Кудрявцев Л.Д. - Математический анализ (1077055), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Существует, однако, дру~ой способ получения общего наибольшего делителя двух многочленов Р(х) и ()(х), называемый обычно алеоритмаля Евклида. Опишем его. Пусть дня определенности степень миогочлсна Р(х) больше или равна степени многочпена (~(х). Разделив Р(х) на (~(х), получим в качестве частного некоторый многочлен Я,(х) н остаток К,(х), степень которого, очевидно, меньше степени многочлсна фх) (в противном случае процесс деления на Я(х) можно было бы продолжить): Р (х) =- () (х) Я, (х) + йс (х). Из этой формулы следует: 1) если многочлены Р(х) и (,с(х) делятся на некоторый многочлен г(х), то н многочлен )гс(х) делится на этот многочлен; 2) если многочлены фх) и гг,(х) делятся на какой-то многочлен г(х), то и мпогочлен Р(х) делится на этот мпогочлен с(х). Отсюда следует, что общие делители многочленов Р(х) и ()(х), в частности их общие наибольшие делители, совпадают с общими делителями, соответственно с общими наибольшими делителями, многочлсиов Я(х) и К,(х).
Разделим далее многочлеи ()(.к) на мпогочлен К,(х): 0 (х) =- Й, (х) 9, (х) + стя (х), продолжая процесс дальше, будем иметь Й, (х) =-- Йе (х) (~е (х)+ 74 (х), Йь (х) — — )Ь, (х)Ц,(х)+ сся(х). Степени мцогочлснов )с,.(х), с'--1, 2ь ... убывают, поэтому суспе- ствуст номер, мы его обозначим и+1, такой, что стп,+1(х) =О, и, значит, )я ~ — ) (х) -'сои(х)(~а<1[к). 2ДД Рпплохееппе рплпоппллннх дробей пп олелептпрнме Пары многочленов Р (х) и [г(х), () (х) и й, (х), Р, (х) и Р,(х), ..., Яп, ~ (х) и тт' (х) имеют одинаковые общие делители, а значит, и одянаковые общие наибольшие делители.
Но й... (х) делится на Й (х), поэтому )т„(х) является общим наибольшим делителем )с,п, (х) и )[ (х), а значит, н общим наиболыпим делителем многочленов Р(х) и [',~(х). 23.5. Разложение правильных рациональных дробей на элементарные — — = Й(х)+— Р (х) Р, (х) [) (х) [гт [х) (23.24) где Я(х), Р,(х) н Ят(х) — некоторые многочлены, а — — праРт (х) 1 ьх) вильная рациональная дробь. Лемма 1.
Пусть — — правильная рациональная дробь. Р(х) [г [х) Если число а является вещественным корнем кратноспщ а > 1 многочлена Я(х), т. е. ()(х)=-(х — а)" ()т(х) и () (а)+О, то сущесп|вуют ьещесп[венные число А и льчпгочлен Р,(х) с ве- щественнгхлли ковтрцли[иентал[и, липкие, что Р(х) Л Р,(х) [г [х[ [х — и)'". (х — о)а ' с,~,[х) ' где дробь Р, [х) также является нравильной.
[х — п)п — ~ Гг [х) Доказательство. Каково бы ни было вещественное число А, прибавляя и вычитан из дроби Р [х) Р [х) [г(') (х — и)"[гт(х) Пусть Р(х) и [г(х) — многочлены с вещественными коэффициентами. Р[х) Раципнильная дрпбь — — называется правильногц если степень Я(х) л~ногочлена Р(х) лленыие степени л~ногочлена ()(х). Р[х) Если рациональная дробь — не является правильной, то, про[)(х) изведя деление числителя па знаменатель по правилу деления много- членов, ее можно представить в анде Зт4 Э 28. Некоторие еаеоеннн о колтлекених чаелох и лтногочленак А выражение „ получим (х — а) Р (х) А ~ Р (х) А (х — а) ).
(х — а)~ 0т (х) (х — а) 1 А Р (х) — А9т (х) (23.25) (х — а) (х — а) Ят (л) По условию степень многочлена Р(к) меньше степени многочлена (;)(х) =- (х — а)" Ц,(к). Очевидно, что и степень многочлена (Цх) меньше степени многочлена ()(х) (ибо а > !), поэтому при любом выборе числа Л рациональная дробь -' — является пра(х — а) От(х) вильной. Выберем теперь число Л таким образом, чтобы число а было корнем многочлсна Р(к) — Л~,(к) и, следовательно, чтобы этот многочлен делился на х — а. Иначе говоря, определим А из условия Р (а) — Ач)т (а) = 0; поскольку по условию (~,(а)А=О, то отсюда Р (а) Л= —. Ют (а) При таком выборе А второе слагаемое правой части в формуле (23.25) можно сокра1 пг и иа х — а, в результате получим дробь вида Рт (х) (х — а) С)т (к) Поскольк) она гюлучена сокращением правильной рациональной дроби с вещественными коэффициентами на множитель к — а, где а вещественно, то и сама она является также правильной рациональной дробью с вещественными коэффициентами.
