Кудрявцев Л.Д. - Математический анализ (1077055), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Отсюда от ~ 5~ — ат,; фиксируя разбиение ть н переходя к верхней грани о при всевозможных т„получим ь 5г < 5г ать' /д.д. Длина дуги криаад и дифференциал длина! дуги 227 где 1нг =- 1п( ~ х' (7) ~; р!а = (п( ~ у' (() /; та = )п( ~ г' (7) ~; а~1~и аж!кь а 1;1Ка М, =зпР1х'(7)~; М,=зиР ~ У'(7)~; Мз= зпР1г'(7)/. а "1н Е а<ась «а1ае Отметим, что в силу непрерывности производных х'(1), у' (П, г'(1) величины рл и Мл конечны, 11=-1, 2, 3. 1(о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем какое-либо разбиение г = (~,)';:о отрезка (а, Ы. Тогда а и,,= ~ 1г(11) — г(71 !)~= 1=! а у'1х(1,) — х(!! !))'+() (6) — у(6 !)]'+(г(6) — г(7, !))а. (!6.9) По ц,ор!гуле конечных приращений Лагранжа (см.
п. 11.2) Х(7,) — Х(7,,)аа '(Ь1)(71 — (1,), г, !<6л<(ь У(11) — У(1 — ) = У (9!)(71 — 1 — !) (! — < !)! <11 г (0) — г (11 !) = г' (Ь1) (Е! — 71 !), (1, < Ь! < 71, 1'=1, 2, ..., и. Подставляя эти выражения в (16.9), получим ! о„= ~„)! (х'(Ц!)1а+ (у'(па)1'+(г'(Г!))'(11 — 11 — !) (16.10) 1=- ! Из (16.8) следует, что 1пг<!х'(Я!)~ <М,, Р!а <!У'(!)!)1<Ма и!а <1г'(!",!)1 . Мгн 1=-1, 2, ..., л. Подставляя эти опенки в (16.10) и вынося множители 11гн1, +та+ лз и 1' М;+ Мг+ Мз за знак суммы(они незавпсят от индекса суммирования), получим а а ~! 1п1+я!г+тз у~(71 — 71 !) <о < 1' М~!+М~~+Мг зу~(( — (1 — !).
1 ! ! ! а Так как, очевидно, ~л (11 — 11 !)-Ь вЂ” а, то окончательно 1' /71! + 11!2+ 1пг (!1" й) ат от <1' М ! 1 Ма+ Мз (Ь П) для лк!бого разбиения т. 228 у (б. длина д»(гп хриеоо Переходя в этом неравенстве к верхней грани по т, получим утверждение теоремы. Теорема доказана. Теорема 2. Луеть криеая Г = («(!) = (х((), у((), г(!)); а<(-.- Ь) непрерывно дифференцируел»а. Тогда переменная длина дуги 3, отсчитыеаемая о«п начала (и) криеой Г или еоотеететеенно оп» ее конца «(Ь), яеляеп»ся монотонно еозрасп»аюи(ей, еоотеетстеенно монотонно убыеакеией непрерыено дифференцируемой функцией параметра (; при этом (16.
11) соотеетс(пеенно Е3 »Г,2 2,2 ! Е« (16.12) »и ~ б! До к а з а те л ь от в о. Пусть з = 3(() — длина дуги кривой Г от точки «(а) до точки «(!). Пусть („(- (а, Ь), („+ Л(',= !а, Н и лз =- е((», + л() — з((). Очевидно, что функция 3 = 3(() мопотошю возрастает на отрезке !а, Ы, поэтому если Л(~ О, то Лз:= 0; если же Л( < О, то Лз - О.
