Кудрявцев Л.Д. - Математический анализ (1077055), страница 44
Текст из файла (страница 44)
(17.13) с«я а Гд Крнвнзяв кривой 240 получим Лг = Лз Г+ — йЛУп+ о (Лзо) 1 что и доказывает справедливость нашего утаерждепия. Определение 5. Плоскость, проходящая черно касательную и гяоиную нормаль в данной точке кривой, назьааепчся соприкпсшои(ейсн пйоскоспчью. В силу этого определения соприкасающаяся плоскость определена для точек, и которых й+ О.
Найдем урааиенне этойч плоскости для кривой, заданной представлением г =г(г) с произяольным параметром Л Как и выше, производные по перемегаюму г бупем обозначать штрихом, а пронзподпые по длчше дуги в — симаой лом —. ал' Дифференцируя г = г(1) как сложную функцию г = г(л), з = з(?), получим (см. (17.14)) г' = — з' = з'Ф, г' = з' — + я"1 =- з' йи+ з"г.
(1? 15;. По йо (Эти форлчулы, очевидно, обрапчают форлчулы (17.9) и (17.10) и могут быть получены также и из них.) Отскпга следует, что векторы г' и г" также параллельны сопри касающейся плоскости; в силу же условии й+ 0 аыполняется ие рааенстао г' х г"=/=0(см. (17.7)), и, значит, г' и г" не коллпнеарны. Обозначим тепеРь чеРез го, г„и г„вектоРы г, г' и г" и некою. рой фиксированной точке данной криаой 1', а через г обозначим ге кущнй вектор соприкасающейся плоскости, тогда смешанное произ педение векторов г — г„г„и г должно быть раино нулю. гаь как все они параллельны соприкасающейся плоскости (ч" — г„, г',, г,") =О. Это и есть уравнение указанной плоскости в векторном виде.
В координатном виде оно запишется так: к — хо у — у~ 2 — е 2' о г )о у„ х о х" о где г' =(х', у', г'), г" = (х", у„", г ). В случае, если и данной точке и =- О, то любая плоскость, прог ходящая через касательную и этой точке, называется соприкасаю~пейся. 17.5 Формулы длл кривизна и лволл>л>и ллоскик кривил 17.4. Центр кривизны и заолюга кривой 241 Определение 6. 7)>чка пространства, лежащая на главной нормали к кривой в данной точке и находящаяся от втой точки на расстоянии К в направленпи всю>гора и, называется центрг>л> крпвизны кривой в указанной ее точке. Таким образом, если р является радиус-вектором центра кривизны, а г, как обычно, радиус-вектор данной точки кривой, то р = г+ )сгц или, что то же (см. (17.14)), 1 о>г р=г+ —— аг л,> * (17.16) Найдем выражение р через производные вектор-функции г по произвольному параметру й Подставляя выражение для >1'г Лà — =- — из (17.10) в (17.16), получим Вл' ое 1 $'à — 8"Г' И л'" (17.
17) где з'= !г')=- ух" +у"+г', откуда х .> + >' у + г л )> л" + у" + г' 17.5. Формулы для кривизны и эволюты плоских кривых Все сказанное в предыдутцем пункте, в частности, справедливо и для плоских кривых. Заметим лишь, что если кривая Г =- (г(1)» лежит в некоторой плоскости, то все производные вектор.функции г(1) также лемсат в этой плоскости. В самом деле, Лг = г(1+ Л1) — г(1), значит, и— Ьг аг лежит в той же плоскости, отсюда легко следует, что и г' = ! !ги--- ,„ла Определение 7.
Геометрическ»е меооо ценя>ров крпвшны кривой называется ее ывшотои. Очевидно, что формула (17.16), а также (17.17) дает представление эвол>оты данной кривой. Отметим„что центр кривизны всегда лежит в соприкасающейся плоскости. 4 17. Кривиэна кривой 242 Риа вэ Выпишем некоторые из формул, полученных в предыдущем пункте, считая, что кривая Г = (г(1); а <Г <Ь) лежит в плоскости к0у: г(1) = (х(1), у(!)). Из формул (17.7), (17.11) и (17.12) получим й (хсх+ у")к Обозначая ($, 11) центр кривизны кривой Г, из формулы (17.16) имеем с=х+)с.—, йэ= и'у т)=у+а. йэх а из формул (17.17) и (17.18) будем иметь х'х" + у'у" х" (Ссх' + у' — к'— (х'у" — х"у')х (х к+ух 2 х' +у' =х — у х'у" — х'у' (17.
