Кудрявцев Л.Д. - Математический анализ (1077055), страница 77
Текст из файла (страница 77)
Следствие. Пусть й(х)+О, а <х«,Ь, и !пп — = й, 1(х! ь — о И(х) (33.13> тогда: 1) если интеграл ь ) д(х)г(х сходится и О < й«. + ао, то и интеграл ь ~ ((х)дх а также сходится; 2) если интеграл ~ д(х) дх а расходится и О((г ( оа, гно и интеграл ~ )(х)дх а также расходится. В частноспш, если 1 — (1 (схь и. 8.3), то интегралы -( ~ 1(х) е(х и ~ д (х) дх а а схье)ггися или расходятся одноеременно. Из этого неравенства, в силу достаточности условий теоремы 1 для сходимости интеграла от неотрицательной функции, получаем, ь ь что интеграл ) ((х) дх, а следовательно, и интеграл ) 1(х) дх схоЧа а дите я.
Утверждение 1 теоремы доказано. Докажем второе. Если интеграл)((х)дх расходится, то интеграл ~д(х)дх не может сходиться: если бы ои сходился, то в силу уже доказанног о сходился бы и интеграл) 1(х) дх. Таким образом, интеграл) й(х) е(х а а 888, /Н~~аггееннне инте;ии ~н ст неитдииигех~ ннк ф~нхяиа Л о к а з а т е л ь с т в о. Из выполнения условия (33.13» для О < /г < +со следует, что существует такое б > О, что если Ь вЂ” б<х<Ь,то — < < и+1, т.
е. /(х) <(/г+1)д(х), а это означает, что / (х) = О (и (х)), х-~ Ь вЂ” О. Поэтому утверждение ! следствия непосредственно вытекает из утверждения 1 теоремы 2. Из выполнения условия (33.13) для О < /г < +ее следует, что для любого /г' г (О, и) существует такое б = б(й') > О, что если Ь вЂ” б<х<Ь, то (х ) /г', и(х)С вЂ”,/(х), а это и означает, что д(х) = О (/" (х)), х — Ь вЂ” О. Поэтому утверждение 2 следствия непосредственно вытекает из утверждения 2 теоремы 2. Функция и в теореме 2 и ее следствии, с помощью которой устаь нзвливается сходимость интеграла ~ /(х)их, называется функии- О еи сриенения.
Эффективность использования критерия сравнения для определения сходимости интеграла зависит„конечно, от запаса функиий сравнения, о которых известно, сходится от них интеграл или расходится, и которые тем самым можно пытаться использовать для исследования сходимости данного интеграла с помощью признака сравнения. В качестве прас!ой функции сравнения часто бывает достаточно брать функции вида нри различных показателях а > О. Сходимость интеграл.в ) д(х) е/х для Функций указанного вида Д проверяется непосредственно: з 83. Интеграла от неогроникенних 4тункций при а+ 1 Ь ь — 8 Лх ~' Лх (Ь вЂ” х)1-сс ~ ь — е =!нп ( „= — 1пп (Ь вЂ” х)~ ло а (Ь вЂ” х) а +о = — — 1!тп (е' — " — (Ь вЂ” а)' — а) = ! -а е +о + оо, если а) 1; при а=-1 ь лх .
Г лх ~ь — е Ь- =' ) .= —" 1"(' — )~ =+-. а О +та а е-+о Такиль образом, ь ~сходится при О<'а< 1, (33. 15) (ь,)а !расходится при со~~1. а Если в качестве функции сравнения д(х) взять функцию (33.14), то я (х) — =(Ь вЂ” х) ((х), 1(х) и и теорема 2 и ее следствие перефразируются следующим образом. Теорема 3.
Пусть )(х))~О при а < х(Ь. Тогда, если !(х)=0( ), х-т Ь вЂ” О, а<1, ( (Ь вЂ” х) пю интеграл ) ! (х)г(х (33.16) сходится, если оке =-0()(х)), х- Ь вЂ” О, а) 1, (Ь вЂ” х) то интеграл (33.16) расходится, Следствие. Пусть 1(тп (Ь вЂ” х)а!(х)=./г, -ь — о тогда: 1) если а < 1 и О < й< +со, то интеграл (33.16) сходится; 2) если а )~ 1 и О < тг < +со, яю интеграл (33.16) расхоои~Ься 88.8. Нееобегненние. интеграла ок неотрицательных функций В частности, если Г (х)— ! !Ь вЂ” к! то интеграл(33.16) сходиогся при а ( 1 и расходится при а > 1.
