Кудрявцев Л.Д. - Математический анализ (1077055), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Покажем, что в этом случае и И гп п>ез бь — — + оо. (31.22) Пусть задано е) О и пусть Я (6) состоит из бесконечного множества квадратов. Площадь каждого квадрата ранга гп равна — Зафиксируехг натуральное число и так, чтобы е ге2м (31.23) и выберем из 5„,(б) и каких-либо квадратов. Обозначим множество их точек через О. й!ножество 0 является многоугольником (оно является объединением конечного числа квадратов) и, следовательно, ограниченным замкнутым множеством, причем и пл. 0= —. го"" (31.24) В силу леммы существует такой номер >г, что (31.25) 0с=б„. Обозначим через 0 множество внутренних точек многоугольника О.
Согласно теореме 1 и формулам (31.23), (31,24), получаем гпезбь)~пл. 0= пл. 0)е. В силу же (31.17) для всех И'.~ й п>ез 6„) е. Это и означает выполнение условия (31.22), Теорема доказана. Примером неограниченной плоской области, илгегощей бесконечную меру, является полоса 6=((х, у): Ос" у(1). Для того чтобы построить пример неограниченной области с конеч- ной плошадью, поступим следующим образом.
Она содержит в себе бесконечное множество, например, квадратов первого ранга и потому гпсе 6 = + оо. 422 4 8! Л!ела члосксск огклмгмк иножегтв Пусть Π— единичный квадрат: Я = ((х, у): 0 < х ( 1, 0 < у < Ц. Положим 6,= ~(х, у): 0<х(1, 0(у( — '~, 6,=6,~ ~(х, у): 1 < х(2, 0(у( — ~ ° Вообше Оь+ =.6„~ ~(х, у):Уг ~, х(У!+1, 0(у( — '+, ~, Уг= 1, 2, ... 2+' Каждое множество Од открыто 1почсмуу). 11аглядио образован!!е множеств Ол можно представить себе следуклннм образом: 6, — половина квадрата ф для получения 6, берется половина оставшейся половины квадрата г;г и приклады- Риг. 92 вается соответству!ощим образом к О„получается 6,; далее, половина оставшейся части квадрата О прикладывается уже к 6, (рис.
92), и т. д. Очевидно, имеем О, с О, с ... с О„с ... 1 1 2 2Л+! 1 ! 1 пл.΄— 2+2,+- + 1 1 —— 2 322 Вычисление площадей 433 Положим 6= 0 6ь. и -! Л1пожество 6 открыто н не ограничено, согласно теореме 2г гпез6=!!ш шез6„= Вш (1 — — ~=-1. ! ь + Мера (объем) открытых множеств в трехмерном н вообще и-мерном пространстве (л = 1, 2, 3, 4,...) определяется с помощью аналогичной конструкннн, следует только, естественно, исходить не нз разбненпй плоскости на квадраты (квадрнльяжей), а нз разбненнй пространства на соответствующие л-мерные кубы (кубнльяжсй).
На л-мерный случай переносятся н теоремы, доказанные в этом параграфе. Мы вернемся еще к изучению меры множеств в дальнейшнх главах, см. и. 44.1. В этом пункте будут излагаться дальнейшие свойства меры (напрнмер, ее поведение прн объединении множеств— так называемая адднтнвность меры); его можно читать непосредственно вслед за насгоящнм параграфом. У и р в м1 н е н и я. 4. Доказать, что плошадь прямоугольники равна произведснивз его сторон. 5. Пусть 6 — прямой круговой пипиндр, основвнием которого является круг К, а высота которого имеет длину Ь. Докззвтгь что гнев 6 =-Ь глез К, где шез 6 есть мерв 6 в пространстве, я шез!( — мера нв плоскости. й 32.
НЕКОТОРЫЕ ГЕОХ4ЕТРИЧЕСКИЕ И ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 32.1. Вычисление площадей В этом пункте будут выведены формулы для вычисления площадей некоторых плоских областей. Прн этом считаются нзнестпымн нз элементарной математнкн свойства площади простейших плоских фигур (многоугольников, секторов), например, что прп объединения таких элементарных фигур, не имеющих общих внутренннх точек, нх площадн складывазотся.
Впрочем, пезавнснмо от этого это утверждение будет доказано в и. 44.1. Теорема 1. Пусть функиил / определено, неоигринигг1ельни и непрерьмни ни отрезке (и, б), тогди плогнидь 5 множеслгли 6=((д, у): и(х с, Ь„Оч" у()(х)), й Вг Пригоже>игн ооределениого интеграла вогриэшергея форлгрлог! 5 =. 1 г (х) Дх. (32.1) Множество 6 является открытым ограниченным множеством (почему?). Его граница содержится в объединении графика функ- ции )(х), отрезка (а, Ы оси Ох и отрезков !О, ((а)! и (О, г(Ь)! со- ответственно прямых к = а и х =- Ь. Оно обычно называется криволинейной тлранецией У (рис.
93), порожденной графиком функции ). Док азательстно. Пусть т = (х;)! о — некото! рос разбиение отрезка !а, о), а 5г н з, -- соответственно !"! верхняя и нижняя интегральные суммы 1(ггрбу функции /, тогда, как мы знаем (см. п. 27.4), и а хг! хг !) т Я„> ~ Р(х) г1х > в,. (32.2) Рит.
