Кудрявцев Л.Д. - Математический анализ (1077055), страница 63
Текст из файла (страница 63)
П р и и е р ы. 1. Разложим на элементарные дроби дробь х (хх — 1) (х — 2) Согласно (22.30), искомое разложеш(е имеет вид х А В С (хе — 1)(х — 2) х — 1 х+1 х — 2' Приводя к общему знаменателю и отбрасывая его„получим х — А(х+ 1) (х — 2)+ В (х — 1) (х — 2)+ С(х — 1) (х+ 1). (23.31) 2З Б, Раэлоаеение раяиональних дробеа иа элементарное Мы имеем случай, когда все корни знаменателя вещественны. Полагая в равенстве (23.31), согласно сказанному выше, последовательно х = 1, х = — 1 и х = 2, получим 1= — 2А, — 1=6В, 2=3С, откуда А= — — В= —— 1 1 2 2'6~=3 Таким образом, искомое разложение имеет вид (хэ — 1) (х 2) 2(х — 1) 6(х -1-1) З(х — 2) ' + .
(23. 32) 2. Найдем разложение на элементарные дроби для хь — ! х(ха+!)' Общий вид разложения в этом случае — А Ях+С Ох+ Д х(хе+!)э х (л'+ 1)э х'+! Приводя к общему знаменател!о и отбрасывая его, получим хх — 1 =- Л (хх+ 1)х+ (Вх+ С) х + (()х+ Е) (хх+ 1) х. Прнравнивая коэффнциенты при одинаковых степенях х, получим — 1=А, О=С+Е, 1=-2А+В+О, О=Е, Π— — Л+О, откуда А= — 1, В=2, С=.О, 0=1, Е=О и, значит, искомое разложение имеет вцд хэ — ! ! 2х х х(хе+1)э л (ха+1)э ха+1' = — — + —, + —.. (23.33) Следует заметить, что в отдельных случаях разложенне на элементарные дробя можно получить быстрее н проще, не прибегая к методу неопределенных коэффицнентов, а действуя каким-либо другнм путем.
Например, для разложения дроби 1 хх(1+ хэ)э на сумму элементарных проще всего дважды прибавить н вычесть в числителе х' н произвести деление так, как это указано ниже: 1 (! + хэ) — хэ 1 1 хэ(! + ха)э хх(1 +ха)э х'(1-1-х)ь (1+ хэ)э (! 4- хэ) — хэ 1 ! 1 ! Эьее! ььел е <ье ( <- )' В 24. Интегрирование раииональных дробей 350 Полученное в результате разложенпе н является разложением дан- ной дроби на сулему элементарных дробей. У п р а ж н е и и е 3. Доназать, что разложение вида (2З.ЗО) вравильной раниовальной дроби единственно. й 24.
ИНТЕГРИРОВАНИЕ РА((ИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ 24.1. Интегрирование элементарных рапнональных дробей В предыдущем параграфе показано, что всякая рацнонал ьпая дробь нредставнма в виде суммы многочлена н элементарных рацнональнгнх дробей (см. (23 24) н (23.30)). Интеграл от многочлена вычисляется, н притом очень просто (см. и. 22.2). Рассмотрнм вопрос об ннтегрнровапни элементарных рацнональных дробей. Сначала рассмотрим вычнсленне интегралов от дробей вида п=1,2, ....
Если и =-.. 1, то — г(х —.. Л 1п(х — п(-1-С, А (24.1) а если и+ 1, то ( ----- А А — -„-с(х=. — — „, +С. (и — Ц (х — а)" (24.2) Рассмогрнм теперь интегралы от дробен Мх( Л' (ха -~- рх + д)н ' рт где — — — д(0, и-;1, 2, .... 4 Снова начнем со случая п =- 1. Замечая. что х" +рх 4-4.=~х+--р-) + ~д — ф~, В этом н следующем параграфах будут рассмотрены методы ннтегрнровання некоторых классов элементарных функций. Прн этом каждый раз, не оговаривая этого спецнально, будем предполагать, что речь идет о вычислении интеграла на некотором промежутке, во всех точках которого определена подынтегральная элелтентарная функция (нначе говоря, на котором формула задающая подыптегральн) ю функоню, имеет смысл, сль об этом а и. 4.3). 24 ! )тнтегрнравание евементарних ратгианнелнлтх дргхтеа и полагая + —, ах=-.„— — ~(), !' 2 р" получим л)+л 1 г ~ "('--й" х'+ рх+ Ч ге+ а' г(х =,1 г(! +(й) — ~) ~ ...= — (п(!'+аа)+ ' — Л)р агс(н — +С = 2М вЂ” Л4 = — (п(х'+рх+ц)+ „" агс(К," ' +С.
(24.3) В случае а) 1, полагая, как и выгпе, (=х+ ! а =д —— е р 2 ' 4 подобным же образом получаем л! +л, „1 р гн! гз — рл! р и! (х" + х+ )„г(™ ) (те+ х)„+ ' 2 (г, (244) тт!! ) Н(те+ а ) (гл + ат)н г ) (ге -(- ае)н г )) ге+ е)а — ! (24 г>) Второй же интеграл правой части равенства (24А) вычисляется несколько сложнее.