Аналогичные теоремы имеют, конечно, место и для несобственных интегралов вида (33.4), а также в случае, когда функции / и д неположительны на рассматриваемом промежутке. 1 йк что утверждения (33.15) для интеграла ксс ' Отметим, т. е. то, что — (зз, и) 'о сходится. В самом леле, беря в качестве функции сравнении у (х) =- = — ~~ = — ), имеем — х 1 Вгп 1/ 1 — х= — ==, Рис Г88 поэтому, согласно следствию теоремы 3, интеграл (33.17) сходится. 2. Интеграл 1 р / и„ /сходится при Он" и " 1, „,'с 1,расходится при а > 1, О К геометрически означает (рис. 108), что области б„= ((х, у):О<'х~1, 0(у( — 1 Я~ при 0 < и < 1 имеют конечную площадь, а прп а > 1 — бесконечную.
Зто пепосредсгееино следует из геометрической интерпретации несобственного интеграла. Г! р и и е р ы. 1. Интеграл Э Зд Интегралы ат кеагрананеннглх фянхциа расходится. В качестве функции сравнения здесь можно взять 1 гг(х) = —, а= 1. 1 — х' 3. Интеграл 1 ~!пхНх (33.18) сходится. Действительно, по правилу Лопиталя при любом а ) О, в частности при 0 ( а ( 1, 1 йп1 х !и х=!пп — = !ип, = — 1ппх =О, а .
1пх х ! л +о +о „вЂ” а -+о — ах а * +о поэоому, согласно теореме 3 (точнее, ее аналогу для отрицательных функций), интеграл (33.!8) сходится (сл1. рис. 108). Во всех рассмотренных примерах мы определили, сходится интеграл илн нет, не вычисляя самого интеграла в конечном виде, хотя это и можно было сделать. Выясним теперь сходимость интеграла, который заведомо не вычисляется в конечном виде. 4. Для выяснения вопроси о сходимости интеграла ! (33.19) получим по правилу Лопиталя 11 — х) а !ип = — а1ипх(1 — х) — . а — ! к ! — о !пх 1 — о Отсюда следует, что выгодно взять а = 1, тогда 1 — х !ип — = — 1, пх ! и, значит, интеграл (33.19) расходится. В случае, если оказывается трудным сразу выбрать показатель а в функции сравнения (33.14), то часто бывает полезно прибегнуть к обшему методу выделения главной части функции ! в окрестности точки Ь.
Соответствуюшне примеры будут рассмотрены в пункте 34.3. поступим, как и в предыдущем случае; взяв за функцию сравнения функци!о вида д(х)=, а)0, 88.4. Критершт Коши Абсолютно гкодшииеся негоб'теенние интегралы 457 33.4. Критерий Коши. Абсолютно сходящиеся несобственные интегралы на конечном промежутке Пусть функция ) определена на полуинтервале [а, Ь) и интегрируема по Риману на любом отрезке [а, Ч), а < Ч< Ь.
Отметим прежде всего необходимое н достаточное условие сходимости несобственного интеграла и ~ [(х)г(х (33.20) = 6(е) ) О, чпю если ь — 6< ч'< ь Ь вЂ” 6< 1" < Ь, [ ) )(х) дх [< е. (33.21) Ч Доказательство. Положим Ф а й-от в' о" В х гр(т[)=- [(х)г1х, а <Ч<ь, Риг. Ю9 и тогда сходимость интеграла (33.20), т. е. существование предела (33.1) эквивалентно существованию предела 1пп гр(т1). Ч-и — о В силу же критерия Коши для существоваяия предела функции имеем: для того чтобы существовал предел 1(п1 го(Ч), необходимо Ч.и — и и достаточно, чтобы для любого е) 0 существовало такое 6=- = 6(е) ) О, что если Ь вЂ” 6<Ч'<Ь и Ь вЂ” 6<Ч" <Ь, то [ч (ч") — ч (ч') ~ < е.
