Кудрявцев Л.Д. - Математический анализ (1077055), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Подчеркнем, что — — едннын символ, т. е. в нем числитель ду дх, и знаменатель не имеют самостоятельного смысла. С другой стороны, частная производная †, , конечно, может быть записана и ду в виде частного двух дифференциалов: ду с1к у дх, дх Из определения частных производных, как обычных производнык при условии фиксирования всех переменных, кроме одной, по которой берется производная, следует, что при вычислении частных производных можно пользоваться правилами вычисления обычных производных.
д2 Пусть, например, требуется найти производную — — для функду к ции г.—.-хуку. Лля этого, зафиксировав в этой формуле х, получим функцию одного переменного у; вычисляя ее производную, получим к к дг — — д ! х 1 х(у — х) ат — =хек -р хуеу — 1 — !1= —. ду ду 1 у ! у В заключение этого пункта отметим, что из непрерывности в данной точке функции и переменных не вытекает существование у нее в этой точке частных производных.
Соответствующий пример в случае и =- 1 был приведен ранее (см. п. 9.2). Важно заметить, что при и ) 2 из сущесгвования даже всех частных производных в некоторой точке не следует непрерывность функции в этой точке*>. М Напомним, что при и = 1, т. е. дли фупкиви одной псрсмеииой, из суитествоваиии в точке производиои вытекает и непрерывность фуикпии в втой точке 1см. п. 9.2). У 20. Частные ттроттсгеодные, т(и«тн)теренчируелтост« гзз Чтобы в этом убедиться, рассмотрим функцию 1(ху), равную О, если ху =- О, и 1, если ху чь О. Очевидно, 1(х, О) ==- г(0, у) = — О, н, знашт, д((0, 0) д)(0, 0) дк др при х'+уе) О, г(х,у)= "+, « прн х=-у=О. (20.3) Эта функция имеет частные производные во всей плоскости и разрывна в точке (О, 0) (почему)).
20.2. Дифференцируемость функции в точке Рассмотрим сначала случай функций двух переменных. Пусть функцггя г = 1(х, у) определена в некоторой 6-окрестности 0=-0(М,; 6) точки М«=-(х«, у ) и пусть М==: (х, у) ( 0(М,; 6), Лх=- х — х„, Лу =у — у,(рис. 73) и, значит, (г = р(М, М ) =- =- усах'+ Лу«а..б. Пусть, наконец„ .е Нгг гон I д р гвгт т г н(г,у) дг г ые е I I l Лг == =-)(х«ооЛх у«+Лу) — )(х«у«). Обычно Лг называется иолньгм тгриррщением функции; зто название объясняется тем, что здесь, вообще говоря, все переРис.
7д мепггые получают приращения, отличные от нуля. Определение 2. Функция г -=- г(х, у) ниль«клеится с)ифференг(ируелгой в точке (г„, у«), если существуют два числи А и В, тикш;, что Лг .: АЛх г-ВЛу-г- сг(Лх, Лу), (20А) где Однако эта функция разрывна в точке (О, 0), так как, например, ее предел вдоль прямойу = х при (х, у)- (О, О) равен 1, аг(0, 0) =- О. Более того, существугот функции, имеющие частные производные во всех точках и все-таки разрывные. Примером такой функции является функция 20.2 дндкргренчируелпгть функции а точке 287 а(Лх, Лу)=е(Лк, Лу)р, рРО, 1ип и(Лх, Лу) =-0*). р Из (20А) следует, что п(0, 0) = О.
В случие диффсренцируемости функции г е точке (х„, у„) линейная функция АЛх + ВЛу т)еременных Лх и Лу низмеашпся по.гнмм диф- ференциалом, или просело дифференциалом, функции г и точке (хтн у,) и о)л)значаегпся дг. Таким образом, (20.5) (20.?) = Лх+ и Лу=з,Лк+а,Лу, )тт Лаз+ Лу" (т Лха+ Лук л) Напомним, что, согласно сделанному нами соглашению, запись 1ип ) равносильна записи 11гп ?, где р =- р(М, Мз). р-о м-м, * ) вооб)пе для функций а и () многих переменных мы будем писать а=- о(р) при х — тхг~), х 5 Е", х)н) сг Е", соли а(х) =" з(х)() (л) гда 1пп з(х) =- О л л(о) дг =- АЛк+ ВЛу. Вместо Лх и Лу употреблякггся также равнозначные обозначения дх и ду, т.
