Кудрявцев Л.Д. - Математический анализ (1077055), страница 67
Текст из файла (страница 67)
З назыгается мелкоапь!О разбиения т. Разбиение т,' отрезка!л, Й называется следующим за разбиением т того >ке отрезка или подразделением отрезка т, если камсдая точка разбиения т является и точкой разбиения т'! иначе говоря, если каждый отрезок разбиения т' содержится и некотором отрезке разбиения т. В этом случае пишут т ) т, или, что то же, т ( т'. Совокупность всех разбиений данного отрезка обладает следу!ощнмп свойствами.
1. Если т! ( '52, а тз ( тз, то 'зз ( тз. 2. Для любых т, и тз существуег такое т, что т ) т, н т ) тз. В самом деле, первое свойство следует просто из того, что в силу условия т, ) т, каждый отрезок разбиения тз содержится в некотором отрезке разбиения тт, который в свою очередь, согласно условию тз ) то содержится в каком-то отрезке разбиении тб таким образом, всякий отрезок разбиения т„лежит на определенном отрезке разбиения т, — это и означает, что тз ) тз. 28. ~ 51пзхсозз хан.
29. ~ 5404 х 4!х. г з!4452 31. 4!Х СО5 ХЯП Х 4!Х 32. 2+ С05Х ЗЗ. ~ Нп Зх соз Зх 41Х. 34, ~ зтсс05 х ах. ЗЗ. ~ «ззтсз!пзх4!х. 4!Х 36. зн х — 2сй х 37. ~ла !пз 547х. 38. ~ хе" 51п хе!х. 1пгх+УГ+ хз) йх. 11+ хе!2 4!Х 40. ,! 5!п'4 Х + СО 54 Х в 27 Определенный интеграл Для доказательства второго свойства разбиений заметим лишь, что если заданы два разбиения т, и т„то разбиение т, сосгоящее нз всех точек, входящих как в разбиение т,, так и в разбиение т„оче- видно, будет следовать за т, и за т,. Пусть теперь на отрезке [а, б[ определена функция 1 и пусть т = (хг)[ „ — некоторое разбиение этого отрезка: Лх; =-.
х, — хг ы 1 = 1, 2, ..., /г, а б †мелкос этого разбиения. Зафиксируем произвольным образом точки $г ~[хг и хг[, 1=-1, 2, ..., й, и составим сумму О (1; 6, ..., йа) = ~~~ 1г («6 ) ЛХг. СУммы виДа отф 6,, ..., Гп) называютсЯ интегР льными гри- мами Римана «1 функции ((саь рис. 84). Иногда для краткости мы будем их обозначать от(!), о (ам ..., 6, ) нли даже просто о Определение 1. Функция ! называется ггнтегрируемой (по Рамо- ну) на отрезке [а, б[, если сугг!есгпв!гет такое число А, ило для лгобог! последовательности разбиент! отрезка [а, Ы у которой йгпб. =-..О, и для любого выбора точек п,.« В!"'( [х[."и х!"'1 (=.
1, 2, ..., 7гп, п=-1, 2, ..., выполняется равенсгпсо и !ип ~ (ф"')Лх["1=А, (27.1) и « '=г еде !!ри выполнении этих условий число А назьтается (римано- вым) огаределенным инишгралол< г[гункц~ш 1" на огггрезке [а, Ь[ и обозначаегпся ~ [(х) с!х. Таким образом, Ег 1((х)с[ =!'п,,(1; Мп'...., Ц"'), и еде !!п1 бт =:.О. и м 1". Рвиаа (1626 — 1666) — исмацкаа ыаааватнк. З7 1 Определенна интеграле по Рилшнэ Для краткости записи будем в этом случае просто писать ь / (х) йх = йш и . (/), 1 6 -в Подобно тому как определение предела функпни можно сформулировать двумя эквнвалентньвни способами с помощью пределов последовательностей н с помощью «(е — 6)-языкав, так и определение интеграла можно сформулировать иначе. Определение 2.
Число А назьазается определенным интегралол« г/«ункции / на отрезке (а, Ы, если для любого е > О существует б =- 6(в) ) О, такое, что, каково бы ни было разбиение т = (х,),' отрезка!а, 61, и:лкос пь которого меньше 6: б < б, и каковы бы ни были точки ~,~(х«ы х,), выполняется нерасенсп ~во ~ /(з«) Ьх,— Л (е, «! /(х;== х; — х; ы 1=-1, 2, ..., /г. у и р а ж н е и н е 1.