Лемма доказана. Лемма 2. Пуспгь — — правильная рациональная дробы Если Р(х) о(х) колитлскснюв число г, = а + Ь( (а и Ь вещеслпвенны, Ь ~ О) является корнелт критности й > 1 многачлсна я(к), т. в. ~',)(к) = (х' + рх + у) бает(к), гдг Ял(гт) ныл, и если х'+ рк + д = (х — г,)(х — гл), то существуют вещесливенныв числа М и лч и многочлгн РДх) с вещеьтпвенньини коэффициентами, танис, что Р (к) тнх+ Ж Р, (х) 0(х) (хе+ рх+ ч)й (хе + рх+ ч)Р лот (х) Р, (х) гдв дробь пшхахе является правильной. (хе+ рх+ Ч)й ~ят (х) 25.б.
Рпзеохеение раяионалвных дробей нп влементпрные Доказательство. Для любых вещественных М поимеем Р (х) тнх+ Л' ) Р (х) й)х+ )т' "[ ( ) р + ч) ( + р + о) 4~( ) ( е р + й) (23.26) Мх+ )У Р (х) — (Мх+ )У) Ят (х) (х'+ рх+ ц)Р (хе+ рх+ а)))О, (х) Р (гг) — (М гг+!Ч) Яг (гг) = О. Если это имеет место, то Р (гт) Мг,+Л'== ( (23.27) где по условию Ят(г,) +О. Пусть г, = а + Ы, ' =. А+(В, тогда Р (гт) ' От (гй Л+(В=Мг,+У=М(а+Ьг)+У. Отсюда, приравнивая вещественные и мнимые части„получим Ма+У=А и МЬ=В и, значит, В а М= — и Ф=-Л вЂ” — — В. Ь Ь (23.28) При этих значениях М и Ф многочлен Р (х) — (Мх+ тУ) (~г (х) будет делиться на многочлеп хе + рх + д. Сокращая второе слагаемое правой части равенства (23.26) на х' + рх + а, получим дробь вида Р, (х) (х'+ рх+ г)" Ят (х) причем второе слагаемое правой части равенства (23.26) является, как нетрудно видеть, правильной дробью. Постараемся теперь подобрать М и )х' так, чтобы числитель этой дроби делился на х' + рх+ д — (х — г,) (х — г,), Для этого достаточно выбрать М и )У так, чтобы г, было корнем многочлена Р(х) = (Мх + й)Я,(х).
Действительно, тогда, согласно сказанному в п. 23.3, число г„сопряженное с г„также будет являться корнем указанного многочлена. Отсюда и следует, что этот много- член в силу существования его разложения вида (23.10) делится на хх + рх+ д. Итак, пусть р гэ Но«о»орые гнгегния о яояяяг»гны» «иглох и многочхгнок Поскольку она получена сокращением правилыгой рациональной дроби с вещссгвеиньв|и коэффициентами на лщогочлеп с веществен- ними коэффнпиентаыи, то и сама она является также правильной рациональной дробью с вещественнымн коэффициентами.
Лемма доказти. Сформулируем теперь основну)о теорему этого пункта. Теорема 1. Пусть — — правильная ра((напальная дробь' ', Р (х) (с (х) р (х) и (ч (х) — многочлень( с веи(ественнс(л(и кое()зфи((иентак(и. Если (;)(х)= =- (л — а,)" ... (х — а,)и (хз-( р, х+(),)й ... (х'+ р»х+())(), (2329) еде а, — попарно разлил(ные ьеи(есгнвенн)хе корни мнюгочлена (г(х) кратноспт ио ('=-1, 2, ..., г, а х'+р х+() =(х — г )(х — г)), где г, и г,— лог|арно различные при раэных )' с((и(есп(сенна колиьаекс- НМЕ Карпи МНОгОЧЛЕНа Я(Х) Кратысети рн )'=1, 2, ..., З, та Сйо а(есгпвую)п веи(есп)вен)иге числа А(,"), ( == 1, 2, ..., г, и = 1, 2, ..., ан И( и й(), )=12, ...,в, й«12, ..., ~Р )панне, что Р (х) А(|') А(м А(и() (х — ллл)~л А(|) А(и) А(с»„) а и-|+"'+, + (х — ()' (х — и)' г М(|]х+ Н(П М~Э) х+ К(,'-" М(()()х+ К(|й|) (х«+ Р, х -! Ч )Рл (х'+ Р)к+ Чл)))) ' "' 'а+ !зла+ Чл "* М(|) Х.+ Л П М(2) + Н(2) М(р )х+ Ь(()») (хаф Р,х+ Ч»)()» (к«+ Р х+ д )"» " + Рл х+ Ч» (23.30) «) Бсз ограничсния общности можно считать, ио коэффицнснт у стари:ого члена многочлена Я(х) равен елиницс, так как в случае, когда он раасн какому-то другому числу (отличному от нуля), можно разделитынслитель и знаменатель дроби — на это число, после чего у получившегося в энамсна- Р(х) ()( ) тале многочлсиа коэффициснт у старше|о члена окажется ранимы сдиницо 34 мДД Раэлохтенае рациональных дробей на элементарные Доказательство.
