Кудрявцев Л.Д. - Математический анализ (1077055), страница 69
Текст из файла (страница 69)
15) 1нп а,()+а) = 1ип а,а+ 1+п а,(8), о 6-о 6-о что и означает интегрируемость функции «+ д на отрезке (а, Ы. Согласно же определению интеграла, 1нп от(1+у) = ~ 11(х)+8(х)1 г(х, 6т-о а 1нп ат (1) = ) ) (х) г(х, 6т о и 1пп а.,(а) = ~ у (х)с(х. 6 -о Подставляя зти выражения в формулу (28.15), получим (28.13). 5. Пусть функция 1 инигеерируела на отрезке 1а, 61 и с — аоспшянная, игоеда фцнкг)ил с) также ингяеерир)гегна на ылазг огарезке и ) с) (х) г(х = с ~ 1(х) с(х. До к а з а тел ьс т в о.
1(аковы бы ни были разбиения т=(х,)',. ", отрезка 1а, 61 и точки $г ~ 1х; ы х,), 1=1, 2,„., А, имеем ггт (с() =-,~. с) (ь,) Лхг — — с ~ 1 (Яг) Лхе = со. () ), гВ.! Саоагтаа онрелеленного интеграла отсюда, проводя рассуждения патой же схеме, как и при доказательстве предыдущего свойства, получаем ~ с/(х)г[х=-!пи о (с!)= !цп сот(!)=с 1пп от(1)=с ~7(х)с[х. а бт-о бт-1 бт-о Для точек х'([хг ы х,.[ и х" ~[х;-и х,[ из (28.16) и (28.17) следует, что [~(хл) а(х") — ~(х') а(х') ! ~ Лгго,())+Мотг(дт), (28.18) где со,([) и оц(й)суть колебания функций 7 и р на отрезках [хг ы х,[, 1=..1, 2, ..., й. Из неравенства (28.18) для колебания га,()д) произведения )й на отрезке [х; н х1[ имеем оценку Яйт) < [Уы, Я+Мго (р).
(28.19) Отсюда 8Яи) — В.Я)=-- Х ой(Ра)Л < !' ! а и < М ~ от,([) Лх, +М ~ отг (а) Лх, = 1 ! 1 = [а' Рт([) — т, Я[+ М [8тОт) —,(а)[ (28.20) В силу интегрируемостн функций г и гт !пн [Я,(Г) — -а,(о! =- 1!и [5т(бт) — а,(д)! = О. бт о бт"о 6.
Пусто функции Я(х) и а(х) интпегрируеиы на отрезке [а, Ы, тогда и их произнедение [(х)а(х) также интпегриругмо на этол~ отрезке. До к а з а тел ь с т во. В силу интегрнруемости функций 7 н и на отрезке [а, Ы они ограничены на этом отрезке, т. е. существуют постоянные М ) О и [Ч ) О, такие, что [!'(х) [ < М, [а(х)[~(дг (28.16) для всех х~[а, 6[. Пусть т=(хг)г н — какое-либо разбиение отрезка [а, Ь[. Оценим теперь выражение [(х")д(х") — ~(х')д(х'); для этого добавим и вычтем из него )(х')д(х"), тогда ! (ха) а(х") — 1(х') а(х') = = [) (х") — ) (х')! а(х") + [а (х") — д (х')[ ~ (х'). (28.17) 6 2Л. Спеыствв иятегрияуелых Функиип ! !оэтому из оценки (28.20) следует !!гп [5 (/у) — в (/у)[ =О.
а -о что и влечет за собой иитегрпруемость произведения /у па отрезке [а, Ц. 7. Если функь/ьья / неотрьи!ил~глана и интегрируема на отрезке [а, 81, то ) /(х)с/х ) О. а !28.21) Доказательство. В самом деле, каковы бы пи были разбиение т == (х,), „' отрезка [а, Ц и точки 5, ~ [х~ ы х,1, /= 1, 2, ..., /г, для функции / > О имеем от (/) = л' /(~,) Лх, ~ О. (28.22) Если интегрируемые фуикции / и // удовлетворяют исравеиству (28.23), то /(х) — // (х) > О, х ~ [а, Ы, поэтому, замечая, что функция / — у иитегрируема, в силу неравенства (28.21) имеем ь ~ [/ (х) — д (х)1 ь/х > О. П Но (см. выгце свойства 4 и 5) ) [/(х) — у(х)[с/х= ~/(х)ь/х — 1 д(х) г/х, Если функция / иитегрируема иа отрезке [а, Ы, то, переходя к пределу в перавеистве (28.22), мы и получим перавеиство (28.21).
