Кудрявцев Л.Д. - Математический анализ (1077055), страница 55
Текст из файла (страница 55)
В этом случае говорят, что функиия )м 4акршчегки не зависит от переменной х„.~ь В саьюм деле, из условия (20.38) следУет, что фУнкциа 1* постоЯнна как фУнкциЯ хич ~ (см. леммУ п. 11.2) при фиксированной точке (х„...,х„), т. е., зафиксировав какое-либо с ~ (а, Ь) для любой точки (х,, ..., х„) ~ Е и х,.ш ((а, Ь) имеем (*(х„...,х„+ )=Г(хм ...,х„, с). Искомая функция Г, очевидно, определяется равснс:вом Г (к„..., х„) = )* (х„..., хао р), причем она не зависит от выбора с~(а, Ь).
Из вышесказанного, в частности, следует, что формулы 1 — 3 для дифференциалов остаются справедливымп и в том случае, когда числа переменных, от которых зависят функции и и р,— разлнчны, так как всегда в силу указанного приема этот случай можно свести к вышеразобранному случаю одного числа переменных. 20.5. Геометрический смысл частных производных и полного дифференциала Для большей геометрической наглядности и для того, чтобы не вводить новых понятий, в этом пункте ограничимся рассмотрением функций двух переменных.
Уд.а Геоиегрг>чегкид сингл чнггнв>х лроизлодных и дифд>грея>>г>лла ЗОВ рассмотрим функцию г = /(х, у), определенную на плоском открытом множестве 6, т. е. множестве 6, лежащем на плоскости Ез. Пусть (х>ь уе) ~~6 и пусть в точке (х>н у,) существует частная произ- дг водная .—. Ее геометрический смысл сразу получается нз определедх' дг пия частной производной — как обычной производной функции дх Рис. 74 г(х, у) по х при фиксированпол> у и из геометрического смысла обычной производной (см. и. 9.3).
В сал>ом деле, нозьл>ем замкнутый круг (') рал>туса г с центром в точке (х>н у„) и лежащий в 6*>. Г!усть у— кривая, заданная представлением 2 =7(Х )'о) у =-уе х„— г ~~х ( ха+ г, г. е. кривая, которая получается сечением графика функции . = /(х, у), (х, у) ~ 9 плоскостью у = у, (рис. 74). «> Такой круг >е всегда существует.
действительно, н силу онределенвя >ткрытого множества существует такая Ь-окрестность О точки (хв, у„), что У г: о. тогда замкнутый круг 9 радиуса с центром в точке(хв, у„) будет й 2 щвсдоио лежать в 6. й га. Чатнне и/юнзводние, //«н«1«/«ерен«/нсд«ело«то Как известно, д/(»о.уо) д/(» Уо)! дх дх ! (на, где и — угол, образованный касательной к графику функции /(х, у,) в точке (х«ь /'(хо, у„)) с осью Ох, т. е. угол, образованный касательной к кривой т в точке (х„утн /(х, уо)) с осью Ох. Таким образом, д/(»о Уог д» вЂ” в этом и состоит геометрический смысл частной производной. Совершенно ангичогично устанавлииается и геометрический смысл д/(»о* Уо) частной производной '* ' как тангенса угла наклона, образованду ного касательной в точке (х«н у«н /(хо, уо)) к кривой, образованной сечением графика функции г = /(х, у). (х, у) ~ О плоскостью х = х«н с осью Оу.