дв Обозначим через 6х и йт замкпутыс многоугольники, составленные из всех прямоугольников вида 6, г=-((х, у): к, ! < к (хр О (у <й)р 1=1, 2, ..., й), рт,=((х, 1):х; г~(х ~кр О<у<лги г=1 2, ..., й), т. е. 6т.= 1) 6т „И~ == 0 йтт ь г=! ' г=! д с6с6,. При этом очевидно, что пл. г)т=а„пл. 6т=5 . (32.3) Поэтому из (32.3) в силу монотонпосги лгеры следует, что в! ~~- '!" ез 6 ~ ~т (32.4) Если обозначить через 6, и дт множество внутренних точек многоугольников 6 и о, го адд В~ечвсеенее ллосапаед Иычнтая неравенство (32.41 нз неравенства (32.2), получи ет — 5,, ~ ~ ! (х) с(х — п1ез б ~ Ът — з„ е (32.5) Поскольку (см.
п. 27.4) Иш(3,— з,)= О, О то, переходя к пределу в неравенстве (32.5), получим е гпез б = ') ) (х) дх. Таким образом, формула (32.1) доказана. 1(ак известно (см. п. 27.41, в !пп о =!ппз, Игл Я,= ') ((х)с(х, о 6 о Ь о поэтому в силу формулы (32.!) Игп о,=- Игп з,= 1пп 5т=гпезб. 6 о о о Таким образом, геометрически интегральные суммы Римана и Ларбу рис. 94 равны приближенному значению площади рассматриваемой криволинейной трапеции, притом, с тем большей точностью, чем больше мелкость разбиения т, а предел интегральных сумм равен истинному значению указанной площади.
Пусть теперь Функция / непрерывна и неположительна на отрезке (а, Ь!. Положим в этом случае б=((х, у):а(хс" Ь, 1(х) < у(0). Пусть б — множество, снлв|етричное с множеством б относительно оси Ох (рпс. 94), ~огда гпез еее = п.ез б. (32. 6! гпеаб ~! — )(х))с(х= — ) )(х)с(х. (32. У) В рассматриваемом случае функция — 7 неотряцателыса на отреаке (а, Ь), поэтолеу в в да Приложения определенного интеграла Сравнивая (32.6) и (32.7), получим и ~пезО = — ) /(х) с(х, и т. е. здесь значение интеграла) /(х)с/х дает значение площади крп- волинейной трапеции с точностью до знака.
Если же функция / меняет знак па отрезке (а, Ь) в конечном числе точек, то значение Ь интеграла ) /(х)с/х дает алгебраическую сумму плошадей соответствующих криволинейных трапеций, ограни+ ченных частями графика а д,т функции /, отрезками оси Ох и, быт ь может, отрезками, параллельными оси Оу (рис. 95). Как видно, одной из задач, естественным образом приводящих к понятию определенного интеграла, является задача вычисления площадей, развитый аппарат интегрального исчисления дает общий и единый метод вычисления площадей разнообразных плоских фигур.
Рис. 97 Рис. йо П р и и е р ы. 1. Найдем площадь Я круга радиуса г. Поместим начало координат в центр указанного круга, тогда уравнение полуокругкности, лежащей в верхней полуплоскости, имеет вид у = 1/г' — хе (рис. 96). Поэтому площадь полукруга радиуса г вычисляется, согласно теореме 1, по формуле (32.1): г 1 — соя 21 ягл 5= ~ )/г' — х'с/х=«'~ з)п'/с//=г' ~ — Ж вЂ” —— ,) 2 л — г о о 82.б Вмчоглениа алаи«адед (прн вычислении и«пеграла сделана замена переменного х=гсоз !), откуда искомая площадь круга равна пгт. Подобным гке образом находится и площадь 5 сектора кру~а радиуса г, соответствуюпгего углу «р.
С««нгая для прс«стоты, что 0 < и ( —, имеем (рис. 97) 2' г «оз«р ха 12 «р ! г с«н т и (Я и «(х+ ( )/ га ха,!х 1 «р о гсо««Г «р Гт 1' ! — сок 2«г 61«««9 созе«гт«р ге з1п 29«гнр -гг " 2 2 2 4 2 о У п р а ж н е и н е 1. Доказать с помошью определенного интеграла, но не испоаьзуи инаариантность пло«нади относительно систем координат, что плошадь любого круга радиуса г ранна н«а.
Риг. 98 Риг. 99 2. )(ийдем площадь 3, ограниченную осью Ох и одной аркой синусоиды (рнс. 98): и и 5 ~з!пхс(х — созх! =2. 'о 3. Найдем плотнадь 3, ограниченную п«пербогюй у = —, осью Ох, отрезком прямой х = 1 и отрезком прямой, проходящей через точку оси Ох с абсниссой, равной х и параллельной осн ординат (рис. 99)' Р ««Г «« 5 = — = )п1~ =)пх. 428 й 42»»р!»ложения оиределенного интеграла Найдем теперь формулу для площади сектора кривой, заданной представлением в полярных координатах: р = р(тР). Пусть р = р(»Р) — неотрицательная, непрерывная на отрезке (а, (Ц функция, 0<о<8<2п. Пусть 6 — открытое множество„ограниченное кривой АВ, для которой р =- р(»Р) является представлением в полярных координатах, и, быть может, отрезками ОА и ОВ лучей гР = о и »Р = .О (рнс.
! ОО): 6 = ((р, тР): о < »Р < 1), 0 < р < р(тр)). Пусть т=(Ч!),'. — некоторое разбиение отрезка (а, 1)1 и пусть Лерг=»Р! — 'Р! !» и, =1п1 р(»Р), М, = зцр р(»Р), ! ~ о<о! о! ! <ол,о! Рис. 100 й! т = ((Р тР) ' !Р,, < »Р < юР„О < Р < и,), бе,ъ = Ир» 'Р): % ! «~ '»' < !Р!» О < р << М!). Впишем и опишем в множество б ступенчатые фигуры д, и бт, составленные из круговых секторов д! и 6,, ! 1,2, ..., й: и и (1т=- () й»т, бт= ()бьт.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
