Кудрявцев Л.Д. - Математический анализ (1077055), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Аргумент назвсссавпссл паралсвтром ссривой. "с сесна х(а) = — (х,(а)) нпзываетсн началом, а сссочса х(Ь) = (хс(о)) — концом данной кривой. ф !8. снножесснн нн плоскости и н нространстне Все сказанное в п. 16.! о конвой в трехмерном пространстве можно естественным образом перенести и на общий и-мерный случай, но мы не будем на этом останавливаться. Определение 23.
Лусть кпл = (х,'-~')» Е" и а, ..., а„— не которые сриксированные числа. Геомесприческое место точек х = (х,) пространства Е", координаты которых представлены в виде х,= х(а+а, 1, — оо(Г(+Со, с =1, 2...,, и назьтается прямой в пространстве Е", проходяи!ей через спочку хьм в енапраалениин (ам ..., а„). Часть прямой, соответствующая изменению параметра ! в некотором отрезке!а, о!, называется прямолинейным отрезком, а ее часть, соответствующая изменению параметра с па бесконечном промежутке ! = а, — лучом. Очевидно, что в случае п =3 получается прямая, соответственно отрезок или луч, в обычном трехмерном пространстве.
а (ом ае ае) будет являться направляющим вектором этой прямой. Если заданы две 1очки (х,'.) и (х",.), то уравнение прямой, проходящей через этн точии имеет вид х, =- х,'+ (х",— х,') Š— оо ( ! ( + оо, с = 1, 2, ..., и. Определение 24. Множество Ес:Е", любые две точки которсню можно соединить в нем непрерывной кривой, называется связнылс.
Иначе говоря, множество Е называется связным, если, каковы бы пи были точки х<п» Е и хоч» Е, существует непрерывная кривая х(!)==(х,(!); а<( <б), такая, что ее началом является точка х<'>, т. е. х(а) =х" >, конном — точка ха>, г. е. х(б)=-.хои и все точки этой кривой принадлежат множеству Е, т. е. х(()»Е для всех !»(а, Ь!.
Примером связных множеств являются точка, отрезок. Примером несвязного множества — пара различных точек. Определение 25. Ослкрытое связное множесспво назьшаепкя областью. Рассмотрим примеры. В случае и = 1 всякий интервал является областью, а множество, состоящее из двух или более непересекающихся интервалов (рнс.
69), хотя и есть открытое множество, но не является областью. В случае и = 2 всякий открытый круг есть область, а множество, состоящее из двух или более непересекающихся открытых 18,2 Роалпенмс тиом множеств кру~ов (рис. 70), хоти и есть открытое множество, областью, так как две точки х н у, принадлежащие нельзя соединить непрерывной кривой, оставаясь внутри рассматри.
ваемого множества. 1 ! ° г но пе является разным кругам, м л / 1 7/ Рвс. бр Рис. 70 й 19. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ Б этом параграфе рассматриваются внцественные функции, определенные на множествах и-мерного евклидова пространства Е", значениями которых являются вещественные числа. Зти функции обозначаются одним символом, например или, указывая аргумент, [(х) нли [(хм..., х ). При и >1 эти функции Всякий и-мерный открытый шар является областью. Определение 26. Облпа«1ь, любые дое точки которой можно соедини«пь отрезком, целиком в ней лежащим, низлвае«пся выпуклой областью.
Всякий и-мерный открытый шар является выпуклой областью. У и р а ж и е и и е 7. Построить пример иеаыпуилоа облавно Определение 27. «ь|ноэкес«пою, лежащее в прас«лранстее Е" и являюи(леся замыканиелс некоторой области, называется зимкнутой облас«пью. Замкнутый и-мерный шар является замкнутой областью. Лемма 7. Если связное лсножество пересекается с некоторылс л1ножеством и сго дополнением, пго оно пересекается и с границей этого множества. Доказательство.
Пусть А — связное множество, Ас:Е",  — некоторое множество, Вс Е", и пусть пересечения А лВ и Аг (Ев,В) це пусты. Пусть хс-Лг В н у1-Аг (Е" ~В). Поскольку А — связное множество, то существует такая непрерывная кривая «(7), а <7 <Ь, что «(а) = х, «(Ь) = у и «(7)~А для всех 7 ~[а, Ь[. Обозначим через т верхнюю грань тех с( [а, Ь[, для которых «(7)сцВ. Очевидно, а <т <Ь. В любой окрестности точки «(т) содержатся как точки, принадлежащие В, так и не принадлежащие В (почему?). Следовательно, «(т) ~дВ.
Поскольку «(т)(- Л, то пересечение дВ - Л не пусто. Лемма доказана. 2аа р рй Предел и нгпрермпность функций многих пере«сенник называются функциями многих перел<еггн>лх. В случае п = 2 вместо /(х„хв) будел! писать также /(х, у), в случае п = 3 вместо /(х„ха) — также /(х, у, 2). 1 9.1. Предел функции Определение 1. Пусть на мнозхеспгве Е проспгронсгпва Е" определена функция у = /(х) и пусть Е', (и+1)-мерное евкли- +! доно прог>нранство пкжек (х, у) =- (хг,..., х„, у). Геомег>грическое месив и<осек проапрансг>гва Е,"»> вида (х, /(х)), еде х с Е, называется >! графиком функции / (рис.
71). Перейдем теперь к определению предела функции. Определение 2. Пусть функция / определена на а!но»кесл>иге Ес-Е, пусть Е, — некопюрое ггодмнозкеспгьо множесгп и Е и пусть точка х<о> — предельная точка множеппва Е„. Число а называется пределом функции / по л<нозкеству Е„ при х, сг>!ремни<ел<оп к х<ю, если для любой последоеательности точек х<"> ~ Е„пг =1, 2, ..., тау кои, свпо 1нп х<пс> = х<о>, с!половая последовательность (/ (х<">)) сходит! ся к числу а: ! ! ! Цщ /(х<'и ) = а с «с -« с хг В атом случае будел! писать х! СЭ с йп> /(х) = а.
