Кудрявцев Л.Д. - Математический анализ (1077055), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Покажем теперь, что кратность г н г совпадает. Если г =г (это условие означает, что г — вещественное число), то утверждение очевидно. Пусть гФ г (г — существенно комплексное число) и пусть г является корнем многочлена (23.б) кратности гг, тогда, как мы видели, (23.8) Р„(х) = (х — г) Р„, (х), где Р, 1(х) — многочлен степени и — 1.
Согласно доказанному, г также корень Р„(к), поэтому (г — г)Р„, (г) = О, и так как г — г эь О, то Р„~ (г)=-О; отсюда следует, что много- член Р„, (х) делится на (х — г), и поэтому Ро (х) = (х — г) (к — г) Ры — г (х) (Р„ г(х) — многочлен степени и — 2). Поступая далее аналогичным образом с многочленом Р„ ,(х). через )г шагов получим Ро(х) =-(х — г) (х — г) Ри ее(к), где Р„гл(г)+О, а значит, и Р„ы(г)+О.
Таким образом, действительно кратность корня г равна гг. Отметим теперь, что произведение (х — г)(х — г) является много- членом второй степени с вещественными коэффициентами. Действительно, пусть г = а + Ь(, где а и Ь вЂ” вещественны. Тогда г = а — Ьг', и поэтому (х — г) (х — г) =- (х — а — Ь() (х — а+ Ь() =- (х — а)'+ Ь' =- = х' — 2ах+ а'+ Ье — -- ке+ рх+ г), (23.9) где положено р== — 2а и г)=а'+Ь', очевидно, р и г) — всщестре венны. Отметим, что при ЬРО всегда — — г) < О. 4 Из сказанного следует, что если в разложении (23.7) многочлена Р„(х) сгруппировать попарно мнонщтели с сопряженными корнями ззз 4 лд Некоторые геедечссл с! коиллекгные ччелпл а ччоеочленах и записать произведения типа (х — г)(х — г) в виде (23.9), то, учитывая, что кратность корней г иг одинакова, мы получим в результазе формулу Р„(х) = =Л„(х — а!) ' ...
(х — а,)ае(хе+ р х+ д )ре ...(хе+ р х+ д )(се, (23. 10) где г ! г ~а!+2 У, й =п, + — с)т(0, )=1, 2, ..., э, =! у=! и все комрфипиенты А„а„..., а,; р„с)„..., р„с), вещественны. При этом а„..., ал суть все вещсственныс кори!! многочлена Р„(х), а кансдому существенно комплексному корню г и ему сопряженному корша г соответствует множитель вида хе+ рх+ с) =(х — г)(х — г). Разложение многочлена на множители вида (23.10) единственно, ибо оно однозначно определяется корнями этого многочлена и нх кратностями. 23А. Обсций наибольший дели!тель многочленов Пусть дан многочлен Р(х). Всякий мпогочлсн )с(х), на который делится многочлсн Р(х), Р (х) =- й (х) г(х), где г(х) — такмсе мпогочлеп, называется делан!алел! многочлена Р(х).
Мы видели, что многочлсн Р(х) можно записать в виде Р(х) = =Л(х — а!)и ... (х — а,)ае (х'+ р, х+с)т)!' ... (х'+рех+с),)"е, (23. 12) где а„..., а„— вещественные корни многочлена, а множители вида х'+ р, х+ с), соответствусот существенно комплексным корням этого многочлена, 2 — ! — с)г(0, /=1, 2, ...,а; коэффищсенты А, р! и с) (1 = 1, 2, ..., з) — вещественны. Отссода следует, что всякий делитель ес(х) многочлена Р(х) может быть записан в виде й(х) = =В(х — а!)! ...(х — а,)! (хе-1-р х+ сй)с! ...(хе+р,х 1 с) )и, (23. 13) ззз 28.4, Г>д>яьче> нанном тле длм>тель н»огочленов ).,-ъаа /=1,2,...,г, р,<рл /=1,2,...,з. (23. 14) Действительно, никаких других лщожнтелей вида (23.
15) х — а н х'+рх+д, о' где а, р и д — вещественны и 4— — д( О, в разложении многочлена Р(х) быть не может, ибо, с одной стороны, многочлен /с(х), как всякий многочлен, может быть разлаялся на множители вида (23.15), с другой стороны, из формулы (23.11) следует, что если в разложении К(х) на множители имеется множитель вида к — о, соответственно вида х' + рх + ц, то х = —. а, соответственно корни трехчлеаа х' + рх + о, являются и корнями многочлена Р(х); поэтому указанные множители входят в разложение (23.12). Неравенства (23.И) также очевидны: из той >ке формулы (23.11) следуе>, что кратность корня многочлена /г(х) не может превышать кратности того >ко корня многочлена Р(х).
Пусть теперь даны два многочлена Р(х/ и 9х). Всякий многочлен, являющийся делителем как многочлена Р(х), так и многочлеиа >,">(х), называется нх об>иим делителем. Общий делитель двух многочлеиов, который делится на любой общий делитель этих многочленов, называется их об>иим наибольшим делителем. Если многочлены Р(х) и (>(х) записаны в виде (23.12): Р (х) = А' (х — а,) ' ... (х — а, ) ' (х'+ р, + д >) ' ... ... (х'+ р, х+ д, ) ', >;)(х) =- А" (х — а>) ' ... (х — а,-) '" (х' + р> х + д~) ' ...
