Кудрявцев Л.Д. - Математический анализ (1077055), страница 47
Текст из файла (страница 47)
е. если х является точкой прикосновения множества Е, то она является и точкой прикосновения множества Е. Пусть х-' Е: это означает, что в любой окрестности 0(х) существует точка у множества Е. Поскольку окрестность 0(х) является открытым множеством, то существует такая окрестность 0(у) точки у (например сама 0(х)), что 0(у)с:0(х). Точка у является точкой прикосновения множества Е, поэтому в окрестности 0(у) существует точка г множества Е, но 0(у) ~ 0(х) и поэтому г~О(х). Таким образом, в любой окрестности О(х) точки х~~ Е содержится точка г множества Е, а это и означает, что х является точкой прикосновения множества Е.
Включение (18.19), а значит, и лемма 2 доказаны. Рассмотрим примеры. Всякий и-мерный шар ч -( = !*.!т: з !л,—,т( ) (18.20) 1= ! б !8. Д!ножегтоо но алоскоспт а а арострингтае 2ВО Сфера я" ' == х = (х!): ~", (хт — а!)' = га) т= $ (18.22) также дает пример замкнутого множества (почемуй). Заметим еще, что п-мерный шар радиуса 1 с центром в начале координат обычно называется и-мерным единичным и>аром (замкнутым или открытыл>), а (и — !)-мерная сфера радиуса 1 с центром в начале координат — (и — 1)-мерной единичной сферой. У и р аж ив в ие 2. Для тото чтобы точка хй Е" была точкой принс» сновенвя множества Е ~ Е", необходимо и достаточно, чтобы существовала ПОСЛЕдОВатЕЛЬНОСтЬ ТОЧЕК К1ы> ~ Е, П>=-1, 2, ..., таКая, Чта Н~П Хг"и =я.
ж Определение 19. Длл всякого множества Ес:.Е" множество Е"' Е называется его дополнением. Очевидно, что если множество Вс'Е" является пополнением мпо>кества А~Е", то и, обратно, множество А является дополнением множества В. Лемма 3. Для того чпюбы лтножеспию бьио открыто, необходимо и достапючно, чтобы его дополнение было замкнуто. Доказательство необходимости. Пусть 6— открытое множество, тогда никакая точка х~ 6 пе является точкой прикосновения его дополнения Е = Е"'»6, так как множество 6, будучи открытым, является окрестностью точки х и пе содержит точек множества Р. Следовательно, все точки прикосновения множества Е содержатся в самом Е, что и означает замкнутость множества г.
Доказательство достаточности. Пусть Е является замкнутым кпюжеством и пусть хс6 = Е '»Е. В силу замкнутости Р точка х не является его точкой прикосновения; поэтому существует ее окрестность 0(х), пе пересекающаяся с множеством Е и, следовательно, такая, что 0(х)с:6. Таким образом, любая точка множества 6 является внутренней, т. е. 6 открыто. Лемма доказана. Лемма 4. Пусть А и  — замкнутыг непересекающиеся мнг» жестов из Е" и множество А — ограничено, пюгда существует тпакае число д ~ О, что р(х, у) > й для любых двух точек х ~ А и у (В. Д о к а з а т е л ь с г в о.
Пусть такого числа д не существует. Тогда для любого т=.1, 2, ..., существует пара точек х1 >~А и ! у1"'>(:В, таких, что р(х<м>, уг">) < —. Поскольку А — ограниченное множество, то из последовательности (х!а'>) можно выделить сходящуюся подпоследовагельность (х!а'а!). Пусть !пп х('"а) =-хге> »В.2, Рпэлинные жюл множеств В силу замкнутости множества А имеем хна ~А.
Из неравенства р (х~ ~, у'в'«) ~(р(х' ~, х» «!)+р(х»"'«1, у»а«1) к.. (р (х'в', х»'"«!)+— следует, что !»от р (х~ ~, у»ж«!) =О. «-1. Поэтому точка х<о> является точкой прикосновения множества В и, в силу его замкнутости хЮ~~В. Таким образо«и х~вУ»-Л и хйэ~ В, а это противоречит тому, что А и В не пересекаются. Лемма доказана.
Определение 20. Для двух множесспв Ех и Е, величина р(Е«, Еа)= !п1 р(х, у) кеео тяп, называепюя расстоянием между л~ножествами Е, и Е,. В частности, если Е, соспюит из одной точки х, то р(Ед, Ех) = р(х, Ед называется расскпоянием от точки х до лисожесупва Е,. Применяя этот терл1пн, лемму 4 можно сформулировать следующим образом. Два непересекающихся замкнутых лхножество, из которых по крайней мере одно ограничено, находятся на сюложгипелоном расспюянии. У п р а ж н е н и е 3. Принести пример двух пепересекаюшихся аамкнутых множеств, расстояние между которыми равно нулю. Лемма 5. Если А — ограниченное замкнутое лснотсество, А с-Е", х~Е" и р(х, А)=с1, спо существует у ~ Л, такая, что р(х, у)=д.