«-«.де>. «ЕГИ Прн сделанных предположениях рис. 71 можно дать и другое, эквивалентное предыдущему определение функции по аналогии с тем, как это было сделано раньше для функций одного переменного (см. п. 4.4 и 4.6). Определение 3. Число а называется пределом функции / >го иножеспгву Ее при х-«хни '>„если для любого е ) 0 сугцествует 5 = 6(е)»0, тикое, что 1/(х) — а~(в для любой точки к (- 0(х<о>; 6) " Е„х+ х<">.
Совершенно аналогично случаго функций одного переменного гоказь>вается эквивалентность этих двух определений. у и р а ж н е н н я. 1. доказатьзквивапентностьдвух нриведенныхонре<епений предела функннн но множеству. 2. Сформулировать н доказать критерий Коши существования пред«ха >гп /(х) но множеству Е<= Еп. с к<'> «ее «> Как н выше, мы иредполагаел>, что точка х< > является предельной тин- <ой множесгва Е„содержащегося в множестве определения фуикиии /.
О,а Предел фен«яаи Иногда вместо «предел функции при х, стремящемся к хгь>», будем говорить «предел функции в точке хг">». Запись х-» хг>п будем считать равносильной записи р(х, хгь>)- О, и потому наряду с обозначением 11пг !'(х) будем писать также «-+«г'>, хе е« !пп 1'(х). р(«, хг >)-+О, «ев Определение 4, Если функция 1(х) определена в некоторой окрестности 0(хгь>; б) пючки х<ь>, кроме, быть может, самой точки„хгь>, то в згпом случае предел функции 1 по множеству Е,= 0(хгь>; Ь) при х — з-х<ь> называе>пся просп>о пределом функции и обозначаетсн 1пп г (х). «и> Определение 5.
Если множесгпво Еь является прял>ой (см. п. 18.2), г>рохсдяи(ей через темку хнп в неко>порол> направлении, то в зоюм случае предел функции 1' по множеству Еь при х - хгь> называется пределолг функции в данно»> направлении в >почке хгв>. Определение б. Если множество Е, является множеством точек некоторой кривой„проходяи!ей через точку хг">, то в зпюм случае предел функции! по лгножесгпг>у Е, при х-~ ~Р> называется пределом функции по данной кривой в точке хгю. Очевидно, что если у функции 1 существует предел в точке х,, то он существует в этой точке и по любому направлению и по любой кривой, причем все эти пределы совпадают с указанным пределом функции. х»у Пример.
Пусть 1(х, у) = —,—,. Эта формула задает функ* цию во всех точках плоскости, кроме начала координат (О, 0). Исследуем пределы этой функции по различным направлениям в точке (О, 0). Уравнение прямой, проходящей через начало координат (О, 0) в направлении вектора (а, р), имеет вид х=а!, у = ))1, а»+р»> О. Имеем )(а1, !>1)= —,,— «-+О при 1- О, а'бг т. е. предел по л>обому направлеци>о существует и равен нулю. Если же у=х', то 1(х„х«) = — —, ! и, значит, предел вдоль параболы у = х» также существует, ио ра. ! вен —. а у (9 Предел и ненрерыенопь грункций нногих переменных Таины образом, для рассмотренной функции существует один н тот же предел по л)обому направлен)по, а предел по указа(нюй параболе, хотя и существует, отличен от общего значения пределов по направлениям, тем самым просто предел в точке (О, О) не существует.
У п р а ж н е н и е 3. Исследоьать пределы по направлению в точке (О, О) функпии ху )(х, >) = Аналогично случаю функций одного переменного для пределов функций многих переменных по множеству имеют место соответствующие теоремы о пределах суммы, произведения и частного, так как в силу приведенного выше определения предел функции и переменных по множеству также сводится к понятию предела последовательности (см. п. 4.6). Наряду с указанными пределами у функций многих переменных можно рассматрввать и пределы других видов, связанные с последовательным переходом к пределу, например по различным координатам, т. е. пределы вида 1)гп 1!!и ...
!пп )(хп ..., хн), (') -«к) к( к, к( -«к; « л л где ((„(,, ..., (,) — некоторая перестановка чисел 1,2,..., и, Х(0) == (Х((")) (- Ел И фуНКцИя ) ОнрсдЕЛЕИа В НЕКОтОрОИ ОКрЕС~НОСтн точки х(0), кроме, быть может, самой этой точки. Пределы указанного вида называются повпюрныжи т)ргделал(рд они представляют собой специфику функций многих переменных. рассмотрим функцию х яп — + уяп —, если х+О и у+О, 1(х,у)= 1 .
1 х' О. если х=О или у=О, )пределенную на всей плоскости. Исследуем различные ее тределы. Очевидно, !пп ) (х, у) =. О. Что же касается повторных (к, у)-«(0, 0) )ределов ! .. 11 . 1.. ! .. 11 ! (гп ~!! т х я п — + 1(п) у я п — ~ и ! пп ! !!и) х з(п — + Ит у яп — 1, У О(к О У к-«О к О у-«О У у 0 о оци не существуют, так как уже не существуют !пп уяп — (у+0) и 1(т хяп — (х+0). 1 1 к 0 у «О У 266 /Кд Предел Функции Для функции же 1(х, у)--= —.,-) —;, определенной этой формулой на всей плоскости, нроме начала координат, оба повторных предела существуют и Ин) !ип !(х, у) = Ипг Иш)(х, у) =- О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