Пусть а! те ) ае)н ю Проинтегрируем интеграл lа по частям, положив 1 и = —,, г(о =- г(! ()е + а')н * га! а! г(и= — —, о=(, (ге + а') н+ ' 1зассмогрим в отдел!я!ости каждый из получиврзикся нтпегралов в правой части этого равенства. Что касается первого из них, то он вычисляется сразу: у я. Интегрирование рациональных дробей а затем, добавив и вычтя о» в числителе получившейся под знаком интеграла функции н произведя деление так, как это указано ниже, получим у и ~(1» 1 а»)п ((11»»+ ае)п+ л )» и+1 = —,„+2н ~ дг= Г (1»+ ап) — а» (1» (- а»)п .) (Р+ а»)п+' = — +2и~(' (1" + а»)п+ ( ) (1»+ ап)п ) р е в+1~' — ое ,) ( +а! т.
е. откуда 1 1 эп — ! Интеграл 1, легко вычисляется (см. п. 22.2 формулу 12); формула (24.6) позволяет вычислить !г; зная же ем потей же формуле можно найти значение н (г, продолжая этот процесс дальше, можно найти и выражение для любого интеграла )и (и = 1, 2, ...). 24.2. Обший случай Из результатов п. 23.5 и предыдушсго п.
24.1 непосредственно вытекает следующая теорема. Теорема !. Неопределеннеяй интеграл от любой рациональной дроби на зсяком промеоеулше, на котором знаменатель дроби не обраи(аеепся в ноль, сущесиюует и зырозсиется через элементарные функции, а именно через суяер1юзиции рациональных дробей, арктанггнсоз и натуральных логирифмоз. Эта теорема есть прямое следствие формул (23.24), (23.30), (22.6), (22.8), (24. Ц вЂ” (24.6). Эти формулы дают и конкретный способ вычисления интеграла от рациональной функции: сначала делением числителя на знаменатель выделяется ецелая часть», т.
е. данная рациональная дробь представляется в внде суммы многочлена и правильной рациональной дроби (23.1), затем получившаяся правильная рациональная дробь раскладывается на сумму элементарнык дробей (23.30), после чего, используя аддитивность интеграла (22.6), можно вычислить интегралы от каждого слагаемого в отдельности, согласно 4хгрмулаы (22.8) и (24.1) — (24.6). 2й.2.
Общий случай П р и м е р ы. 1. Вычислим хйх (хл — 1) (х — 2) Уже известно (сл!. (23.32)), что х 1 1 2 (х' — В (х — 2) 2 (х — б Е (х + !) + З (х — 2) ' поэтому х йх 1 (" йх 1 (' йх 2 (' йх (хл — 1)(х — 2) 2 ) х — 1 б ) х + ! + 3 ) х — 2 — !и ! х — Ц вЂ” — 1п ! х -1- 1 ! + — !и ! х — 2 ) + С. ! 1 3 2. Вычислим х" + 2х" + 2«х — 1 х (хх +! )х Согласно общему правилу, выделим целую часть, разделив числитель на знаменатель; получим Ф ! 2х4+ 2«л 1 х« — 1 х(хл+ !)х х(х" + 1)" Для получившейся правильной рашюнальной дроби уже найдено ее разложение на элементарные дроби (см.
формулу (23.33))1 хх — 1 1 2х х х(х'+!)' х (х'+ 1)л + хл+1 поэтому х хл Г и (хл -1- !) 1 С й (х' -)- 1) «Я+1 2 ) (хл+1)2 2 «л+1 «Й 1 1 — — !и! х! — — -1- — !п(к«+ 1)+С. 2 ««+1 2 Следует ил!еть в виду, что указанный метод вычисления неопределенного интеграла от рациональной дроби является общим: с помощью его можно вычислить неопределенный ннтеграл от любой рашюнальиюй дроби, если можно получить конкретное разложение знаменателя на множители вида (23.10). Однако естественно, что в отдельных частных случаях бывает целесообразнее для существенного сокрашения вычислений действовать иными путями.
384 й 24. Интегрирование рат!ттоналвнмх дробей Например, для вычисления интеграла х'г!х (1 — х')х 1= — — ~х 1 (' д (1 — хх) х 1 (' ! 2 ~ (1 — х")х 4(1 — кх)» 4 ~ (1 — х')к о(х. Прибавляя и вычитая к числителю получившейся подынтегральной функции х', производя деление, получим два интеграла, из которых первый табличный, а второй легко вычисляется интегрированием но частям: х 1 р(1 — х") +х' т)х- 4 (1 — хх)т 4 ) (1 — лг)х х ! ~ дх 1 ~ хтйк 4 (1 — хх)в 4 ! — хк 4 (1 — х)х х 1 !1+х! х ! т" й т т 4(1 — х')х 8 ~1 — х ~ 8(1 — хх) + 8 ) ! — хт х 1 !1(х! х 4(1 — хх]л 16 ( 1 — х ~ 8(1 — лх) 24.3. Метод Остроградского В пункте (24.1) было показано, что всякая правильная рациональная дробь может быть представлена в и!де суммы элементарных дробей.
Но из п. 24. ) следует, что пераообразные элементар- 1 Л!х -1- ат 1рк ных дробей — и ( — — т) ( О) являются трансце~- — х" + рх+ д деитнымн функциями вида г( агс(д(ат х+ ак)+ Б )и (Ьт х+ !тк)+С (см. (24.1) и (24.3)); первообразная элементарной дроби А тк=2, 3, (к — а) нрогце не раскладывать подынтегральную функцию на элементарные дроби, а применять правило интегрирования по часмтм. хдх ! Положив и=х, о)о= ),к и г(и=т(х, о= „,, получим (1 — хк)к ' 4 (1 — к")х ' 243 Метпд Острпгрпяскпго является рациональной дробью; цсрвообразная же элементарной дроби — х+, р=2,3, ..., (х'+ рх + с)й в силу формул (24.4), (24.5), (24.6) и формулы 12 п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