Что же касается геометрического смысла дифференциала, то из формулы (20.13) для нашего случая, т. е. прн и = 2, получим 2=2.+А(х — хо)+ В(у — Уо) (20.40) ЯВЛЯЕТСЯ УРаиисг/ИЕМ ПЛОСКОСТИ, ПРОХОДЯШЕй ЧЕРЕЗ ТОЧКУ (Х, )«2о) и не параллельной оси Ог. Как мы знаем, козффициепты А и В однозначно определяются из соотношения (20.39), причем В д/ (»о. Уо) ду д/ (»о Уог дх (20А!) и, значит, плоскость (20АО) однозначно определена соотношением (20.39). Эта плоскость называется касательной плоскостью к графику функции г = /(х, у) в точке (х„у«н г,). Таким образом, чы пришли к следующему определению. Определение 5. Кас тельной плоскосгггью к графику «/гг/нкг/гги /(х, у) в данной точке навьи/ается талон плоскость, что разно«тггь ее аппликиогьг и вначенггя функции /(х, у) является величиной, бесконечно л«алой по сривнению «р при р-н О. В силу (20.41) ее уравнение имеет вид П»о.уо (,) 1 /(оо,уо)(, у) (2042) д» " ду /(х, у) =- г + А (х — х,) + В (у — уо) + о (р), р - О, (20.39) Р = )/(» — хо)'+ (У вЂ” Уо)' го = /(хоо Уо).
Уравнение гд.б. Проивводнпя по нппрпвлени>о В дальнейшем (см. т. 2 п. 60.2) мы познакомимся с другим подходом к понятию касательной плоскости. Полагая Лх = х — х>н Лу = у — у„правую часть уравнения (20.42) запишем в виде д((Я>н Уа) ар ')Я(ла. Ур) д дх + ду Это есть обычная запись дифференциала ог функции г = 7(х, У) в точке (х>ь У,). Если текущую аппликату касательной плоскости обозначить г.„, то (20.42) перепишетсяя следующим образом: (хр Ув лис. 75 2вра 2р =- >>г, 20.6. Производная по направлению Частные производные от функции, по существу, явлщотся производными в направлен>>ях координатных осей. Естественно поставить вопрос об определении и вычислении производной по любому фиксированному направлению.
Прежде всего определим это понятие. Проведем рассмотрение этого вопроса на примере функщ>й трех переменных. Пусть функция ) определена в б-окрестцости 0(М„; б) точки Мр>- Е", пусть М> > 0(Мр; б). Проведем черезточки М„и М, прямую. За положительное направление на этой прямой возьмем направление — >. вектора 7 =. М,М,, т.
е. направление от точки М„к точке М,. Для всякой точки М этой прямой обозначим через МаМ ориентированну>о длину отрезка с началом в точке Мв и концом в точке М, т. е. длину этого отрезка со знаком «плюо>, если вектор М„М имеет то же направление, что и вектор «, и со знаком «минус» в противном случае, Определение 6. Предел йш ) рн) — >'(м.) м'м, Л)р М Таким образом, геометрически»олный диФФеренциал функции в точке (хр, ур) ровен приращению аппликаты касательной плоскоопи к граф ку функции (рис.
76). 4 гв Чатмие опанооодние ггоффепенпоруемосгл 306 г Юр ',дг х — хо=зсоза, у — уо=зсоэр, г — го-— — з сов у. Вдоль прямой МоМ функция 1 является функцией одного пере- менного з, а именно Риа 76 1(х, у, г) =1(хо-)- з сов а, уо+3 сов и, г„+ з сов у). Производная этой функции по в(если она, конечно, существует) и является произюднойг))ункг(ии 1в точке Мо по направлению векпюра МоМ,. Заметим, что направлтощне косинусы соз а, соз (3 и соз у вектора М М, определяются следугошим образом через координаты точек Л(о =- (х„уо, г,) и М, = (хн у„гг): сова.==' соз () =, с')зу =, (20.43) »,— »о ж — уо »1 — го Р Р Р Р = )г (х~ — х )'+ ()'г — )'о)о+ (г — го)'.
