Кудрявцев Л.Д. - Математический анализ (1077055), страница 60
Текст из файла (страница 60)
гг=- !г,''. йч г=-г. 4, г1+гя — — гя-! гя. 5. г, гч = г, г,. б ( гЯ ) е, г „ О 9 а 2З Некоторые сведении о комвлекгныл числов и многочленил Свойство 1 очевидно (см. рис. 81). Далее, согласно правилу умножения комплексных чисел, г г=--(х+(у)(х — йу)=ха+уа. Свойство 2 доказано. Свойство 3 также очевидно: если г =- х+ гу, то г=х †(у и г = х — )у ==- х+ (у = г.
В справедливости свойства 4 можно убедиться геометрически, взяв параллелограмм, симметричный относительно оси Ох, с парал- лелограммом, натянутым на век- У торы г, н ат (рис. 82), т. е. параллелограмм, натянутый на векторы г„и ла. Диагонали зтих ичт параллелограммов будут также тл симметричны относительно оси и, следовательно, будут соответственно равны г, + га и е, х аь + ет.
С другой стороны, по- 1 слсдняя диагональ, как сумма ! векторов гт и гт, равна также и хт + ха. Свойство 4 доказано. Свойства 5 и б следуют из того, что модули и аргументы выра>пений, стоящих в разных частях соответствующих равенств, совпадают. Действителыю, используя свойство 1, получим ( з~ Г~ ( =: ~аа зт ) = 1 а~ ~ ' ( ет ~ = ~ а ! от ! =1 ха 'хт ), Агйгаат =- — Агрегат= — (Агат,+Агйгт) =- .—... — Агй г,— Агяга=Агяг,+Агджа =-Ага а1 аа. Свойство 5 доказано. Аналогично доказывается свойство 5. 23.2. Некоторые понятия анализа в области комплексных чисел Понятие предела последовательности легко обобщается н на случай комплексных чисел. Определение 1.
Пусть задана псследачательность а' комплексных чисел ао = х„+ )у„, л =- 1, 2, .... Число ь" =- В + (т) называетсл ! Функция, определенная на множество патуральнык чисел и ниевщая свонл1н эпаченнамн комплексные числа, навываетсн последовательностью комплекспык чисел. 333 гв.г Некоторне понятия она»ива в области колтлелтннх чисел ее пределом, если для лгобоео нещесогвенноео числа а ) О сгги1ествуеа! !покой нолгер лв, чгпо при юх» пв ььгаолняегпся неравенсгпво 1г„— ~(«" е. Б атом случае пишут 1)ш г„= ь и говорят, что последователь- П»» ность (г„) сходится к числу г,. Таким образом, по форме зто определение совершенно такое же, как для предела гослсдовательносги вещественных чисел.
Геометрически, если обозначить через М„конец радиус-вектора г„, т. е. точку с координатами (х„, у„), а через Й вЂ” точку с координатами Д, т~), то равенство 1нп г„= ь будет иметь место в том и толь- а» ко том случае, когда 1ип М„= Ж а ч» в смысле п. 18.1. Это непосргдствешю следует из того, что совоку и- «!,ч ность концов М = (х, у) векторов м г = х+ гу, таких, что ~ г — й ~ < а, образует е-окрестность точки )У = (~, т)) (рнс. 83). Из сказанного следует (см. ь и. 18.1), что последовательносгь г„ = хн + гу„ сходится к числу Ь = $ + п1 тогда и только тогда, в когда 8 гп х„= а, ! нп у„= »1.
Р .Вв Последовательность комплексных чисел, имегощая своим пределом ноль, называется бесконечно малой. На последовательности комплексных чисел естественным образом переносится ряд теорем о пределах последовательностей вещественных чисел, например, теорема о единственности предела, об ограниченности последовательности, имеющей предел, критерий Коши н т. и. В 5 8 были введены обозначения «о» и «0» для сравнения функций. В дальнейпгем понадобятся такие иге обозначения н для последовательностей. Определение 2. Будем говорит!и что последовагпельность (га) ограничена относительно последовательности (го„), и писа!по г„=О(иг„)»г, если существует постоянная с ) О, такая, что 1 „! < ! „1, = 1, 2,....
»! Иногда к »гону добавляют: прг! л -» оэ. ам и 28 11екоторые сведения о коннхексных числах и лногочхенах Это определение в случае и„ ~ О, и 1, 2, ..., эквивалентно СЛЕДУЮП(ЕЫУ: ДЛЯ ДНУХ ДаННЫХ ПОСЛЕДОВатЕЛЬПОСтсй (гн) И (и)) СУ- гцествует постоянная с' ) О и номер па, такие, что 1 г„~ ~( с' ( ил„(, и = п„п,+ 1, .... ДОИствительно, полагая в этом случае получим ~г,((с~ил„(, п=-1,2,..., т. е. первоначальное определение. Определение 3. Если г„= О (гв„) и ил„= О (г„), то будел~ говорить, что последовательности (г„) и (лва) одного порядка.
Определение 4. Б уделе говорить, что последовательность (г,) яьляется бесконечно малой по сравнению с последовательностью (ин) и писать г„= о(гс„), если сулцестпвует бесконечно лгалая ггоследоватпельностпь (сс„), такая, что г„=а„гон, п=-1, 2, .... Определение 5. Если последовательности (г„) и (сел) такие, что гн+О, гончьО, п=1, 2, ..., и 1(пт -"- = 1, и Мн то эти последовагпельностплг называются вквивалентнымн и пииттпся г,— ил„, а=1, 2, .... У и р аж и с и и я.