С л е д с т в и е. Если функь!ии / и у иньиегрируемы на отрезке [а,Ы и /(х) > а (х) (28.28) для всех [а, /2[, то ь ь ~ /(х)г[х)~~у(х)г/х. (28.24) а И 392 2Э 1 Своагтвп определенного интеграла и, значит, ь ь ) ) (х) дх — ~ ц (х) дх,'- О. и Й 8. Нами было введено понятие определенного интеграла ~ 7(х)г[х и от функции 7 по отрезку [а, Ы, где, согласно принятым обозначениям, а < Ь. Для любой функции 7 полозсаи по определению и ) [ (х) дх = О, и (28.26) а для Функции [, интегрируемой на отрезке [а, Ы, ~(х) дх=- — ) 7(х)дх, а<. Ь. (28.26) и Эти определения в известной мере естественны.
В первом случае можно себе интуитивно представлять, что все отрезки «разбиения отрезка [а, Ы» являются точками, а их длины Лх, равны пулю. Поэтому все «интегральные суммы» ~ Я,)Лх, — в этом с,пучае также ~ .з пули, а значит и «интеграл» вЂ” также ноль. Во втором случае можно себе представить, что длины отрезков [х, о х,[ разбиения т — —. (хД, '" отрезка [а, Ь[ «измеряются в отрицательном направлсншгь оси Ох, и поэюму все пх длины отрицательны. Отсюда все «интегральные суммы» интеграла и 7(х)дх отличаются знаком от соответствующих интегральных 'и ь интеграла ) 7(х)д, что и делает естественной формулу и сумм ) [(х)г[х ~(~[)(х)[дх, а 'Ь.
(28.27) (28. 26). Этим интуитивным соображениям можно, конечно, придать и строгую логическую форму, введя соответствующие математические определения, однако гораздо проще и короче ввести равенства (28.25) и (28.26) просто по определению. 9, Если грункция У ингпегрпруежа на отрезке [а, Ы, то и функция [Ц гпакже интегрируегяа на этол» отрезке и ззв Э сз Свойства иитегрируемик фуиккиа Действительно, во-первых, из ограниченности функции[, очевидно, следует и ограниченность функции [[[, а во-вторых, для любых двух точек 5 ~ [и, Ь[ и «1 ~ [а, Ь[ имеет место ~ [7 (Ц) [ — [7 («1) [1~~ [7(Ц) — 7(т[) [, откуда следует, что, каково бы ни было разбиение т= [х«),'~о отрезка [а, Ь], обозначая через со«([) и со«([1[) соответственно колебания функций 1" и [1[ на отрезке [х; и х,[, 1= 1, 2,..., 7т, получим ,(Й) < МО' поэтому (см.
п. 27.4) 0 <от([«'[) — з ([«[)= х. со,([«г[)Лх, ( л < Х ы,()) Лх;=3,(7) — з,(7). Отсюда, если 11«п [Я, (7) — з, (7)[ = О, "т" о то и 1[тп [8 ([7[) — з ([~[)1=0. а Это и означает, что из интегрируемости функции 1 следует иптегрирусмость функции [[[. Пусть теперь $« ~[х; ы х;[, 1=1, 2„..„(г, [с«(1)[еи х««'(сл)Лх, < Д, [«'(й«)[Лх,.=о. ([7[). Переходя к пределу и этом неравенстве при 6 -«.0 и заме. чая, что Ип«п ([[[) =.~ [1«(х)[с[х, б о и мы и получим неравенство (28.27). 26.2. Теорено о ереднем длл определенного интеграла 399 Если отказаться от ограничения и ' Ь, т. е. допускать случая а =- Ь и а) Ь, то неравенство, подобное нераненсзну (28.27) имеет вид ! ь а а (28.28) В самом деле, если оа" Ь, то поскольку (см.
