Кудрявцев Л.Д. - Математический анализ (1077055), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Подставляя далее значения 6„< и Ь вЂ” г в предыдущее уравнение, найдем значение Ь„г, и т. д. Г1оследовательно получим все значения неизвестных 6»(й==О, 1, ..., и — 1). После этого из первого уравнения сразу находится неизвестное а. Таким образом, система (25.21) имеет решение при любых значения х а, а„..., а„, поэтому определитель этой системы не равен нул<о и указанное решение единственно.
При практическом применении формулы (25.16) многочлен Р,(х) пишут с неопределенными коэффициентами, которые находят, решая систему (25.21). После этого вычисление данного интеграла сводится к вычислению интеграла <<'х ~адах»+ эх+с ' который в случае, когда подкоренное выражение положительно на некотором промежутке, легко сводится к табличному (см.
и. 22.3). 262 интегризм видо !" Ып х сох" х их Покажем на рассмотренном только что примере способ применения этой формулы: дх Г 51п'х+ сох" х Г дх Г д (51пх) 1 г(х.—.~ —.+~ созх 51П5 Х ~ 5!П Х ~ 51П Х 5Ш Х вЂ” !п~(6+ — х-„-+-1 ., = — !и ~(а —,~ — . +С. ! ! х1 сох х 2 ~ 2 ~ 25!пхх Как и следовало ожидать, получился тот же результат, правда, записанный несколько иначе. 26.2.
Интегралы вида ) з!п х сов" хг(х Пусть гп и и — рациональные числа. Интеграл яп'"хсоз'х11х с помощью подстзновок и=-япх или и=созх сводится к интегралу от дифференциального бинома. Действительно, полагая, например, и=яп х, получим созх==(! — и')', 1(и =-. соз х 1!х, 11х = (! — и') г 11и, и потому п — 1 яп хсоз" хг(х=~и" (! — и') ' г(х. Таким образом, интеграл ) яп" х соз хг(х вырагкается или нет через элементарные функции в зависимости от того„обладает этим свойством илн нет получающийся интеграл от дифференциального бинома. В случае, когда гп и и целые (не обязательно полом нтельные) числа, интеграл я п'" х соз'" х г(х относится к типу интегралов, рассмотренных в предь1дущем пункте в частности, для их вычисления целесообразно при51енятыюдсгзновки (26.2).
б зб. Интеерироеание некоторых трансцендентных»)тункцил Например, если гл = 2й+ ! (соответственно и = 2й+ !)— нечетное число, то можно сделать подстановку и = соз х (соответственно и = яп х): я ив»+ ' х созе х с(х = — ) ( ! — созе х)» соз" х»( соз х = = — ) (! — и')" ин с(и, рассматриваемый интеграл сведен к интегралу от рациональной дроби. Аналогичный результат можно получить и для интеграла яп" х созе»+' хдх с помошыо подстановки и = зш х. Если оба показателя степени лч и и поло>кительны и четпы (или один из них поль)„то целесообразно применять формулы .
в 1 — сов»2х, 1+сов2х яп'х =- ', созвх= которые, очевидно, приводят рассматриваемый интеграл к интегралам того же типа, но с меньшими, также неотрицательными показателями. Например, соз хс(х=~, 1(х=- —,+ — +С, 1 1+ сов 2х х в!и 2х 2 2 4 26.3. Интегралы вида ~ з)п ах сов (! хс(х, з)паха(и()лМх, ) созахсозрхв(х Указанные в заглавии пункта интегралы непосредствен- но вычисляк»тся, если в них подынтегральные функции преобра- зовать согласно формулам 1 зш ахсоз(3х=-: — (з(п(а+(3) х !. яп(а — (!)х), япахяп()х = — (соз(а — (3) х — соз(а+(!) х), ! созахсозих= — (соз(а+ и) х+ сов(а — (3) х!.