е. пишут дг =- Адх+ Вду. Из (20.5) следует„что 1ип — ' =О. а(Лх, Лу) м-мл р Функпии и(Лх, Лу), обладающие свойством (20.5), будем обозна. чать по аналогии с функииями одного переменного о(р) прн р — 0'з'. Применяя зто обозначение, определение дифферепиируе. мости можно переписать в виде Лг = АЛх + ВЛу+ о,'р).
Лемма. Услосие (20.5) экеиэолентно услоеиго а(Лх, Лу)=-ь,(Лх, Лу)Лх+и,(Лх, Лу)Лу, р+О, (20.8; еде !ип ь = Вш па =- О. х(оказательство. Пусть выполнено условие (20.5), т. е, а=ар, рпк, где е- 0 при р — ьО, тогда а=-ер =-и )' Лх'+Луз = хс. четные нроиооодныо. ииосференчируемоеть где оЛх еЛУ Р,=— ео— 1/ Лхо+ Лу" 1/ Лхо+ Луо Замечая, что 1-,Ь 1/Лх*+Луо ! ' ~ УЛхо+Луо !» имеем (е,! < (е !, (е,(~(е(, откуда Ите, = 1ппе,=-О, т. е. пред- р-о р о ставление (20.8) получено. Пусть, наоборот, выполнено условие (20.8), т. е.
а = е, Лх+ ео Лу, р+ О, где е,— 0 н ео-+-0 при р-ьО; тогда Лх Лу а=( — е + ео) )/Лхо+ Лу'=ер, ()/Лл" + Лу' У' Лхо+ Лу' где е+— Лу е 1/ Лхо+Луо )/ Лоо+ Луо где Ит е == Ит е,=О. р-о р-о (20.11) и, значит, !е!»»(е (+(е (, поэтому е-еО при р- О, т. е. пред- ставление (20.5) получено. Лемма доказана. Теорелоа 1. Если функция г = 1(х„у) ди44еренцируема в. опсчко (х, у,), то она непрерьвна в этой точке. Действительно, так как( Лх( < р и ! Лу ! < р, то из формул (20А) и (20.5) следует, что Лг -1- 0 при р -+ О, что и означает непрерывность функции 1 в точке (хо, уо). Теорема 2.
Если функция г = )(х, у) диф4еренцируема в аосчко (х„уо) и с(г = АЛх + ВЛу — ее дифференциал в этой тачке, то в пенке (х„, уо) у функции ) суи!ествуост се частные произвсднсхе и д! (х'о, Уо) Л д)(хо Уо) В (20.9) дх ду Таким образом, дг = — дх+ — ду. дх дх (20. 10) дх оу Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласно определениоо дифференцируе- мости (см. (20.4) и (20.8)). Лг = ЛЛх+ Вбу+ е,бх+ е, Лу, Ю.д Пллдлдтеренцлсоуеноотч функции и точке Полагая Ау==О.
получим Лг=Ь г=ЛЬх+в,Лх, Итп в =О, л.- О откуда Лкг — =-Л+зо Лл (20,12) дз = д„г+ ду г, т. е. полный дифференциал функции (нагла он существует) является суммой ее часгных дифференциалов. Заметим, что утверждение, обратное теореме 2, пе имеет места: существуют функции, имеющие все частные производные во всех точках плоскости, но не дифференцируемые в некоторой точке. Примером такой функции является функция (20.3), приведенная в конце предыдущего пункта: в точке (О, 0) эта функция не непрерывна, откуда а силу теоремы 1 вытекает, что в точке (О, 0) эта функция и не лифференцируема.
Из сказанного следует, что не всегда выражение д„з + д,д когда оно имеет смысл, является полным дифференциалом функции. Связь между дифференцируемостью функции в точке и существованием в этой точке частных произволпых сложнее, чем связь между дифференцируемостью и еуществованием производной у функции одной переменной. Сформулируем достаточные условия в терминах свойств частных произволных для дифференцируемости функции. Теорема 3. 1трсть фцнкцип г =- т(х, у) тл накотпорот) пкрегтпнпгттттл пх тлз тпочки (х„у„) имеет частные ллроиждные — „ч —, которые непра- где при Лх-ч 0 правая часть стремится к пределу, равному Л, поэтому н левая часть при Лх — л- О имеет тот же предел, а это и означает (см.