свойство 7) ! Ь ь ) !)'(х)! Ь(х~=-. ) !7'(х)|с(х, 3 а то это неравенство то же самое, что и неравенство (28.27). Л если а) Ь, то, используя свойство (28.26) и неравенство (28.27), по- лучим ! ь 1 а ) ) (х) ттх 1 = ~ ~ ) (х) с(х ~ < ) ~ Г (х) ~ с(х = а Ь Ь а $ =~)~п >~г.)=()пьа~.). 1Ь а Наконец, при а = Ь неравенство (28.28) очевидно. 28.2. Теорема о среднем для определенного интеграла Теорема 1.
Если функйил Г интегрируельа на огпргзке (а, Ь) и т <((х) <М, х~(и, Ь), (28.29) т(Ь вЂ” о) я; ~ 7(х)с(х <М(Ь вЂ” а). а (28.30) Ь а Ь ~ ьч г(х < ~ 1(х) дх < ) М ь(х. а е а (28.31) Док азат ел ьст во. Из неравенства (28.29), согласно следствиьо из свойства 7 (и. 28.1), имеем э 2К Снойсссса иннеерираеннс сддснссссссй Из свойств 5 и ! п.
28.! следует, что тс(х=-лс ~ с(х=т(Ь вЂ” а), а О ) Мс(х=М ) с(х=д((Ь вЂ” и). и й Подставляя эти выражения в неравенства (28.32), мы и получим неравенства (28.30). С л е д с т в и е. Еслсс 4ункция ! нелрерысснп на осссреаьа (а, Й, то суще сссссрчссс такая точка $ ~ (а, Ы, чнсо (рис. 87) ) с (х) с(х = ! (с) (Ь вЂ” а), (28.32) Д о к а з а т е л ь с т в о.
Пусть фуикпия ! непрерывна на отрезке [а, й и пусть сп = па и 7' (х), аксель с)! = и|ах ! (х), (28.33) а<~<э Рссс 67 тогда для этих т и И, очевидно, выполняготся неравенства (28.29)„ и ясному справедливы неравенства (28.30). Из них получаем т ( — ~ 7(х) с(х < с)1. г. Ь вЂ” н,) "Таким образом, число — ~~(х) с(х ! Ь вЂ” к 'Я находится между наибольшим и наименьшим значениями функпци Ь Сссгссаспо теореме Коши о промежуточных значениях непрерывной фуикпип, отссода следует, что существует такая точка ~ С (а, Ь1, что 7' ($) = — ! Г (х) с(х, Ь вЂ” ад 4 т. е, существует тоссксс $, для которой справедлиго (28.32). ЖЯ.
>сопело о среднеи длн определенного ннгегуоло 401 Тем >ке методом, который был применен при доказзтсг! ьстве теоремы ! и ее следствия, может бысь доказана и более обшая теорема. Теорема )'. Пусггсь на огпрезке (а, Ы огсределены срункции г" и д. Если' !) Функцгссс / и й ингпеерир)гелгы на тпреэке (а, Ь); 2) и < )(х) ( М, х Е (а, Ь(; 3) Функцин п(х) не меннеггс знака нп опгрезке )а, Ы, т.
е. либо пеопсрпцательна, либо ггеиолалеигпельна на этол> отрезке, псо сусцесггсвуегп а>акое нггсло р, пс < р < М, что с ь ( ! (х) д (х) с)х = сс ( е (х) дх. и а (28.34) Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть функция й неотрипательна на отрезке (а, Ы, тогда из условия 2 теореьсы получим тй(х) <~(х)д(х) < Ма(х), а < к~(Ь, (28.35) если же функция а неположительна на (а, Ы, то та(х):,д-~(х)д(х))~й(д(х), а < х< Ь. В обоих случаях во всех точках отрезка имеем неравенства одного знака.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