... (х'+ р„' х+ д„-) ', (23.16) (23.17) т — ах (й=- 1, 2,..., г), х'+р,х+д> (1 =-1, 2,, з) (23.18) входят как в разложение (23.16), так и в разложешьо (23.17). то всякий их общий делитель Й(х) можно записать в виде (23.13), где множители 340 й 2Э. Некоголые гнейенин о комплексных нисхпх и хгноеогхенпх Пусть индексы у коэффициентов множителей (23.!8) в разложениях (23.!6) и (23!7) равны соответственно (н, !г и !н, !и тогда в силу неравенств (23.14) имеем )н <а °, )к~<а,-, й=1, 2, ...,г, (23.
19) Для того чтобы многочлен (23.13) был общим наибольшим делителем многочленов Р(х) и фх), необходимо н достаточно, чтобы показатели степени й„А = 1, 2, ..., г, и ра ! = 1, 2, ..., з, были максимал~ ньгыи из возмозкных, т. е., чтобы Хн — — пп'и (а., а -1, й = 1, 2, ..., г, '4> р,=гп!п(()', (!"„) ! 1 2 ,), (23.20) то а является корнем кратности а — 1 для многочлена Р'(х).
Действительно, дифференцируя (23.2!), имеем Р' (х) =. а (х — а)а ~ Р, (к)+ (х — а) Р, (х) = (х — а)а Р,(х), Действительно, при выполнении этих условий многочлен Р(х) будет общим делителем многочленов Р(х) и ()(х) и будет делиться на любой многочлен вида (23.13), для которого выполнены условия (23.19), т. е. К(к) будет делиться на любой общий делитель много- членов Р(х) и Я(х). Из найденного вида общего делителя и, в частности, общего наи- большего делителя следует, во-псрвых, что общий наибольший дели- тель двух многочленов не единствен; однако два общих наибольших делителя двух данных многочленов могут отличаться друг от друга лишь постоянным множителем (постоянную В в формуле(23.13) можно брать произвольной, не равной нулю); во-вторых, что общий наибольший делитель двух многочленов имеет степень, большую, чем любой их общий делитель, не являющийся общим наиболыпнм делителем.
В качестве примера, полезного для дальнейшего, найдем общий наибольший делитель многочлена Р(к) и его производной Р'(х). Предварительно заметим, что если число а является вещественным корнем кратности а многочлена Р(х), т. е. Р(х)=(х — а) Р,(х), Р,(а)+О, (23.21) гд.4.
Общий ноибольитий делитель л~ноеонленое 341 где Рз(х)=-аР,(х) 1-(х — а)Р1(х) Р, (а) .=- аР, (а) + О. Подобным образом, если Р (х) = (х'+ рх+ д)й Р, (х), (23.22) где — д(О, йе и, значит, корни г, и г, (г,=г,) трехчлсиа хе+рх+д сущест- венно комплексиы, и если Р (г)+О, Р,(г)+О, Р'(х)=( и+р -1-т()'1 ' Р (х), где Р,(г,)+ О, Р,(г,) на О„ т.
е. Р,(х) не делится на хз+рх+д. Действительно, дифференцируя (23.22), получим Р' (х) = ~$ (х'-1- рх+ д)р — ' (2х+ р) Р, (х) + +(хе+Рх+а) Рз(х)=(хе+Рх+а) ' Р,(х), где Р, (х) =- () (2х+ р) Рз (х) + (хе+ рх+ т)) Рз (х), откуда следуег, что Р, (гт) = 1) (2г, + р) Р, (г,) Ф. О, Р, (ге) = р (2ге+ р) Рз (г,) зд О, ибо г, + — — и г,+ — —, так как они существенно комплексны. Из доказанного следует, что если многочлен Р(х) записаг в виде (23.12), то его производную Р'(х) можно представит~ в виде Р' (х) г.- с (х — а,) ' ' ... тх — а,) ' ' (хе-1- р,х + дт) * ... (хе+ р,х-(- д,)"е 'Р,(х), где многочлеи Рл(х) не делится ни на х — ао 1= 1, 2,;,г, ни нз хе+ р,х+т)л, 1'=-1, 2, ..., з, т.
е. не имеет общих корней с много членом Р(х). й гЗ. Некоторые сведения о комплексных иислок и многоеленах Из формул (23.13) и (23.20) получаем, что общий наибольший делитель К(х) многочлена Р(х) и его производной Р'(х) имеет ннд )с (х) == =(х — а,)а — '... (х — а,)о' (х'+Р, х+с) )р' ... (хе+ р, х+с),)й (23.23) Изложенный метод получения общего наибольшего делителя двух многочленов Р(х) и 1~(х) принципиально полностью решает вопрос о существовании и виде общего наибольшего делителя. Практическое же его применение может, однако, вызвать существенные затруднения: для использования этого метода надо знать разложения на лшожители вида (23.1б) и (23.17) данных многочленов Р(х) и 9(х), которые далеко не всегда удастся написать в явном виде.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
