Кудрявцев Л.Д. - Математический анализ (1077055), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Ингеграл, стоя«ций справа, является табличным (см. формулы 14 и 15 з п. 22.2). Подобным же приемом вычисляются и интегралы вида ах и ям О ах«+ ах+ с ' (см. об этом в п. 24.1). 22.4. Интегрирование по частям Теорема 2. Если функции и(х) и о(х) диффереи«(ируемы и интеграл ~ о«(и суи(естеуеп1, то и интеграл ~ и«(о также суи(ествует и ') иао =- ио — ) ойи. (22ЛО) До к а з а т е л ь с т в о.
По правилу дифференцирования произведения имеем д(ио) = ог(и+ «и(о, и потому иг(о =. «1 (ио) — ойи. Если дифференциалы (или, что то же, производные) как«1х-либо функций равны, то их неопределенные интегралы, очевидно, совпадают; поэтому (см. (22.6) и (22.7)) ~ и«(о = ') с((ио) — ) ос(и„ (22.11) но, согласно свойству ! п. 22.1, ~ с( (ио) =- ио+ С.
Подставляя это выражение в (22.11) и относя произвольную постоянную ко второму слагаемому, получим (22.10). Теорема доказана. Е 22 Определение а гаойегва неанреаехенноеа интеграла Зза Формула (22.10) часто оказывается очень удобной при конкретном вычислении интегралов. Отметим, что при практическом использовании этой формулы задана левая часть, т. е. функция и и дифференциал г(о, поэтому функция о определяется неоднозначно. Обычно в качестве функции о выбирается функция, записывающаяся наиболее простой формулой. Примеры. 1.
Пусть требуется вычислить интеграл ) хе*дх. Полагая и=-х, еЬ=е-"е(х и, значит, г)и=-г(х, о=е-", имеем хех е(х = )г хе(ех = хе" — ~ е' г(х =- хе-" — ех+ С. 2. Вычислить интеграл 1=-1 р а' — х'г(х. Полагая и =- ~/их — хг до (х и, следовательно, г!и = — — -- — = е(х, г' а' — л' получаем 1=- ) ай(а' — хабх=-х ~/а' — х'+ ) — р — —, „. (22,12) Добавим и вычтем а' в числителе подыитегральиой Функции интеграла, стоящего в правой части равенства; тогда, произведя деленно на )1ах — хх, будем иметь — — (' хх йх (* аа — (аа — хе) -- — дх = г' а" — х',1 г ах — х' йх =- и' ( " — ~ ~' а' — х' г(х =- о' и сз(п х — 1 1~ ае — х' а и, подставляя это выражение в (22.12), получим 1=- х у'ах — х'+и'агсз(п — — 1. (22 13) Как уже отмечалось, всякое равенство такого вида выражая собой равенство между двумя множестпамп функций, элементы каж- 283 Колииеисиме числа 327 лого из которых отличаются друг от друга на постоянную.
Поэтому общее выражение для элемента нз множества 1, согласно (22.!3), имеет вид 1=- — 'тга' — х' -(- — агсяп — + С. к ав . к 2 2 а 3. Иногда для вычисления шпеграла правило интегрирования по частям приходится применять несколько раз, например, агсяп' х 'х =- х агся пи х — 2 ) агсз! и х . = хагсяп'х+2 ) агсз(ахи у'1 — х'= = х агся и' х+ 2 а гся и к у' 1 — х' — 2х+ С. 4.
Если Р„(х) многочлен степени х, то для вычисления интеграла ) Р„(х) сакс(х следует формулу интегрирования по частям применить и раз, тогда получим — — — „';„', ) 4 23. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ О КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЛАХ И МНОГОЧЛЕНАХ 23.1. Комплексные числа Как известно из курса элементарной матемасики, коксгисжояылщ числилщ называются выражения вида где св = — 1, а х и у — вещественные числа. Число х называется вещсствсшюи частью, у — мнимой частью комплексного числа г. Зто записывается следующим образом: х=1(ег, у=1шг*>.
Комплексное число г, не являющееся вещественным, т. е. у которого 1ш г+ О, будем называть существенно комплексным числом. Число у' хе+ус называется ' модулем комплексного числа г == х + !у и обозначается 1 г~, т. с. ! г! = '!7х' + ув. и От йрииЦУзсиик слов гее! — Дсйствитечьниа и иивяьае — иииицж 328 р 28. Некоторые свеоеяггя о комплексных чиглог и мкогочлекох Каждому комплексному числу г = х + гу соответствует упорядоченная пара вещественных чисел (х, у), и обратно, каждой упорядоченной паре вещественных чисел (х, у) соответствует комплексное число г = х + гу.
В силу этого взаимно однозначного соответствия (а также и в силу других обстоятельств, о которых речь будет ниже) комплексное число г = х+ гу геометрически удобно интерпретировать как радиус-вектор на плоскости с координатами х н у (при некоторой фиксированной прямоугольной декартовой системе координат). Угол гр, образованный радиус-вектором г, г 4= О, с положительным направлением осн Ох, называется ареелгентом комплексного числа г и обозначается Ага г.
Значения гр аргумента комплексного числа г, такие, что — и < Ч, < и, обычно обозначают агй г. Очевидно, что Агд г определяется комплексным числом г Ф О с точностью до целочислеппого кратного 2п*1, в то время как агдг определяется уже числом г ~ О однозначно. Очевидно также, что агнг= агс1н — + йл, У где (г =-- О для первой и четвертой координатных четвертей, й =- ! для второй и (г -=- — 1 для третьей. Пусть ~ г( = г, Агд г =- гр, тогда х =- г'соз гр«у =- Гз1пгр (рис. 77), и потому Рис.