(20.1)), что в точке (хм уе) с)чцествует частная проичволная дл — = л(. Аналогично, полагая в (20.ч) Ь» = 0 и переходя к пределу, де получим —. В. ду Таким образом, формулы (20.9) доказаны. С л е д с т в и е. Если фцнкцин 1(х, у) дифференцирцема в точке (хм уи), по она шиеет единстееннотт) дифференципль Единственность дифференциала непосредственно вытекает из формул (20.9), так как частные производные в данной точке определяются однозначно.
Вспоминая формулы лля частных лифференпиалов (см. (20.2)), формулу (20.10) можно переписать в виде у' го. Чаетнмв прааввадние. йлнрференцнруеллаегь рывны в саллой точке (х„, у„), тогда функция г = /(х, у) дифференцир)лели1 в впшй точке. Д о к а з а т ел ь от в о. Обозначим через 0(6) 6-окрестность точки (х„, у,), в которой определена вместе со своими частными производными г„и 1, функция 1. Выберем Лх и Лу так, чтобы (хо+ Лх, у„+ Лу) с 0(б). Замечая, что Лг=-1(хо+ Лх Уо+Лу) — 1(хлн Уо) =. =(1(хо+Лх, уо+Лу) — 1'(ха, уь+Лу))+()(хо, уо+Лу) — 1(хь, уо)), применим к выражениям, стоящим в квадратных скобках и являющимся приращениями функций только по одной переменной, формулы конечных приращений Лагранжа (см. п.
11.2). Тогда Лг = )н (хо-( О, Лх, уо-1- Лу) Лх+ ~е (хо, уо+ О, Лу) Лу, 0(О,(1, 0(О,(1, (20ЗО) причем О, и О, зависят, конечно, от выбора точки (х,+Лх, у,+Лу), т. е. от Лх и Лу. Если 1~(хо+Олйх Уо+ЛУ) 1н(хо Уо)='сл ),(хо, у.+О Лу) — ) (х., уо)= ., то в силу непрерывности частных производных ) и ) в точке (хо, уо) имеем 1пп в,=-!пиво=0. (20.15) ро р-о Подставляя (20.14) в (20.13), получим Лг=-1„(хо )о) Лх+~„(хо Уо) Лу+ел Лх+ зо Лу, (20.1б) что в силу выполнения условий (20.15) и означает диф)еренцируемость функции г в точке (х„у„) (см.
(20.4) и (20.9)). Теорема доказана. Эта теорема имеет важное значение, связанное с тем, что понятие днфференцируемости функции играет первостепенную роль в ряде разделов теории функций многих переменных. Однако непосредственная проверка дифферснцируемости функции (например, для выяснения возможности применения тех или иных теорем) часто бывает затруднительна, в то время как проверка непрерывности частных производных, для вычисления которых имеется удобный аналитический аппарат, оказывается проще.
Определение 3. Функция, имеющая в некоторой точке (или соопюетственно на некотором открыпюлл множестве) непрерывные частныс проивнодно~е, называется непрерывно дифференцирйемой в впюй точке (соответспкленно ни атон ллножестве). 2О.2. Рифф«««ен«ин«деликт« функции в «сцке 291 В дальнейшем нам понадобятся некоторые дополнительные свойства функций з, и е, из формулы (20.16). Определение 4. Пусть Л и  — дви плоских л~ножеслию, Ас:Е г, Вс:.Е„"«, и пусгпь функция г = — Р(х, у, и, о) определена для (х, у) ~ А, (и, о) ~В. Функция ) называется равномерно стремяоцейся к нулю на лтножесгпве А при (и, о) — «-(и„, 'ь), если для любого в) 0 существует такое б=-Ь(е) >О, цто для всех (и, о), удовлетворяющих условию у'(и — и„)'+(о — оь)'(Ь, (и, о)+(и„, о„), и всех (х, у) ~А выполняется условие ! ) (х, у, и, о) ( ( в.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