2. ))ока".ать, что если гн Ф О и вн ~ О, то, для того чтобы гн лен иеовхоаиг1о и досталочио, чтобы ге = се +о(со ). л= 1, 2...,. З.,Показать: если г„= си„+ о(егн), с ть О, к =- 1, 2, ..., то г„= 0(ген). Можно рассматривать функции комплексного аргумента и комплекснозначиые функции. Например, 1(г) = ~ г(, 1(г) =- г'. Обе эти функции определены на множестве всех комплексных чисел, первая иэ них принимает только 28.2. Нека>осам нонлтна анализа а области колтолексннк чисел неотрнцательш.к. >1ентестттенные значения, вторая и существенно комплексные. Геометрически, если функция 1(г) определена на некотором мно- жестве Е и-мерного евклидова пространства Е' и принимает комп- лексные значения, то она задает отображение этого и-мерного мно- жества Е в плоскость.
Например, функция то = ~ г~ отображает плоскость на полупрямую, а функция то = г' всю плоскость на всю плоскость, как говорят, двукратным образом — в данном случае это означает, что при отображении ю =- га каждая точка образа, кроме нуля, имеет прообраз, состоящий из двух точек. Если множество Е, на котором задана некоторая функция, лежит на плоскости Е', то его можно рассматривать всегда при фиксиро- ванной системе координат как множество комплексных чисел, а заданную функцию как функцию комплексного аргумента Для комплекснозначных функций, определенных на множестве Е и-мерного пространства Е", можно ввести многие из понятий, введен- ных ранее для вещественнозначных функций (предел, непрерыв- ность, частные производные, дифференцируемость, интеграл н др.).
В дальнейшем нам придется встретиться лишь с понятием непрерыв- ности комплскснозначных функций; сформулируем его, Определение 6. Пустпь комттлекснозначная фцнкт(пя / определени на л~ножесттме Ег:.Е" и пусть Ра ~ Е. Функс(пя 1 называется непрерыв- ной в точке Ра, если для любого е > О сущесптвуеш 6 = 6(е) > О, такое, что 11(рн) — 1(Ре) ~ < в для всех точек Р ~ Е, удоалетпвор>ио- щих условию р(Р, Ра) < е. Мы видим, что по форме это определение полностью совпадает с определением непрерывности для вещественнозначных функций (ср. с п.
19.2), В случае, когда Š— плоское множество и, стало быть, его точки можно рассматривать как комплексные числа г, определение не- прерывности примет вид: функция 1(г) непрерывна в точке г ~ Е, если для любого в > О существует 6 = 6(е) > О, такое, что 1 1(г) — 1(га) ( < е для всех г ~ Е, удовлетворяк»цих условию г — ге! < 6. Переносятся на комплекснозначные функции и теоремы о том, что если две функции 1 и д, определенные на некотором множестве Ес:Е", непрерывны в точке Р,(-' Е, то и функции 1+ (т, (гт, а если й(Ра) Ф О, то и — непрерывны в этой точке.
Из этой теоремы следует. например, что любой многочлен и Р„(г) —.— ~> а„ге с комплексными коэффициентами ато )т =О, 1, ..., и, >-.о непрерывен в любой точке г, (ср. с п. 7.1). ззв й 2д Некоторне сееоения о комнлексне»х нислох и мноеочленах 23.3. Разложение многочленов на множители Пусть Рн(х)=-Л„х'+А„, х" — '+...+А,х+Ло (236) — многочлен с вещественными коэффициентами Л„( = О, 1, ..., и.
Если А„Ф О, то число и называется степенью многочлена. Число г (вообще говоря, комплексное), такое, что Рн(г) = О, называется корнем лсногочлена (23.6). Из курса алгебры известно, что число г является корнем много- члена Рн(х) тогда и только тогда, когда многочлен Р„(х) делится без остока на х — г (онюрема Безу). Если многочлеп Рн(х) делится на (х — г)' ((с — неотрицательное целое) и не делится на (х — г)е+', то число й называется кратностью корни г. Если lг равно кратности корня г многочлена Р„(х), то Р„(х) =- (х — г)е ()„к (х), где Яо е(х) — такой многочлен степени п — и, что Я„е(г)+О. Из курса алгебры известно также, что всякий мцогочлен (23.6) степени и можно представить, и притом единственным образом, в следующем виде: Ро(х) = и (х — ге)~' (х — гя)е ...
(х — г )к», (23 7) где г,, ге, ..., г„— различные корин многочлена (23.6), а числа нм являются кратностями корней г„( =- 1, 2, ..., г. Из форл~улы (23.7) видно, что всякий многочлен степени и имеет г, точности и корней, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность. Если число г является корнем многочлена (23.6) с вещественны- ми коэффппиентами, то сопрязкенное число г также является его корнем й притом той же кратности, что и г.
Действительно, пусть Рн(г) = О, т. е. Лнго+Л„1г" — ' + ...+А,г+Ле — — О, тогда, замечая, что 0=0, имеем Ляг'+ А„~ г"-'+ ... +Л, г-)-Л„=О. Отсюда на основании свойств сопряженных комплексных чисел (см. нх свойства 4 и б п. 23.1) и того, что Л, = Ао 1 = О, 1, ..., и (иоо Л, — вещественны), имеем А„г'+Л„~го '+...+А ге+А„=О, 337 23.2 оозлолгение ныогоеленое но нноыггггели Р„(г) =О, что н означает, что г — корень многочлена (23.б).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