(33.22; Поскольку Ч Ч' 71 " гр (Ч") — ~р (Ч') = ~ ~ (х) дх — ) [(х) г(х == ~ [(х) с(х, и и Ч то (33.22) равносильно условию (33.21) (рис. 109). Теорема доказана, носящее название крипирия Коши. Теорема 4. (Критерий Коши). Для того чпюбы интегра г (33.20) сходился, необходилчо и достатпочно, чтобы для любого е ) 0 сьтиесгпвовало такое 6 =- ьзз р ЗЗ. Интегралы от неограниченных функции он и просто сходится"'.
До к аз а тел ьств о. Пусть фиксировано е) О. Если ь интеграл ) /(х) с!х абсол!атно сходится, то в силу критерия Коши а (см. теорему 5) для любого е > О существует такое б = 6(е) ~ О, что тр ~ ~ ! ) (х) ( дх ~ < е, (33.23) если Ь вЂ” 6< 1'< ь, Ь 6<Ч" < Ь. Так как Ч';" ~~ ~(х)ахЦ~ 1)(х)~г(х~, Ч Ч то в силу неравенства (33.23) для любых указанных Ч' и Ча ~ ~!! !а*!< .
Ч' ь поэтому в силу критерия Коши (см. теорему 4) интеграл ~ Г (х) дх сходится. и Теорема доказана. ! Подчеркнем, что здесь, как и раньше, л!ы рассматриваем только функции, и!пегрируемые но Риману на любо!! отрезке (о, т1), ЧР (а, ь). ь Определение 2. Инпюграл ~ ~(х) т(х называется абсолютно а ь сходящимся, если сходится игппеграл ') ~~(х)~г(х. а Из теоремы 4 непосредственно следует критерий абсолютной сходимости интеграла. Теорема 5.
Для того чтобы интгграл (33.20) абсолютно сходился, необходимо и доспктточно, чтобы для любого е ь О существовало такое 6 = 6(е) ~ О, что если Ь вЂ” Ь<Ч'<Ь и Ь вЂ” 6<Ч'<Ь, то Чз ~~~)(х)~дх~ <е. Ч! ь Теорема 6. Если интеграл ) Г(х)с(х абсолютпно сходится, пю а 94.1.
Определение несобственных интегралов В дальнейшем (см. и. 34.4) будут приведены примеры сходящихся, но неабсолютно сходящихся несобственных интегралов. С помощью установленных в и. 33.3 признаков сходимостн несобственных интегралов от неотрицательных функций можно устанавливать абсолютную сходимость несобственных интегралов, а значит, и просто их сходимость в случае, если они абсолютно сходятся.
Например, интеграл ! типаЂ к = — дх )л~:х о сходится, и притом абсолютно, ибо ! в!и— 1 х 1 — ~< Фх и интеграл ! — — сходится. ,|г! — х о й 34 НЕСОБСТВЕННЪ|Е ИНТЕГРАЛЫ С БЕСКОНЕЧНЫМИ ПРЕДЕЛАМИ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 34.!. Определение несобственных интегралов с бесконечными пределамн Обобщим понятие интеграла на случай бесконечных промежутков. Пусть функция ! определена для всех х ) а и пусть она интегрируема на любом конечном отрезке (а, ч), ч ) а. Определение !.
Будем говорить, чтв функц!ля ! интегрируема в несобственнол! глаголе, или, чапо пю все, что интеграл +с ~ 1(х) дх (34.1) сходится, если существует конечный предел а т) 1цп ) !(х) с!х. Рис. 110 ч + п Зтоп! предел, если он существует, и называется несобстпвенным инпгегралол! (34.1). Такал! образом (рнс. 110), + Ч ) !'(х) с1х== |пп ~ Г(х)дх. и ч + и й Ы Несобстаеннам интегоалы с бегконееагеми сределали 460 Существование несобственного интеграла (34.1) эквивалентно существованию несобственного интеграла ) ! (х) г(х (34.2) при любом с)а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