Д о к и з а т е л ь с т в о. Если р (х, Л) = |и» р (х, у) = д, то для люус л бого и= 1, 2, ... найдется такой упит А, что р(х, уио)к. д+ — . Р!з и ограниченности множества А следует, что пскледоеательиость (у< >) ограничена и, следовательно, из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность (у»"«!). Пусть 1!щ у»"а! = у'о'. В силу «-» замкнутости множества Л имеем у<о'~А. Далее, р (х, у~~') < р (х, у» «1)+ р (у» «1, ую') ~ к "1, ! Р(1» "1 у ) ° Переходя здесь к пределу при /г-+ оо, получим р(х, у~о~) еи д. С другой стороны, р(х, у<и1)> р(х, А) =д, следовательно, р(х, у»ву)=д.
.Лемма доказана. й И. Множества на плоскости а в пространстве Обозначим теперь для всякого множества А с:.Ен через Ач, где ц> О, совокупность всех точек, удаленных стг множества А на расстояние не большее чем т): А„=(х: р(х, А) < т)). Лемма 6. Если А — ограниченное замкнутое множество, то при люболс т) > О множеспию А, также является ограниченным замкнутым мнолеестпволь До к аз а тел ьств о. Ограниченность множества А означает, что существует такое и > О, что А содержится в шаре 0(0; а) радиуса а с пентром в начале координат 0: А~О(0; и).
Покажем, что А, ~ 0(0; и+ т)). Если х ~ А,, то согласно лемме 5, найдется точка у с А, такая, что р(х, у) = р(х, А) < т). Из условия же А~О(0; а) следует, что р(О„у) < а. Поэтому р(0; х) <р(0; у)-)-р(у, х)<.а+т). Таким образом, к~ 0(0; а+ т)). Точка х является произвольной точкой множества А,, Следовательно, Ач с:0(0; и + т)), и потому А„является ограниченным множеством. Покажем теперь, что А, замкнутое множество.
Если х~Ати то для любого е>О существует точкау~ Атр такая, что р(х,у)(е. Из определения множества А„и леммы 5 следует, что сутиествусг такая точка г, ~ А, что р(у, гв) = р(у, А) < т). Поэтому р (х, А) = )п( р (х, г) < р(х, гп) < р(х, у)+ р (у, га) ( т)+ е. твл Это неравенство верно для любого е > О. Устремляя е к нулю, получим р(х, А)<т), т. е. х~ А,, что и доказывает замкнутость множества Атг ,Лемма доказана. Определение 21.
Точки х(- Е" низыпиюпся граничной точкой множество Е с: Е, если в любой окрестности этои тиочки существуют точки, как принадлсокощие мноокеству Е, так и не принадлежащие ему. Совокупность всех граничных точек множв. ство Е ноэыповпюя его границей и обозначается дЕ. Очевидно, дЕс: Е. С другой стороны, каждая точка прикосновения множества Е является либо его граничной точкой, либо его внутренней точкой— других возможностей нет; поэтому Е =-Е~ дЕ. Иа Различные тины множеств Если 6 открытое множесгво, то в сумме слагаемые 6 и д6 не пересекаются.
Действительно, поскольку множество 6 открыто, то всякая его точка является внутренней и тем самым не принадлежит его границе. Рассмотрим примеры. Пусть п = 2, 6з = ((х„х,): х'; + х,' (1)— открытый круг. Если Е = ()з, то любая точка окружности У = = ((х„хз): хс + хз = 1) является граничной точкой множества Е н других граничных точек нет, т.
е. 5с = дЕ. В этом случае граница не принадлежит множеству Е. Если Е = Ц' — замкнутый круг, то снова окружность Ес является границей Е, причем в этом случае дЕс:.Е. Наконец, если Е = 5' — окружность, то каждая точка мно. жесгва Е является его граничной точкой и других граничных точек нет, т. е. в этом случае Е = дЕ.
Вообще, (и — 1)-мерная сфера (18.22) является границей как и-мерного открытого шара (18.20), так и замкнуто~о (! 8.21), а также совпадает со своей собственной границей (почему?). У и р а ж н е н н я. 4. Для того чтобы множество Ас: Еи было замкнусым, необходимо и достаточно, чтобы дАс-,А 5. Доказать. что, каковы бы ни были множества Се с- Ев и множество а их индексов И= (а), справедливы формулы б"~() В„=() (Г"~О ), аеас аеас пв~ () СЗ () (Ев~ д мел ссехс 6.
Доказать, что пересечение коаечного числа и сузсма любой системы открытых множеств снова является открытым множеством, а такске что пересечение любой системы и сумма конечного числа замквутых лсносс<еств является замкнутым множеством. Для дальнейшего нам понадобится еще понятие кривой в п-мерном пространстве. Дяя этой цели обобщим данное выше определение кривой в трехмерном пространстве, не касаясь вопроса о преобразовании параметра. Определение 22. Гвомепсричвсков лсвсто тачек х = (х,) простран. стива Е" коордсснаты которых заданы как непрерывные функции х, = хс((), с = 1, 2,..., п, определенные на некопюром огпрезке )а, Ц, низывоетсп непрерывной кривой и просспрангтвв Е".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