Из разложеиия (23.29) имеем Я(х)=-(х — а>)" с)»(х), где (>»(х) ==(х — ах) ... (х — а,)ат(ха+ рт х+д>)(> ... (хе+ рлХ+ >) )рт и, следовательно, (",>> (а,) пи О, поэтому„согласио лемме 1„ Р (х) А(>п Р, (х) Г)(х) сст ( а -> (х — о») ' (х — а,) ' >',>> (х) Применяя в случае о>)1 подобным образом ту жс лемм: Р» (х) к рациональной дроби , получим (х — а») > >2> (х) Р (х) А>~~> А<э> Р () (х — а,) ' (х — а,)» (х — а,)» С)»(х) Продолжая этот процесс дальию, пока показатель степени у со миожителя х — а, ие станет равиым нулю, а затем поступая впало гичпым обри:и>м опюсительио миожителси х — и>, ( = 2„..., >, будем иметь Р(х) А(» А<'> А( ) 1,+ -+ .
+-+ 6)(х) ' х „а, х а,— > '" (х — а») А>И А>х> А(~т) Р~(х) + а+ а — > р'"+ х — а +» (» — > )а" (х — а,)~т» а' ~ (х) где, ) — сиовз рациональная дробь, причем Р*(х) и (~а(х) (>* (») суть миогочлеиы с иеществеииыми коэффициентами и миогочлеи С>*(х) ие имеет веществеииых корней. Примсияя последовательно лемму 2 к дроби „и к по е>*(х) луча>ощимся при этом выражениям, в результате получим фор мулу (23.30). Теоре»>а доказана. Рациоиальиые дроби вида А Мх+ >>> и (х — а) (хх+ рх+ Ч)е ив Э 2В Некоторые сведения о комплексных ккслак и л~ногокленах рь где а, р, д, А, М и )У вЂ” вещественные числа и — — () ( 0 (корни 4 трехчлена х'+ рх+ () существешю комплексные), называются элементарными рациональными дробями. Таким образом, доказанная теорема утверждает, нто всякая правильная рациональная дробь л(ожет быть разложена в сумму элементарных рациональных дробей.
При практическом получении разложения вида (23.30) для конкрепю заданной дроби обычно оказывается удобчым так называемый метод неопределенных коэффициентов. Он сор(х) стоит в следующем. Для данной дроби — — пишется разложение 0(1) (23.30), в котором коэффициенты А;, М~ ), Ит( считаются неизвестн ы и и ((' = 1, 2, ..., г, а =: 1, 2, ..., а,, ! = 1, 2, ..., э, () = 1, 2, ..., йт). После этого обе части равенства приводятся к общему знаменателю и у получившихся в числителе миогочленов приравниваются коэффициенты. При этом если степень многочлена (,)(х) равна п, то, вообще говоря, в числителе правой части равенства (23. 7) после приведения к общему знаменателю получается многочлен степени и — 1, (а) т.
е. многочлен с и коэффициентами, число же неизвестных А; М(, й(( также равняется п (см. (23.10)): т 5 ~ч(', а(+2 ~" д =-п. (- ( /=! Таким образом, мы получаем систему п уравнений с и неизвестными. Существование унес решения вытекает из доказанной теоремы. Отметим, что после приведения выражения (23.30) к общему знаменателю и его отбрасывания, в случае, когда (',)(х) имеет вещественные корни, целесообразно подставить в обе части получившегося равенства последовательно эти корни; в результате получаются некоторые соотношения между искомыми коэффициентами, полезные для их окончательного определения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