доказать, что два даннык выше определенна определенного натеграла вквнвалентгна. Заметим, что рассмотренное здесь понятие предела интегральных сумм Римана является новым понятием, пе укладывающимся ни в понятие предела последовательности, нн в понятие предела функ. ции. В дальнейшем придется использовать аналогичное понятие пре- дела не только для интегральных сумм Римана, но и для других объектов.
Поэтому сформулируем общее определение предела этого вида. Определение 3. Расслютрим л«ножесгпво 'в=(т) всех разбиений отр«ьзка (а, Ы. Пусть на этом множестае определена числовая, вообще говоря, л~ногозначная «рунк«/ия Ф(т), т ~ Х, Будем говорить, чп«о грунк- цгщ Ф(т) при б — и О имеет предел, равный А, и будем г«г«салль йш Ф(т) Л, о если г)ля любой г«оследогкипельности разбиений т„~ Х, и = 1, 2, ..., такой, что !ип 6.,„==: О, ири мобол«выборе значтий Ф(га) числовая а % последов««гиельноспгь Ф(та) сходи«пса к числу А, т.
е. 11 гп г!з («а) = Л. Л ч а 27, Олреоелеияис! интеграл Поскольку это понятие предела определено с помощью понятия предела последовательности, то для него оказываются спранедлпгыми многие свойства, аналогичные соотвегствукнцим свойствам предела последовательности. С соответствующими примерами мы встретимся в дальнейшем. Как н в случае предела интегралы!ых сумм Римана, понятие этого предела можно сформулировать на «(е — б)-языкеа, что предоставляется читателю. 27.2. Ограниченность интегрируемой функции Теорема 1. Если 41/г!кция / инпгегрирг/сага на отрезке [а, Ы, то сна сгриничсна на этом отрезке. Д о к а з а т ел ь с т в о.
Пусть фушсция / не ограничена на отрезке [а, б[ и пусть фиксировано некоторое разбиение т = )х!)! о~ этого отрезка. В силу неограниченности функции / па всем отрезке [а, Ы она не ограничена по крайней мере на одном отрезке разбиения т. Пусть для определенности функция / не ограничена на отрезке [х„хт[, тогда на этом отрезке существует последовательность Ци>([х„хт[, и = 1, 2,..., такая, что *! 1!!и /Ь("!) =- (27.2) кЗафвксируем теперь каким-либо образом точки 5г([х! !, хт[, ! =2, 3, ..., /г, тогда сумма ~« /(Ц) Лхт будет иметь вполне определенное значение.
Поэтому в силу (27.2) а,н; Н"'. ь...., г! и [!Ф")л ~.2!!ыл*!- г=! и, значит, каково бы ни было число М л О, всегда можно подобрать такой номер и„ что если на первом отрезке [хо„ хт[ взять точку ат!"'!, го !От Ъ аь!!л'! ьа -, аьа) !)/И. Отсюда следует, что суммы пт не могут стремиться ни к какому пределу при бт — О.
Теорема доказана. «! Действительно, в силу неограниченности Функции / на отрезка [х„х,1, иаярииср, для любого натурального и — — 1, 2, ... су!яествует точка к[а~ с [ха, хг[, такая, что !/(ь~!~) ! > н. Очевидно, что вослед!анатоль ость )$!"!! н удовлетворяет условию (27.2), 37Л. Верхние и нииснис ингсгральниг сунне! Парбу 333 е е от= ~~'„)(~,) Лх,= ~~Р~ Лх,=1, 1=! ! ! а если взять 8! иррациональными, то получим о, = ~! 7 (ч!) Лх, = О.
Так как это верно для любого разбиения е, то интегральные суммы от заведомо не стремятся ни к какому пределу при б.,-н О. 27.3. Верхние и нижние интегральные сук!лн*! Дарбу. Верхний н нижний интегралы Дарбу Пус|ь функцпя 1(х) определена на отрсзке (а, Ь), т= (х,)! ~ — некоторое разбиение отрезка (а, 61 н Лх,=х,--х! „!=1, 2, ..., А.
Положим (рис. 84) М,=- зпр 7(х), и!= из( 1(х), г=-1, 2,..., Рг, г! !%х<н! н! ! "н<н! и Я =3,())=- ~ М,Лхн (=- ! и З э=.а (1)= ~, Л!!ЛХр 1=! (27.3) (27.4) Очевидно, зт ~~ ~т е! Л. Дарахле (!8О5 — !859) — ненецкий л!атеиатнн, Условие ограниченности функции /, являясь необходимым усло- вием интегрируемости функции, не является вместе с тем достаточ- ным для ннтегрируемости. В начес!ве примера, доказываюгнего это утверждение, рассмотрим так называемую с)(!Гнкцаю Лирцххе е!.
