Кудрявцев Л.Д. - Математический анализ (1077055), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Тогда на окрестности 0(г>г>; 6) определена сложная функция 7(х(!)). Возможность выбора таких чисел 6' и 9 (очевилно, 6 зависит от выбора») была показана в и. 19.2. Функция Г(х) лифференцируема в точке хчо>, позтому прн а г = 1гг 2„Лх! <. » имеем ЛГ=>(х~! '+Лх>, ..., х„>+Лх„) — 1(х>! >, ..., ха~"~) = ~' д)(х(о>) — Лх,-(.ег, ! ! (20.29) где е =- е (Лх„..., Лх„) таково, что !(ш в = О. Г1оложпм г- о з (О, ..., О) == О.
Доопределенная таким образом функция в является непрерывной в точке (О, ..., О). В силу дифференцнруемости функций х! = х>(!), ! †. 1,2,.... д, в точке 1!»> при /" н Р=. ~гг 2', И~е / ! получим Лх>= х,. (Г'!" + ЛГ„...,6" + ЛГн) — х>(1~", ..., 6") = а — Лх,+з,р, >=1,2, ...,и, тн дх>(>>о>) /=, > (2О.ВО) где Ише,=О, 1=1, 2, ..., д. р-о Д о к а з а т е л ь с т в о. Поскольку функции х>(Г), ! =- 1, 2, ..., и, определены в некоторой окрестности точки б"> и поскольку из лифференцируемости функций слелует их непрерывность, то сложная функция 1(х(!)) определена в некоторой окрестности точки >>о> (см, замечание к теореме 2 п.
19.3). Зафиксируем какие-либо два числа 6 > О и т> > О так, чтобы функция 1(х) была бы определена на»-окрестности точки х!">, функции х>(!), ! = 1, 2...„п, на 6-окрестности точки йо> и чтобы а Ж Частные ирииааоаные. Лнг)иргреннароелитста 11одставляя значения Лх, из (20.30) в (20.29), получаем !!! (х!О!) и~у дх!(г!о!) ! ! ! г-! (20.31) где д) (х"!) ;!Р+.. ! 1 ! (20.32) Из (20.32) имеем р с а) (х!'!) — =-,~ — е +е — ' р !и! Ох ' р с-! (20.35) Докажем, что отношение — ограничено. Используя формулы и Р (20.30), получаем и ! !"'!и воснолваовалнсв неравенством 1 / 2 о ~ ~ )а ~ которое ! !=! ! ! нвлватса следствием очевнаного неравенства Х" (Х~ ~).
Переставляя порядок суммирования в (20.31), имеем е / !.=-! ! ! Теперь, для того чтобы доказать, что сложная функция ) (х(г)) днфференцируема вточке1!а>, надо показать. что р=о(р) при р-. О. В силу непрерывности функций х!(1), ! =1, 2, ...„и, в точке 1<о! имеем 11!и Лх,.=О и, следовательно, 1!!пи=О, Огсюда в силу Р-в р теоремы о супсрпозиции непрерывнык функций (см. и. 19.2) Ип! в=О. (20.ж) р о М4 Инвариантнпгтв Формы первого д«фференц«аха Поскольку 1пп е,=О, то в некоторой р»о ! ЛЕЕ! функции з, ограничены, и так как — — ' Р ограничена и некоторой окрестности точки и (20.35) следует, что окрестности точки ЕЕ«> т < 1, то функция и ЕЕв>.
Поэтому из (20.34) в / н 1- 1 1=1 Но коэффициенты дифференциала функции при дифференциалах независимых переменных опредечяются олнозначно и раппы соответствующим частным произволным, поэтому, сравнивая эту фо!ниулу с формулой (20.27), получим ~, д/( 1«1) д (~<о>~ д11 .ин ох, д1/ ! ! т. е. снова формулу (20.26). Правка.
на этот раз оиа выведена прн более сильных ограничениях, чем раньше; предполагалась дифре- !пп — =О, р-о Р т. е. что 8 =- о(о) прп р-н О. Дифферснцируемость сложной функ- ции Е" (х(Е)) в точке 11" доказана. Из формулы (20.31) имеем п м Ев, у д/(хип) ь дх,(11«1) дх вы дЕЕ 1 1-1 Отсюда, замечая, что и ъ1 рхв ( 1101) д11 ЛЕ =Ых1, 1=1, 2, ..., л, 1--л мы и получим формулу (20.28). Формула же (20.27) является обычной формулой для дифференциала (см. 20.19). Теорема доказана.
Формально обе записи (20 2?) и (20.28) дифференциала функции выглялят одинаково: в обеих формулах дифференциал равен сумме произиедеЕнЕЙ частных производных на соответствующие дифферен- циалы, олнако в случае формулы (20.2?) Е/11 являктгся дифференциа- лами независимых переменных, а в случае формулы (20.28) дх1 суть дифференциалы функций. Это свойство называется Еиггюрнантносптью форма первого дпфференниааа относительно выдра переменных. 3 а меч а и и е.