! Например, зш 2х соз х»)х = — ) (я п Зх + я п х) е(х = ! 1" 2,) 1 = — — соз Зх — — сов х+ С. б 2 гбао Интеграла от тронп<ендентных грянкцид 26А. Интегралы от трансцендентных функций, вычнсляющиеся с поьющыо интегрирования по частям К числу интегралов, указанных в заглавии этого пункта, относятся, например, шпегралы е" соз Рхдх, ') е'" з!п рхг(х, ! хнсозахс(х, х" з!вахт!х, ) х" е г(х, ) хнагсз!пхе(х, х" агссоз х с(х, ! х" агс1д х т(х, ) х" агсс1я х т(х, хн 1и х с(х (и — целое неотрицательное).
Все эти интегралы вычисляются с помощью, вообще говоря, повторного интегрирования по частям. Действительно, 1= ) е"*созрхс(х =~е~'г! — = Р е"*хш Рх а ( — — "е"' з!и (!х с!х = еохзто Рх аг сох Рх тех Р о„ вЂ” + — — — „) е'"ссвйхг(х= Р" 3 е"" (Р мп Рх+ а сох Рх! ах Рх ' Рх г откуда ео" (Р мп Рх + а сох Рх! ат.!. Рх (26.3) Аналогично вычисляется н интеграл )ее з!пбхт!х.
В интегралах ~ х" созахс(х, ) хнз!пах!(х, ) хне"'с1х, положив и = х" и соответственно сЬ = созахс(х, с(о =- з!пахе(х, сЬ=еохс(х, после интегрирования по частям снова придем к интегралу одного из указанных видов, ио уже с меньшим не единицу показателем степени. 1!римеьяя этот прием н раз, придем Р 2б. Интегрпрона»н>е некоторнк трипс>|вндентнтн» ф>|нктпна 3>в к интегралу рассматриваемого типа с и = О, который, очевид|>с>, сразу берется. Например, хв з! и х с(х =- ~ хЧ ( — соз х) .=- — хв соз х -) 2 ) х соз х с(х * —.. — х'созх+2) хс(япх=- — х'созх-1-2хз|их— — 2 ~ з)п х с(х =- — х' соз х+ 2х з! и х+ 2 соз х + С. Используя интегралы, рассмотренные выше, можно вычислять и более сложные и|ггегралы, например, вычислим интеграл х ео»сов йхс(х.
Интегрируя по частям и применяя (26.3), получим )- и» л" е созрлс(х=-. ) лнс) ~— »,» Г н ! в (Рснпрх-|-твсоврк)) ов+ Рв ,»»» Р ь!п Рк+о сов Рк иР Г, и» =- х" с — ':- — — '- — — — ) хн- ' е з!п Рх с(х— твв+ Р' ов+ Р' ) по Гн,о, — — ) лн — е созйхс(х. '+Р",) " Полученные в правой части интегралы — того же типа, что и исходный, только степень у х на единицу меньше. Применяя по- следовательно указанный прием, мы придем к интегралам вида ~ е"кейп ()хс(х и ~ ео" соз()х с(х, которые были рассмотрены выше. Наконец, интегралы ) хн агсгй п х с!х.
) х" агссоз х с!х„) хн агс(д х с(х, х" агсс!дхс(х и )х'!их с(х сводятся интегрированием по частям к интегралу от алгебраической функции, если я ннк положить с(о == х" с)х, а за функцию и взять оставшуюся трансцендентную функцию, т. е. одну из функций: агсз|п х, агссоз х, агс(я х, агсс(дх, !их. Например, )" Г лв к' |и к 1 Г к' |п х к* х !п х с!х =-. ) !п х с> — = — - — — ) х с!х =. — — + С. 2" 2 2) 2 4 26.5. Интегралы вида ) вс (с!> х, сЬ х)с(х Подстановка и = — 1)>— 2 сводит указанный в заглавии интеграл к интегралу от рапио- нальной дроби. уб.б, Интегралы, не выражатаи1иеея нерея элементарные функции 377 Действительно, 2и 1+ ие 2г1и зЬ х =-, сй х — -- — ' —, г(х =- — — „ ! — иэ' 1 — иэ' 1 — ие" поэтому ~Л(з)1х, сЬх)дх=-2~ Я ( —,-" — „э, .