19) Аналогично х' +у'х у+ к у — х"у (17.20) ле2кит в указан!юй плоскости. Применяя то ж1' рассуждщ1ие к г', л1ы докажем, что и г" иахол1пся в той же плоскости, и т д. Из сказанно1О следует, что если кривая лежит в некоторой плоскости, то касательный вектор т, а если ее кривизна А+О, то и вектор главной нормали и лежит в той же плоскости, и, значит, зта плоскость является соприкасающейся плоскостью для кривой. Отметим также, что если в случае кривой Г = (г(з)), лежащей в плоскости хОу, через а(з) обозначить угол, образованный каса- тельной в точке г(з) с осью Ох (см.
у рис. 59), то Ла = а(з, + Аз)— — а(з„), и если угол а возрастает аа вместе с з, т. е. если — > О при аэ Ла йа Аз) О, той= Вгп — = —; если д и ах их же а убывает с возрастанием з, то аа да й = — 1!т — = —. ая 0 Лэ иэ 1г5. Форирхы дия кривизны и эволгогы плоских кривьж У п р а ж и е и и е 1. Пусть à — дважды дифференинруеиая плоская кривая без особых точек, пусть а — угол наклона ее касательной к оси Ох г!гт ! и пусть й" = — !значит, ! йч ! = й! и йь = —, . Показать, что оз $ = х — !!' з1п сг, г! = у + тг* соз гг, а также $=х — —, оу ось ох я=у 4 В случае, когда кривая является графиком функции у=1(х), формулы (17.18), (17.!9) и (17.20) принимают вид !у" ! (! + у!' ) (17. 21) $=х — —.у ге у (!7.
22) ! фз т! = у + у Примеры. 1. Найдем кривизну и эволюту параболы у4 ахк, а,ь О. Замечая, что у'=2ах„у" =2а, по формуле (17.21) имеем 1 + 4аахз Чтобы найти уравнение эволюты, воспользуемся формулами (17. 22): 1 + 4а'хз базхз +! Ч =ахз+ 2а 2а Мы получили параметрическое представление зволюты параболы с параметром х. Можно получить и ее явное представление, исключив этот параметр х.
Для этого из первого равенства найдем Е 2ап — 1 ха = —,— „а из второго х'=,, Возводя первое получившееся 4аги РД6. Форирлн длп крпвпвпа и лволкп и плоских кривых Если М = (х, у), где, как обычно х и у — декартовы координаты гочки М, то (17. 23) х=рсоз~р, у=ржи ц Обратная связь выражается формулами р = )7х'+у', ~р агс1д У 1 ап (17.24) где А= О, если х> О, /г = 1, если х( О, у) О и й = — 1, если х< О, у ~ О. Рис 61 Рис. 6л (17.26) ь е.
получим параметрическое представление некоторой кривой Г. 3 этом смысле можно говорить, что уравнение (17.25) задает в по~ярпых координатах кривую Г. Для вычислении кривизны, ра1иуса кривизны и эволюты кривой Г, заданной уравнением 117.25), ~адо перейти к ее параметрическому представлению (17.26) и восюльзоваться выведенными выше формуламп.
Иногда на угол ~р не накладывают ограничения — и<" <р < и, з обозначают через ф любой угол, для которого 1я гр = с. В этом .лучае соответствие между упорядоченными парами (р, <р), р+ О, з точками плоскости, исключая начало координат, уже, очевидно, те является взаимно однозначным. Если задана непрерывная функция р=р(~р), а~~гр ((), го, подставляя ее в (!7.23), получим х = р Ор) соз ф, у = р (кр) ьйп гр, ф СУ. Кривизна кривой У п р а гк н е н и я.