Из формулы (20.33) следует, что 0 гд Частные нраивводные, Ди44еренсСируелсасть 300 1. с((и+ о)=с(и+сЬ. 2. с((ио) = оии+ исЬ. (20. 36) С и 1 и«Си — иск 3. д(- — )=— ,о о« и — где и= о д«1 что — = — и ди о Докажем, например, формулу 3. Пусть г = и(х„..., хн), о = о(х„..., х„). Замечая, дх и — „= — —,, имеем, согласно формуле (20.28), ! и оди — идо с(г с(и — — сЬ = о«о« Формула 3 доказана.
При вычислении конкретных дифференциалов функций многих переменньсх можно широко использовать формулы, полученные нами раньше (см. з 9) для дифференциалов элелсентарных функций. Заметилс для этого следусощсс: пусть функция у = у(х„..., х„) прел- ставлена в виде у =- г(сс), где сс == и(х,, ..., хн). Тогда при соответствующих предположениях, согласно формуле (20.28), с(у =- Р' (сс) с(сс, и = и (х„..., хн). Например, если у=з(пи, то с(у=созис(сс; у= !пи, то с(у= —.„ да Ии если у=-агс18 и, то с(у =, и т. д.
(подчеркнем, что здесь 1+и« везде и=и(л.„..., х„)). В качестве примера найдем дифференциал функции г = агс18 У- . Вычнсления производятся в следующем порядке: ут ! /у1 л«лду — удх с(г=-с((агс18 — ~ = —, и (- — ~ = « ~ 11 У 'л «с ««-1-у«х" «« Если требуется вычислить частные производные функции многих переменных, особенно если надо вычислить все производные ренцируемость функций хс(С), с = 1, 2, ..., п, в то время как а п.
20.3 — лишь существование у этих функций соответствующих частных производных. Инварпантность формы первого дифференциала широко используется при практическом вычислении дифференциалов и частных производных. Если и и о суть функции какого-то числа переменных, то с помощью формулы (20.28) легко получаются следующие: 20зс Инвприантнаеть фарг!и первого дифдиеренциала то цслесообразио вычислить дифференциал этой функции, тогда искомыми частными производными будут коэффициеиты при соответствующих дифференциалах.
Так, в рассмотревпом прильере г = агс1д —; беря коэффициенты у. при ь!х и с!у из пайдениого нами выражения для диь)хререцциала, получим дг у дг х дх хт +у! ду хв + уг Замечание. Всякую функцию у=!(х„..., х„) от и переменных мозсно рассхьатриеапьь а определенном смысле и как г!ыьнкьЬию оп! любого висла и+ т) л переменных х,, х„..., х„, ..., хп+,. Именно, для всякой функции !(х„..., хв), заданной иа множестве Е~Е", определим функцию !в(хь, ..., хн, ..., хн.! ) иа миожесзво точек (х„..., х„, ..., хп+,„), таких, что (х,, ..., х„) ц Е, — ооа. хт "+со, 1=и+1, ..., и+си, следующим образом: !в(х„..., хтп ..., х„+ы) — — !(хь, ..., х„).
(20„37) Такил! образом, рассльотреиие функции л перелье~иых, как функции и + и! перемеьп!ых, озиачает фактически продолжение по формуле (20.Э7) функции ! с множества ее определения Ес=Е" иа множество Ев == ((х„..., х„+„,): (х„..., хн) ~ Е, — оо а. х! ~+со, 1=и+1, ..., л+т), лежащее уже в пространстве Е"+"'. Для функции !в, полученной после такого продолжения, имеем д!в (хь, ..., х„ь, ) д! (хь, ..., хн) дх,. дхь д1*(х,..... х„+н,) "+н' =-О, 1=и+1, ..., п+т, дх! поэтому ~+О1 д! (х,, ..., хп+,„) ь(!в(хл, ..., х„+ )= ~г„д с1х! —— ю= — 1 и г ! Например, когда мы говорим, что функцию одного переменного , = !(х), опредслевпую па некотором интервале (а, Ь), мы рассматэиваем как фуикцщо двух перемевиых !(х) = Е(х, у), х~ (а, Ь], 302 а хд.
Чиханьи ироиооодиие Дидхуеренцируемоеал — оо ( у (+ оо, это означает, что функция Е(х, у) является постоянной, равной г(х) на любой прямой, проходящей через точку х интервала (а, Ь) оси Ох парал.чельпо оси Оу. При этом — = ~'(х), — ' =-О, йЕ(х у) —.. а((х), ду(х, у), дд(х, у) дх ду а( х(Ь, — оиру«.
+оо. Полезно для дальнейшего отметить в известном смысле обратный факт. Пусть Е с: Е". Если функция (*(хо ..., хи, х,+~) определена на множестве Е* =- ( (х,, ..., х„, х„.у ~):(х„..., х„) ~ Е, а (хо, ~ ( Ь ) и+' =0 на Е' (20.38) дх„л ~ то существует функция 1(х,, ..., х„) от и перемсннык, определенная на множестве Е, и такая, что г*(х„..., хи, х„.~,) = 1(х,,, х„) для всех (х„..., х„) ~ Е, х„.ь, ~ (а, Ь).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
