Кудрявцев Л.Д. - Математический анализ (1077055), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Докажем предварительно лемму. Лемма 1. (Коши — Шварцег). Для любых сесссегтвенных чисел ан и Ьн, А=-1, 2,..., и, вьсполняюспся неравенсспва та!. Окреетногта и пределы погледоеотелнногтел то !ек 249 Локазательство. Рассмотриы (многочлен второй степени) и и г(1) = ч~~ (а,.1+6!)'=(п ~ч~ а!+21 т=! т=! квадратичную функци!о и и ~~.",а Ь + ~ 6~!. (18.4) т=! т=! Очевидно, г'(1) ) О.
(18. 5) (д.,т!) — д.! Вт, <а Перенося второе слагаемое в правую часть и извлекая квадратный корень, получим (18.2). Лемма доказана. Для доказательства неравенства (18.3) оценим сумму и ~(а!+(т!)е, применяя неравенство (18.2); и и и и ч~р(п„+(т,)е = уаз+ ~ч1', ба+ 2 ч~р~а,(т, < ! 1 т=! т ~.1/ ~,= Извлекая из обеих частей квадратный корень, получим (!8.3). Следствие леммы доказано.
Вернемся теперь к свойству 3 расстояния между точками в пространстве Е". Пусть х=(хт), у=(ут) и г=(г!). Положим ат=х,.— уи Бе=у! — гь и, значит, а! + 6,. = х, — гт, ! =- 1, 2,..., а. Тогда неравенство (18.3) перепишется следующим образом! и и и тт и 1,/ - =1/ — 1/ ~~~(Х! — г!)Е ~~ 1/ ~(х! У!)Е+ ~ т ~ () ! — г!)~, Из условия 118.5) следует, что многочлен (18.4) имеет либо слившиеся вещественные корни, либо комплексные корни, и, значит, его дискриминант не положителен: 250 5 И М!сожестои на плие«ости и в пространстве или, согласно (18.1), Р (х, 2) ~( Р (х, У)+ Р (!', 2), т. е. рассматриваемое свойство расстояиия доказано.
В дальнейшем в этом параграфе пространство Е" будем считать фшссироваипыы (т. е. считать фиксированным число и). Определение 3. Мнолсеспсво !почек х = (х„..., хн) и-тлерного евклидова пространства Е", таких, что х,=х,=...=-х; ! =хс+! =...= = х„= О, называется ьий координатной осью (1 = 1, 2, »тово пространства.
Точка О =(О, О,..., О) называется началон координат. Очевидно, в случае и = 2 и и = 3 наше определение дает обычные координатные оси. 3 а и е ч а и и е. Пусть иа плоскости задаиы две прямоугольные системы координат, точка М в одной системе коордииат имеет коордииаты 1х, у), а в другой (э, т1), т. е. М = (х, у) = (ч, й). Ставя в соответствие упорядочепиой паре чисел (х, у) упорядоченную пару Я, т1), получим взаимно однозначное соответствие между миожеством всех упорядочепиых пар (х, у) и множеством всех упорядочеипых пар (5, и). При этом если М' = (х',у')= ($', «1'), Мн= (х", у") = =-Я", «1"), то р(М', М") = $/(х" — х')«+(у" — у')» = )Т(ф" — $')»+(т1н — «1')».
Этот пример делает естественным следующее определение. Пусть каждой точке х=(х„...,х„)Е Е" подставлеп в соответствие упорядочеипый комплекс из п вещественных чисел 5(х) =($„...,$„) "!аким образом, что для любых двух точек х'=(х!,..., х„) и х" =(хс,..., х,) и соответствующих им комплексов ьь(х')=(В;,..., ьь;,) и $(хн)=($,",...,$„") выполияется равенство Совокупность чисел (5„..., вп) также называется координапсатли точки х («в другой системе координат»).
