри. ной Г диажды диффсРенниРУемо а точке то~(о, 6) и нУсть «'(то) =. О, «" Ое) ф О. Локааатьч что крииаи Г имеет а точке «(то) касатсльну|о, н уран. пение этой касательной будет г=«(~с)+«" (та)т, — < с <+ею. ») снраисдлииосэь нерааеистиа «Оо) ~: г(то+ лй ори всех достаточно малых Л~ (лисоь ири иыиолисини которосо было сформулиронаио определение касательной) и рассматрииаемом случае следует нэ предположении, что г'(т«) ч" о у се.
Гслини дули кгсснос! Оспределение 11. Точка дифференцируемой кривой Г = (г(!)), в которой г' + О, называется неособой, а пючка, в которой г' = О, — особой. Если г = (х(!), у(!), г(!)), то из равенства (г') = ).~д."1 )" 1 (см. и. 15.2) имеем: точка (х(!), у(!), г(!)) кривой Г неоеобан тседа и !полька тогда, когда в ней х' + у' + г' > О, т. е. хоть одна из производных х', у' и г' це обращается а ноль. Согласно доказанному выше, во всякой неособой пинке кривой Г суи(есссиуессс касаспелвнол. Если допустимыми преобразованиями параметра являются строго монотонные дифференцируемые функции ! = !(т) с производной, не обращающейся в ноль, тогда неособая точка при одном представлении кривой будет одновременно неособой и при любом представлении: это следует из равенства и м м и м 2 2 х., +ух +г., =-(х, +у, +г,)1, Рассмотрим более ссодробно случай плоской кривой.
Пусть !' =- (х = — х(!), у = у(!), а < ! < (с) — непрерывно дифференцнруемая плоская кривая. Пусть точка (х (г,), у (с,)) — неособая, т. е. х' (1,) + у' (с,) ) О, например, х'(1,)+ О. Пусть для определенности х'((„) ) О, тогда в некоторой окрестности точки !в также х'(!))О и, значит, функция х(!) строго монотонно возрастает в этой окрестности; поэтому существует обратная непрерывно дифференцируемая функция ! = г(х). Подставляя ее в представление кривой Г, получим у = у (! (х)) = ! (х), т. е. в некоторой окрестности неособой точки непрерывно дифференцируемая кривая является графиком непрерывно дифференцируемой функции ); точнее, сусцествуют окрестность точки с, и непрерывно дифференцируемая функция 1, определенная на этой окрестности, такие, что часть кривой, соответствующая аначениям параметра, принадлежащим указанной окрестности, является графиком функции !. Определение 12.
Непрерывно дифференнссруелсая кривая без особых сяокек нозываетея гладкой. Крссвая, предспсавилтя как сумма конечного числа гладких кривых, называепсся кусочно-гладко л. 16.3. Длина дуги кривой и дифференциал длины дуги Определение 13. Для всякого отрезка !а, У) систему его точек гс, с =- О, 1, 2,..., п, тпких, что а=с„(г,(...(1,,(с,(...(сн=б, ГВЗ. Ллини дуги кривой и ди4ференциил длины дуги будем нпзыватнь его разбиением и обозначптпь т=(г,-»'; о.
Пусть задана кривая Г = (г (т), а < ! < 6) и пусть т = (1,»!" о— некоторое разбиение отрезка !а, 61. Положим о,= э'»е(1,) — е(! 4. 1 .3 Очевидно (рис. 62), о — длина жгманой с вершинами г(а), г(г',), ..., г(!н,), г(6), т. е., кяк обычно говорят, лолеаной, вписанной в кривую Г. Определение (4.
Величина Ь~ =аиро, (!6.4) еде верхняя гринь взята по ьсевозлюжныл~ рпабиеннял~ т огнренна Рд !а, 61, познается длиной кри юй Г, в Если 5, < + оо, гло кривпн Г Рис. 52 но:анвпеьчсн спрямляелюй. В силу этого определения спрямляел1ость кривой и ее длина не зависят от выбора представления кривой и всегда О (5т. (+ оо. у п р а ж и ение 3. доканать, что крякая, яяляюн1аяся частью соркм. ляемох кряков, также спрямляема. Лемма.
Пустив Г=Г, Г„тогда Бг ог +Бе ° а ь' Доказательства. Пусть а<с(6 и Г=(г((), а (( < 6), Г, = (г (г), а < г < с», Г =(т (г), с <г4 6». Пусть т, — разбиение отрезка 1а, 6), а т* — разбиение этого же отрс: ка, совпадающее с т,, если тт чка с входит в разбиение т и получакпцееся из т добавлением к нему гочки с, если эта точка не входит в разбиение т.
Разбиение т' является объединением двух разбиений отрезков !а, с1 и 1с, 61, которые мы обозначим соответственно т, и ть и е. т* = т, т„. Очевидно, для длин ломаных, соответствующих разбиениям т*. т, и ть, справедливо равенство о — о +о ь' В ГВ. длине дуен крисьд 226 Но впрок =5г, зпро =5гь, следовательно, о (5г -65г .
При переходе от разбиения т к разбиению т*, быть может, лишь одно звено г(1; 1) г(1;) заменяется двумя г(1, ~)г(с) и г(с)г(1,), н поскольку !г(1; ю)г(6)~ (/г(1; ~)г(с)~+/г(с)г(1,)~, то ат (о ° от~ г +5 н, следовательно, Отсюда ат, (5г — 5! следовательно, гь 1 ге~ т. е + 3 ь < ~г. Из неравенств (16.6) и (16.6) получаем (16.4). Лемма доказана.
(16.6) Знлнчн 9. Построить пример неспрнмлнемой кривой. Теорема 1. Если кривая Г=- (г(8) =(л(1), у(1), з(1)), а«(1(Ь) непрерывно дги~н)геренцируема, то она спрямляема и ее длина 5г удовлетворяет неравенству )г т1+ еле+ тв (Ь вЂ” а) ( 5г «( )г л4 ~ + й4 ее + й4 з (Ь вЂ” а), (16 7) Но 5г =апра, поэтому а+ ь (16.6) Докажем теперь обратное неравенство. Для произвольных т„ и т разбиений соответственно отрезков [а, с) и (с, Ь) и разбиения т'=-т„к ть отрезка (а, Ь) имеем а + ат = а, ( 5г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