77 г =.= х+ ту =- г (соч гр+ г 8(и гр). Представление комплексного числа г в таком виде называется тригонометрической записью колггсеексноео шсла. Сумма двух комплексных чисел г, =- х, + гу, и гх — — ха + гуа определяется согласно формуле г, + га = (х, + хх) + г(у, + у,).
(23.1) Иначе говоря, вещественная и мнимая части суммы г, + г, равны суммам соответственно вещественных и мнимых частей г, и га. Разнсппо комплексных чисел определяется как действие, обратное сложению, т. е. разность г =- г, — га является таким числом г, что г,+г=-ггл Следовательно, если г =- х + гу, то х, + х + г(ух + у) = х, + гу. Отсюда х = х, — ха, у =- у, — уа, т. е, вещественная и мнимая Ю Поэтому равенства, в которых в обоях частях стоят аргументы (ага) каких-то комплскспых чисел, представлягот собой, по сутдссгву, равсаогво между множествами.
2а! Ко««л.«екс««ые числа части разности г, — г, равны разностям соответственно вещественных и мнимых частей чисел г, и г,. Г1оскольку геометрически вещественная и мнимая части комплексного числа являются его координатами, и прп сложении (вычитании) координат векторов сами векторы также складываются (вычита«отея), то формулы (23.!) озиача«от, что геометрически комплексные числа складываются и вычитакпся как векторы (рис. 78 и 79). Р««с. 79 Рис. 75 Лроизеедение двух комплексных чисел г, = х, + гу и г, == х, + гу, определяется по формуле гг ге =(х«+«У«)(ка+«ра) ==-(х, х,— У, Уа)+1'(х«Уа+У«ха).
(23.2) 11ай11см формулы умножения комплексных чисел в тригонометрической форме. Если 㫠—— Г,(СОзф«+151пф«), ге=Ге(СОзфе+151ифа)ф то — Г, Ге [(СО5 ф« СО5 фа — ЫП «Рт 51П фа)+ -! -1 (СО5 фт 51 П фа+ 51 П фт СО5 фа) [ = Г, га [СО5 (ф«+ фа) + 1 Ы П («Рг 1- фа)[ и, таким ооразом, [г«ге[= [г« [ [га[, Агя(г« га) = Агдгг+АГага '. (233) Отс«ода для степени г", п=.1, 2, 3, ..., комплексного числа г имеем 1ги[=«г[", Агйги =и Агйг, «) Это равенство, как и вообще все равенства с Лга, следует оонвмать как равенство множеств. ззо 4 2З Нвкохогме сввавиил о коиалексиих числах и лкчовочлввах в частиости, при (г(= (, т.
е. когда г=-соыр+ 1з1п<р, (соз Ч~+ 1 я и гг)в =- соз п Ч~+ г з! п пср, (23.4) Операция деления — ' комплексного числа г, на комплексное хл число г, ьи О определяется как операция, обратная операции умножения, т. е. число г= — "' называется частным, если г,=гаг.
Поэтому )г,1=)г,,)~г! н Агдг,==-Агяг,чсАгйг, откуда ! г(= ! — '-1= — ', Агйг ==Агй — ' = Агйг,— Агйг,. (235) х 1 1хк( Формулами (23.5) комплексное число г = -' при заданных г, и гз Ф О, очевидно, определено однозначно. Ряд других свойств комплексных чисел, как, например, коммутативность и ассоциативность сложения и умножения, дистрибутивность умножения относительно сложения и другие свойства непосредственно следуют из формул, с помощью которых опред лены эти операции для комплексных чисел, и из соответствующих свойств вещественных чисел. Поэтому не будем на иих подробно останавливаться.
в Корень п-й степени ге =-- тл г из комплексного числа г определяется как такое число ге, п-я степень которого равна подкоренному выражению: Если г=г(созсГ+! япср), а ге=р(созф+1япф), то р" ~созпл)-(-(япггф) =-г (сов чр+(з!п ср); отсюда ар.— ==. тгг. Здесь корень понимается в ариррыетическом смысле — как неотрицательное вещественное число„ибо по определеншо модуля комплексного числа р > О. Далее, пф = ср+ 2йп (й — целое), или ч+ 2кл л 33! 23 К Кил~илечсине числа Мы получим па супгеству различные значения аргумента прн значениях А = О, 1, ..., и — ! в том смысле, что если обозначить эти значения аргумента через ч): и положить сия = р(сов Ч:я + ! з|пчря), го при р Ф О получим различные комплексные числа. При всех зстальных й значения чу будут отличаться ат указанных углов чуя на <ратное 2п, т.
е. эти значения аргумента будут приводить к одному из <омплексных чисел сия, й = О, 1, ..., и — 1. Таким образом, ко- и тень яс г имеет при г =~ О в точности и значений са„ша ..., спч '+й Рис. аа Рис. И Геометрически числа ш, й =- О, 1, ..., и — 1. располагаются в яершинах правнлшюга п-угольника, вписанного в круг радиуса р : центром в начале координат. Это следует из того, что аргумент яисла ш„отличается аг аргумента числа ше 1 при всех й =-1, 2, ..., 2п я — 1 на адно и та же число —. На рис. 80 изображен случай и =- б.
Каждому комплексному числу г = х+ уу соответствует число с — (у, которое называется сосутхенньья к г и обозначается г; = х — уу. Геометрически число г изображается вектором, симме;ричным с вектором г относительно оси Ох (рпс. 81). Свойства сопряженных комплексных чисел 1. !г~.=- !г), агйг= — агйг. 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