Вычисляется производная по направлени)о по правилу дифференцирования сложной функции. Пусть функция 1(х, у, г) дифференцируема в точке (хо, уо, г ) и пусть к = х, + в соз а, У = Уо+ з соз (), г = го+ з соз У. (20.44) Согласно об.пей ф)ормуле для производной сложной функции, д! (Л)о) д)(Л)л) Ех ) д1(Л)о) ду ) д1()Ю ~~ до д» до + ду до + дг до ° если он су)г(ествуегп, называется производной функ))ии 1 аллочке Мо по направлению вектора 1 и обозначается — ". д1()но) д( Пусть теперь в пространстве Ео зафиксирована некоторая система координат х, у, г. Пусть М = (хо уо, го) М =- (х, у, г), Лх = х — »;„Лу =- у — у, Лг =- г — го и з = МоМ. Найдем связь между координатами точки М и ориентированной длиной в отрезка МоМ.
Пусть а, (3 и у — углы, образованные вектором М„М, соответственно с осями Ох, Оу и Ог. Тогда (рнс. 76) хдд. Пронвводнав оо навравлвнню но иэ (20.44) следует, что дх ду дх — =сова, — =совр, — =сову, дв = ' дв ' дв (20. 45) поэтому окончательно — — ' сова+ ' соз() + — 'сову. (20.46) д1 (Мо) д1(Мо) д1(Мв) гЦ(Мв) д1(Мо) д( Ив дх ду дх Это и есть искомая формула. Таким образом, доказана следузощая теорема.
ТеоРема 7. ПУсгпо фУнкг(ил 1 дггфг)зеРенг(ггРУема в то Рте (х„рв, ев). Тоедп в мной точке функг(ия 1 плгеет произгюдные ло любому напровленшо и эти производные находятея по форлгуае (20.46). Очевидно, что по самому определению производной по направлению (от точки М„к точке М,) функции точки она не зависит от выбора прямоугольной декартовой системы координат, а определяется только точками М, и М„или, что то же, точкой Мв и вектором г М„М, (кстати, этот факт сразу не виден из формулы (20.46)). Вектор с координатами д1 Ф1„) дЦМ„) д1 (М„) дх ду ° дт называется градиентом функции 1(М) в точке Мв и обозначается угад 1. '1'аким образом, если 1, 1 и и — координатные орты, то ига д 1 = — 1+ —,1+ — й. д1 .
д1 . д1 да ду дх (20.47) Часто оказывается удобным использование символ-вектпора Гииилагпоно в'. .д .о д тг =1 — +.1 — + Й вЂ”, дх ду дх * называемого воблой. Набла является обозначением определенной операции, которую следует произвести над тем или иным объектом. Для функции 1 по определению полагаем 71=1 — +1 — +" —. .д1 .д1 д1 дх ду дх ° ю э. Гвмиаьтои наев — !зао) — аигхиэеиия математик.
Формально это равенство можно рассматривать как «произведение» вектора ъо на число 1. Итак, ягад 1 и р1 являются обозначениями одного и того же выражения. вов в 2д. частные производные, Ллл4ч4еренл/пруелюсть С помощью градиента можно коротко записать формулу для производной функции / по направлению вектора / = (соь а, сов р, соь у) следующим образом: — = совы —. +сов() — + сову — =-/ пгаб/, д/ д/ д/ д/ д/ дх ду де где в правой части стоит скалярное произведение векторов / и йгаг) /. Отсюда, поскольку / — единичный вектор, ди йу = ( йгаб и (сов гр, где гр — угол, образованный вектором / и йтаг( и.
Из этой формулы видно, что в случае, если в данной точке ~ йгаб/!'=-(д~) + Я +й чь0*~, то производная функции по направлению достигает наибольшего значения в единственном направлении, при котором сов ~р = 1, т. е. в направлении градиента. Из этого, в частности, следует, что при заданной функции точки /(М) градиент а каждой точке однозначно определяется самой функцией, а не зависит от выбора систеллы коор- динат, как это могло бы сначала показаться из формулы (20.47). Возьмем теперь любую непрерывяо днфференцируемую кривую без особых точек, проходящую через точку (х„, уе/ ае), и такую, что — н вектор Ме/И, является ее касательным вектором. Обозначим через в переменпуло длину дуги этой кривой, отсчитываемую от точки М, н в таком направлении, чтобы вектор М,/И, давал положительное на- правление на касательной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