Очевидно, что при любом выборе координат расстояние между точками ие меняется. В дальиейшем, если ие оговорено что-либо другое, система координат считается фиксированной. Если точка х задается координатами (х,..., ха), то иногда для ясности пространство Е, "будем обозначать Е"„ Определение 4. Пусть х~ Е" и е > О. Совокупносп!ь всех !почек у пространства Е", таких, что р(х, у) < е назывиетсл паперным си а р о и с це в точке х ридиуои е или е-о и р е с и н о с т ь и гв.!.
Окрестносттт и пределы последовотельностеа точек (а иногда сферической окрестностттью) точки х в прстситранстве Е" и обозначиеотся 0(х; е), такилт обривали 0(х; е)=(у:У ~Е", р (х, у)(е). (18. 6) В координатной записи зто определение выглядит так: и еы ) (с=~те: т,(т — чт« '), *=ые, >ь. т=! В случае прямой, т. е. при и=- 1 (рис. 63), х=х, у = у„поэтому 0(х; е)=(у:1у — х1(е).
Рис. ВВ Таким образом 0(х; е) является интервалом длины 2е с центром в точке х, т. е. окрестностью точки х в рассматриваемом выше смысле (см. п. 3.1). В случае плоскости, т. е. при п = 2 (рис. 64), х = (хм лы), у =. (У„у,) и 0(х' а)=-(У=(Ум Уе): (Ут — х,)в — (Ув — хе)'«вь), е)0, т. е. 0(х; з) — круг радиуса е с центром в точке х = (хм хе), а в случае пространства, т. е. при и = 3, окрестность точки х = (х„х„х,) 0(х; е) =(у=(у„у„ув):(у,— х,)' + + (у,— хе~+(ув — хв)'(з'), е)0„ является шаром радиуса а с центром в точке (х„, х.„х,).
Рис. В4 Мы обобщилн, таким образом, понятие окрестности на случай и-мерного евклидова пространства Е". Однако наряду с указанным обобщением бывает полсзно и другое обобщение этого понятия, а именно — понятие так называемой прямоугольной окрестности. Определение 5. Пусть х=(х!)(- Е", Ь, ь0, 1= 1, 2,..., и„ Множество р(х; б„..., 6.)= (У) б Ут( + называется ичмерныл. лараллелеттсст!едолт, а точна х — его Вен!прови Э тв Мнотооттоо но олоткоттн и о ттроотронотое Если б, = 6, = ...
= 6„= 6, то Р(х; 6, 6,..., 6) назьтоаептся и-мерным кубом с центром в точке х и обозначиется Р(х; 6). Если п = 1, множество Р(х; 6) является интервалом с нентром в точке х длины 26; если и = 2, множество Р(х; б„бт) является прямоугольником со сторонами, параллельными осям координат, и длины соответственно 26, и 26,; при п = 3 множество Р(х; 6„6„6,) представляет собой прямоугольный параллелепипед с ребрами, параллельными осям координат„соответственно длины 26„26, и 26,.
Под п-мерным параллелепипедом, соответственно п-мерным кубом понимается также множество, определенное вытиеуказанными условиями хотя бы в одной системе координат (а не обязательно в данной, как это было сделано выше). В дальнейшем и-мерный параллелепипед и и-мерный куб понимаются лишь в узком смысле, т. е. в смысле данного выше определения при фиксированной системе координат.
Определение 6. Всякий и-мерный параллелепттпедР(х; бь..., 6„) называется прямоугольной окрестностью пточтит х. Лемма 2. Какова бы ни были е-окрестность 0(х; е) точки х ~ Е". существует ее прямоугольная окрестность Р(х; 6„..., 6„), такая, что Р(х; б„.. „6„)с:0(х; е), (18.8) и наоборот, какова бы ни была прямоугольная окрестность Р(х; 6„.. „6„) точки х~ Е", существует ее е-окрестность 0(х; е), такая, что 0(х; е) с: Р(х; ьм..., бн). (18 ой) До к а з а те л ь с т в о. Пусть задана окрестность 0(х; е). Заметим, что если у=(у,.)~Р(х; 6) (рис.