~1, если х рационально, )()=~ ' (О, если х иррационально. Рассмотрим эту функцию, например, на отрезке (О, 1). Она, очевидно, ограничена на этом отрезке. Покажем, что она не интегрируема. Зафиксируем произвольное разбиение т = (х!), отрезка [О, 11. Если выбрать точки ч!~(х! !, х,), г=1, 2, ..., А, рациональными, то получим а ут Оннеаа ленина интеграл Сумма Я, называетсп нерхнетй чнщегралниой суммой Дарб)?а!, а сумма а — нихсней Отметим следующие свойства интегральных сумм Дарбу.
1. Если тр)?нкцил / ограничена, що нри аобоа! разбиении срлтмы Я, и з, определены, т. е. М! и щт, ! = 1, 2, .... К конечны, и поток!у выражения 127.3) имеют смысл. У 2. Если т(т', то Я, (5 пах<а . Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть т = (х,.),' „и т'= (х?)! "— два разбиения отрезка (а, о), пусть т( т н пусть и ?а нй Рис.
8а н1,= (п( ?(х), 1=1, 2, ...,й, «! ! <«с« и аа,х,. х«н41 х!..с х«-,бн,ь 4' щ,=- (п1 ?(х), 1=1, 2,..., й', рнс. 64 «т !м«~«? Если (х! !, х!)с=1х, !, х,1, то, очевидно, щ, <тне (27.5) В силу условия т(т' каждый отрезок (х! 1, х,.] разбиения ч является объединением каких-то отрезков разбиения т", будем обозначать эти отрезки (хт, т, х,~. Таким образом, если Лх,=х,— х! Лх! х! — х! лх'. то (рнс. 85) Лх, = ~~Лх1, . 1! Используя эти обозначения и неравенство (27.5), получим и з — ~ щ, Лх — ~' щ Ъ'Лхт,— — ~ '~',т! Лх?,<„ ! ! ! ! и ! ! < ~~,"а ~~.",щт, Лх;,= ~~ и!!Ли! — а,. ! Мы доказали, что ат ей зт Аналогично доказывается, что Б, ?ь Я н т ( т'. ю Г. с(арбу 11ааа-191?) — фраацуаскаа ма?анан!к.
тт,д Иьрхнве и нимнял интегопльнне тимин йаябе С,л едет в не. Для любьи двух разбиении гт и т, отрезка (а, Ы выполняетяся неравеноиво вт, ~ ~тм (27.6) и. е. любая ниэгняя инглегральная сумма Дорбу меньше любой верхней. Действителыик если даны два разбиения т, и тз отрезка (а, Ы, то существует разбиение т этого отрезка, такое, что т) тт и т) т, (см. и 27 1). Применяя свойство 2, получим Следствие доказано. 3. Если и.== о (); чп ..., Й„) — кокая-либо интегральная сумма Римана, сосо»ьоистти»утошая данному разбиению т, то в = 1п( о «<о < вир о,=5~.
5»,...зь 1т." .$ь Доказательство. Пусть т=(х,)'. ",— разбиение отрезка (а, Ы и $,~1х~ и х,), 1=1, 2, „., й. Если заданы какйе-либо числовые множества Хн 1= 1, 2...,, я, и постоянные а~ ьО, 1=1, 2,..., к, то для множества Х= х:х=~~."„а,хн х,~Хи 1=1, 2,..., я» ! ! как легко видетэн справедливы равенства (почему7) зир Х= ~; а,.еирХи 1п1 Х = ~ а,(п(Хи ~-1 т-ю В силу этого имеем » л в. =" ~л.'~ 07~ Лх.= тт 1п1 1(Ц)Лх~~ ! ~ »1о (п1 ~1($,)Лх,= 1кх~кт~ 1=-~ 1 п2,...,Ф 1п1 о (); Цо ..., тчь) ч,.
о (т»; Ць Ц,..., так). "с-1 <Вгч'с т н.к....ь а >7, Определенный интееггол Аналогично е х 3 =- Ъ,М>Ах!= Ъ знр 7'5,)Ах!= г-! г=! хс гм1с.= -, '"р ~ 16>)Ах!= знр от()' Ь. - ° 5н)>отЧ'$м-.* $н). к' гн1счк с=! х !пас~к! с=г,2, ..,е с=!.2, ....е Свойство 3 доказано. ! 4. Я,— а, = к' ы, (1), !.= ! где ь>с(7) — колебания ф(снкс(гсгс 7 на отрезна (хс г, х,) (см. п. !9.5), с'=1, 2, ..., 7с. До к аз ате льет во. Отметим сначала, что если для двух данных числовых множеств Л и г' положить 2.== (г: г =- х — у, х ~ Х, у с У), то знр 2 =-- зн р Л вЂ” !п1У (почеггсу7).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