' ..) —, В конкрегных примерах иногда оказывается значительно удобнее использовать подстановки вида и = зЬ х, и =- с)1 х или и =- 1)1 х, позволяющие вычислить интеграл существенно проще (ср. п. 26.1), Интегралы вида ) з)1"'хсЬ' хдх, где и и тг — рациональные числа, с помощью подстановок и = Й х(и = с)7 х) приводятся к интегралу от дифференциального бинома (ср. п. 26.2). 26.6. Замечания об интегралах, не выражающихся через элементарные функции Л1ы рассмотрели различные классы элементарных функций и нашли их первообразные, которые также являются элементарными функциями. Однако не всякая элементарная функция имеет в качестве своей первообразной элементарную же функцию. С подобным обстоятельством мы уже встретились при рассмотрении интеграла от дифференциального бинома: в этом случае подынтегральная функция элементарная (алгебраическая функция), а интеграл от нее, как отмечалось, вычисляется далеко не всегда.
Л(ожио показать, что интегралы ) —, г(х, (п — натуральное число) также не выражаются через элементарные функции. Имеется ряд интегралов от элементарных функций, не выражающихся через элементарные функции и играющих большую роль как в самом математическом анализе, так и в его разнообразных приложениях. К таким интегралам относится, например, интеграл е- 'г(х, а также так называемые эллпнтапчгекье интегралы ~ й (х, )7Р(х))дх, 4 7б. Интегрироаинис не»оторых тринткеноентнмх фднниии где Р(х) — многочлеп третьей или четвертой степени. В общез1 случае эти интегралы пе выражаются через элементарные функции.
Особенно часто встреча!отея интегралы )/(! — хз) (! — Ф~ хз),) )7(! — хт) (! —. Зз *) которые подстановкой х = 3!и тр приводятся к коыбпнацияга интегралов — и ! ) 1 — )ттз(птф !(ф; они называются, соответственно вллпнтическил!а ингпггралалга птрвого и анарово рода в форме Лгзсандраа '. Упражнение 1. Вычислить интегралы: '! д.
Лежандр (17б2 — 1833) — французский матеизтик ) ! »)Л». 2. ~ (2х — б)з Лх. 3. ~ з!п' х Лх. 4. ~ (2»з — Зх+ — ) Лх. зтстот х !' ! —.тз 6. ~ хз т'2»з — 1 их. 8. ) с!2 хв». 9. ~ ха Лх. 10. ~ !пхгх. 11. ~ атс!ах в». 12. ~ атс!аз»Их. 13. ) ~/тха+ 3 Лх. !4.
) Гх — 1Л . 1б. хв» (х+ 1) (х+ 2) (х — 3) х'+ 1 хз(х — 1! (х.(- !)т Лх' 17. 2х" -1- х' -)- бх + ! (хз + 3)(лт — х + 1) ~х' 18. Лх (! — х)(!+».)- ! !) 4хз — ах (х — 1)з(х»4 Вз "х. 21. » (х" +1)з з 22 х+ )т х" + +Г'х лх. х (1+ тгх ) лх 1' (2+ х) (2 — х)" — з тттттр ~ т' х (! — та) Л» ,) (х'+ 1) Лх !' — хз+ Зх — 2 27. (х ! )т -) лаз=) 2» + ! 2Е!. Определение интеграла по Римана а 27.
ОНРеделенныи интеГРАл 27 1. Определение интеграла по Римаиу Напомнил! (см. п. 16.3), что разбиением т отрезка 1а, Я называется любая конечная система его точек х,, 1' = О, 1, 2„..., й, такая, что а = ха ( хз ( ... ( Хз ! ( хд -— — 1х 11ри этом пишется т=-(х41! Каждый из отрезков [х! 4, х,1, 1-5 1=1, 2,.„, 7г, называется отрезком разбиения т, его длина обозначается Лх„Лх, = х, — х! 1, 1= 1, 2, ..., й. Величина Ьт = !пах Лх, ! 1, 2, ....
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