Поэтол»у всегда — ' э О. Применяя неравенство (16.7) к части кривой Г, соответствующей отрезку !(„, („+ Л(! при Л! > 0 (соответственно отрезку ((, + Л(, („1 при Л(< 0), получил» !Л(!1 т»+т2+тз~(!Лз! . )Л(! М»+М2-! МЗ~ откуда (и»+тг+»»»2< — < и М»+М2+Мз, (16.13) 1/« , т/ 2 2 3 де т/ 2 2 2 а! где те и М, (2 = 1, 2, 3, — соответственно н>»>кипе и верхние грани абсолютных величин производных функций координатного представления кривой Г на отрезке !!»„(, + Л(1 прн Л! 0 или на отрезке !(3+ Л(, („! при Л(<0. В силу непрерывности этих производных указанные значения т, и М„(г =- 1, 2, 3,..., принимаются в каких-то точках отрезка !(и („+ Л(! при Л(>0 илн соответственно отрезка !(„+ Л(, (,! при Л(< О. Итак, т,=- 1п(,'х'(!))=-!х'((,+ОЛ()!, 0< 0< 1, М»=-эцр)х'(()!=-)х'((„+О»Л!)!, 0< 6»<1, сд.д Л.исаа дуги влиаов и дссфсьегенссссал длины ддга поэтому 1(и!т,=-= 1сщ М =-1х'((„)1; дс.
о дс- о подобным образолс 1пп сп, == Исп Мо =(у' ((,)1, дс-о дс- о" 1!и! сп,=!!п! Мз — ! е ((о)1. дс о дс о Г!ереходя к пределу при Л(- О в неравенство (16.13), получим, д, что 1сщ — существует и что дс од! 1пп — '= х' +у +г дз,2,2 г2 ! ссг о дс дС Формула (16.11) доказана. Если теперь а = о(!) — переменная длина дуги, отсчитываемая да от конца г(Ь) кривой Г, то, очевидно, о = 5г — з, откуда -- =- — 1.
с)1 В силу этого формула (16.! 2) сразу следует из формулы (16.11): Теорема доказана. С л еде т в и е 1, Если параметра.ч на кривой является переменнан длина дуги з, спо 61-' (16.14) де с дв Это сразу следует из формулы ~ — ~~= — ' при ! =з. си / си С л е д с т в и е 2. Для всякой непрерывно дис)сференцируемой криво!с Г без особыт лсснек, т. е. для всякой гладкой кривой, суи(естнует ее предс снавление е = с (з)„в котором за ссараметр з взята переменная длина дуги кривой Г. Д о к а з а т е л ь с та о.
Пусть непрерывно дифференцируемая кривая Г = (е(!); а <! !с) не имеет особых точек, т. е. е'(!) 1=0 для всех (-'г (а, Ь!. В этом случае переменная длина дуги з = лт!) является строго монотонно возрастающей непрерывно дпфферснцируемой до функцией, ибо -- ==!с'! .-О во всех точках [а, Ь). Поэтому сусцествует обратная функция ! — — ((з), О'=з'=от, которая также строго люпотонно возрастает и имеет непрерывную пе обращающуюся в ноль производную на отрезке 1О, 5с), т. е. функция ! = ((з) является допустимым преобразованием параметра для непрерывно диффе- 230 4 1д двина дуги кривой ренцируемых кривых без особых точек и представление г = г(1(з)) является искомым представлением, в котором роль параметра играет перелсенная длина дуги.
3 а м е ч а н и е. сРорлсула (16.!4) имеет простой геометрический смысл: ~ Лг! = )г(1+ Л1) — г(1)) равно длине хорды, соединяющей точки г(1) и г(1+ Л1), а ! Лз! = !з(1 + Л1) — з(1)) — длине дуги между этими точками (рис. 53), и так как ~ йг ~ . ~ Лг ~ и а условия Лз- О и Л1- О равносильны, то Ию ~ — ~-=1, О что означает, что предел отнощення длины Рис, дд дуги к длине стягивающей ее хорды равен единице, когда дуга стягивается в точку. Обозначим теперь через о, р и 7 уг >ы, образованные вектором й㠄— или„что то гке, касательной к кривой Г = (г(л)) соосветственно сдгс с осями Ох, Оу и Оз. Тогда из равенства ~ †,~ = 1, очевидно, сле- нг дует, что проекции вектора — на оси координат равны соответствеп- Нв но соз ц, соз)) и соху, т. е.