65), то, согласно (18.7), и р(х, у)= $/ ~э„'(хт — у )' < утбо+... +бе(6 )г и. т.= 1 Поэтому, если выбрать 6( —.' „то у~0(х; е) (см. рис. 65). 1' и Так как у — произвольная точка и-мерного куба Р(х; 6), то это и означает, что Р (х; 6) ~ 0(х; е).
Таким образом, (!8.8) доказано. Обратно, пусть задана прямоугольная окрестность Р(х бм б ) 253 СВ.С. Окввстссости и лпезели ооследовительиостей точссс Положим е= си(сг Ьс и рассмотрим 0(х; е) (рис. 66). Если Е=-(ус)(-0(х; е), т. е. р(х, у)(е, то с л )уи — хь(<1ст ~чт',(ус — хс)'=-р(х, у)(а=пппб,:8„ аля любого сг=1, 2, ..., и, т.
е., согласно определению (18.7), )с аар(х; 8„...,8„). Так как у — произвольная точка шара 0(х; е), о это и означает, что 0(х; е) ~ Р (х; 8„..., бл). Лемма 2 доказана. Рис. бб Рис. бб Определение 7, Пусть каждому натуральному числу т постав- тени в соответспсвие некоторая точка хс"'г ~ Е" (не«бязательно разчые точки для разных т). Тогда множеств«(хсл'г, т = 1, 2,...), состоящее из тснек сгространства Е с различньсми номерами, назыгается послед«вательностью точек Е" и обозначается хил), т =- 1, 2,..., илсс (хто).
Последовательность (у<иг) называеспся подпоследовательсостью последовательности (хсл'г) и обозначается х( и), сг=1, 2,..., или (х( л)), Сйг рл ) .сли для любого Уг существует такое тю исто у =х( и), тсгичем если ссгс(ассе то тл,(тл,. Определение 8. Точка х (- Е" называется пределом погледотательности (хс"'г) и пишется х ----1пп хс'лг, (18. 10) м- л й те. >>!ножества но плнгпогти и в арогтяанстве если 1пп р (х<"'>, х) =- О. (18.11) Если х = )пп х"">, то будем говоршяь, что т>следовшяельность юп х'"'> сходится к >тинке х.
!>оследовательность, ко>пария сходил>ся к некоторой точке, называется сходни!вися. Используя понятие окрестности, легко получаем, что х= 1пп х>ж> тогда и только тогда, когда для любого е) О существует такоет„что для всех тлт, хьп> ~0(х; в). (18. 12) Используя лемму 2, получаем также: х = Вгп х'"'> в том и только ж том случае, когда для любой прямоугольной окрестности Р(х; 6„...,6„) существует номер т, (зависящий от этой пирес>- ности), такой, что для всех о» т, х(ж> бр(х; 6>, ..., 6„).
В случае и =- 1 определение 8 превращается в обычное определение предела числовой последовательности. При и = 2 сходимость последовательности (х>но) точек плоскости Е' к точке х с- Е' означает, что, каков бы ни был круг с центром в точке х, начиная с некоторого номера, зависящего от этого круга, все члены данной последовательности лежат в этом круге (рис. 67). хт В случае п = 3 сходимость последо- Г ~ ~ вательности точек (х"">) простран° ° ... ! х"> ства Е' к точке х ~~ Е' означает, что„каков бы ни был обычный трехмерный шар с пентром в точке л * г х, начиная с некоторого номера, зависящего сп этого шара, все члены р> . ву дашюй последовательности лежат в этом шаре.
Как и в случае числовых последовательностей можио сказать, что !пп х>'"> =-х, хоп>>г Е", т = 1, 2,..., если всякая е-окрестность и! ° точки х содержит почти все точки данной последовательности, т. е. все, за исключением, быть может, их конечного числа. Понятие предела последовательности (х>"'>) точек пространства Е" может быть сведен>> к понятию предела числовых последовательностей, а именно последовательностей координат точек Га д Окрестноста и аределы последоеательностеа точен Теорема 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