2. Пусть в полярных координатах задана кривая р =-- р(гр), пусть сг — угол наклона ее касательной к оси Ох, а <о — угол, образованный этой касательной с иродолженвем радиуса вектора точки касания, тогда сг = ы + <р и Сй ы = р 3. Найти эволюту кривой р = а(1+ соз гр), О < гр < 2п, называемой кардиоидой. У к а з а и и е, Полезновоспользоваться результатами упрамснепий! н 2. Задача 9. Пусть à — дважды дийх)еренцируемая кривая без особь|х точек, Г = (г(С); а < С < Ь') н пусть С, Г (а, Ь), С„+ И, ц [а, Ь), Се+ И, г (а, Ь). Проведем через точки г(Се), г(Ср+ дгг) и «(Са+ бгт) плоскость; тогда при Иг - О н И - О эта плоскость будет стремиться (определите это понятие) к соприкасающейся плоскости в точке г(Са).
Задача 10. В предположении предыдущей задачи проведем через те же три точки г(Се), г(С, + И1) и г(Се+ И,) окружность; тогда, если кривизна Сг+ О в точке г(Са), то эта окружность при И, ~ О н оС, О будет стремиться к окружности (определите это понятие), лежащей в соприкасающейся плоскости с центром в центре кривизны кривой и радиусом, равным радиусу кривизны в точке г(Се).
Эта предельная окрунгиость называется солрикасаюа(ейся окружностью в данной точке кривой. ГЛАНА втОРАя ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 5 18. МНОЖЕСТВА НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Прежде чем перейти к изучению функций многих переменных, изучим некоторые свойства множеств, на которых эти функции задаются. 18.1, Окрестности и пределы последовательностей точек Мы будем предполагать, что на рассматриваемой нами плоскости или в просгранстне всегда фиксирована некоторая прямоугольная система декартовых координат.
Точки будем большей частью обозначать буквами х, у, г,...'>, а их координаты — теми же буквами с индексами, т. е. в случае плоскости х = (хм хв), у=(у„ув), а в случае пространства х=(х„хм хв), у=(у„ув, у,). Расстояние между точками х и у будем обозначать символом р(х, у). Как известно, формула для расстояния между точками х и у в случае плоскости имеет вид р(х, у) =- у'(х,— уь)в+(х,— ув)т, а в случае пространства р(х» у) =- У(хю у )и+(хт ут)т+(хз — )'в)в.
В дальнейшем придется иметь дело не только с функциями двух и трех переменных, но и с функциями большего числа переменных, поэтому полезно ввести понятие я-мерного пространства. Определение 1. Точкой х и-мерного пространстеа назыеается упорядоченная совокупность л ееи(зстееннмх чисел (хм..., х„) .т ° 1 Икогда точки обовначамтов к болмдимк буквами М, й, Р и т. и. 8 Га Множества на плосчогта а в пространстве 248 или, короче, х=(хс). Число хс(1=1, 2,..., и) называепгся с-коордсснасггосс точксс х.
расстояние между двумя точками х=(х,) и у=(ус) определим по формуле р (х, у) = )/(х, — у,)е+... + (х„— у„)". (18.1) П / и / и ~~ра,б, ('~ ' ~ а'1/с ~я~ус (18.2) Следствие. 1// ",~~(а„+ бн)е ~ ~ь// ~ран'+1/ у бв'. (18.3) «Ь Г. Щввпц (1843 — 182!) — немецкий математик. Определение 2. Совокупность точек сг-мерного пространства, для которых определено рссссспояние согласно формуле (183), называется п-лерныл евк идовыл пространсспвол и обозначается Е" или Е",.
В случае п = 1 получается прямая, в случае и = 2 — плоскость, а в случае п = 3 — пространство с обычным расстоянием между точкахги. В случае произвольного сг) 3 не следует искать в нашем определении какого-то скрытого физического или геометрического смысла. Нашей целью является лишь построение некоторого матемапгческого аппарата, удобного для изучения функций многих перемеьшых; определения и терминологию мы заимствуем из обычной геометрии, так как зто позволяет включить прямую, плоскость и трехмерное пространство в одну более общую схему.
Расстояние мемсду точками в п-мерном евклидовом пространстве Е" обладает следующими свойствами. 1. р(х, у) ) О, ггричел р(х, у) =О в толь и только тол случае, если х= у. 2. р(х, у)= — р(у, х) для любых двух точек х и у из Е'. 3 р(х с) <Р (х у)+р(у, г) для любьсх трех точек х, у и г из Е". Свойства 1 и 2 сразу следуют из формулы (18.1); третье же, обычно называемое «неравенствол< спреугольника» и хорошо известное для обычного трехмерного пространства, в общем случае (п.>3) требует доказательства.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