— =(сова, соз(), сову). Иг (16.! 5) дв С другой стороны, для вектор-функции г(з) = (к(з), у(з), г(з)), как для всякой вектор-фушсции (см. п. !5.2), имеем (16.16) дв 1 йв дв дл 1 Сравнивая (16.15) и (16.16), получим — =- соз ос, — =совр, — =соз у. ду (16.17) дв йв дв В качестве примера рассмотрим кривую, иазываелсую винтовой иинией. Эта кривая задается представлением х == а сох 1, у=аз!п1, г= 61, а'+ 1инмО, О:..1~(Т. 16.4 17лоские клииме Очевидно, что винтовая линия является бесконечно дифференцируемой кривой, и так как х'~+ уса+ г'а = а' ып'1+ а'соз» ! + Ьа = =а'+ Ь" /:О, то она не имеет особых точек (рис.
54). Следовательно, переменную длину ее дуги можно принять за параметр. Найдем соответствую!нее представление. Согласно формуле (16.11), имеем — =-1/ х' -(-у' +г' = )/а»+ ба. с!! Отсюда ит 1 Рис 54 ььа 5 и, следовательно, 1= . Поэтому искомое представление 1/ч» -ь- а» имеет внд х(з)=асов ', у(з)=аз!п,,', г(з)= )/,'+ й« '= -1/.'-+ а» ' = )/из+1 О < з < Т )! а'+ Ь'. у п р а ж и е а и е 4. докааатьч что для спрямлиемой кривой беа точек самопересечеиия переменная длина дуги яиляется иеирермаиой строго моиотокиой фуикпией параметра !6А. Плоские кривые Пусть Г = (г(1); а(1<Ь) — непрерывно дифференцируельая плоская кривая, лежащая в плоскости хОу: г(1) = (х(1), у(1)), и пусть и = л(1) — переменная длина дуги кривой Г; для ее производной из формул (16.11) и (16.12) получаем (16.18) где знак «+» берется, если длина дуги м» отсчитывается от начальной точки г(а) кривой, и знак « — », если от конечной точки г(Ь). ззз й 1Б.
Илона дуги криков Из формулы (16.18) для дифференциала дуги получаем выра- кение с(з» =- с(х»+ с(у'. (16.19) В случае, если кривая Г является графиком непрерывно дифференцируемой функции у = 1(х), формула (16.18) превращается в формулу — '= ~ У 1+у", д« и, значит, »и,"1,» 1 Рассмотрим геометрический смысл формулы (16.19) в случае, когда Г являетси графиком непрерывно дифференцируемой функ- ции у = 1(х), а:, х:. Ь, и длина дуги кривой отсчитывается от начальной точки кривой (рис.
66). Пусть хо( [а, И, х, + с(х~ [а, Ь[, Уо = 1(хо) М = (х Уо) у у„+ Лу .= 1(х, + с!х), М =- у+ау »г '=-: (хо+с(х~ Уо+ ЛУ), Мод(— о касательная в точке Л!о, у РМ вЂ” приращение функции в бз точке хо+ с(х, РЛ' — прнращед ние ординаты касательной вточБх,р ке хо + с(х. Треугольник Мой« прямоугольныи; очевидно о х х,+их х МоР =- с(х, РИ == с1у, поэтом) М Ф»-=М Р»-1.РЙ«=- = с(х» гр с(у« = = с(з«, Рис. ББ т. е. длина отрезка касательной М«Л' равна дз. Иначе говоря, получим главную часть приращения длины дуги М«М, если заменим ее приращением длины касательной в точке М,. Любопытно отметить, что получается правильная формула(16.19), если, совершая некоторые ошибки, применить к «криволинейному прямоугольному треугольнику» М«МР теорему Пифагора: М„М' = М,Р'+ РМ', считая при этом, что его «сторона М«Л1» равна г(з, а не Лз, как на самом деле, а сторона РМ равна с1у, а не ее истинному значению Лу. В данном случае одни ошибки ко«шея;нруют другие и в результате получается правильный результат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
