Кудрявцев Л.Д. - Математический анализ (1077055), страница 76
Текст из файла (страница 76)
а е «-О ь В отличие от несобственного интеграла ) ['(х)т[х обычный ина ь теграл Римана ) 1(х) т[х будем иногда называть также собствена ным интег алом. Р Существование несобственного интеграла ) 1(х) г[х эквивалента но существованию несобственного интеграла ) ((х)г[х при любом с с~(а, Ь).
Ч В самом деле, интеграл ~ 1(х) г(х отличается от интеграла а 1(х)т(х (при сч. Ч«'Ь) иа конечную, не зависящую от Ч величину ~ 1(х)с[х: а Ч с 1 пас*=[пас.+[п и*. поэтому при Ч-е Ь вЂ” О оба указанных интеграла одновременно имеют предел или не имеют его. б аа. Интегралы от неограниченных фрнкяио л Если ~)0 на [а, Ь), то несобственный интеграл ~((х)г[х а численно равен площади неограниченной области 6=-((х, у):а(х(Ь, 0<.у()(х)): а ~ 1 (х) с[х =- п)еэ 6. а Действительно (см.
рнс. 107), если 6» =--[(х, у): а(х(Ь вЂ” — ', О<. уч-"1(х)1, й » ' то, согласно доказанному в п. 32.1, гпеэ 6„= [ 1(х) г[х. (33.3) а Поскольку 6, с: 6, с= ... с= 6„с=.... н () 6„=6, »-1 то в силу теоремы 2 п. 31,2 Рис. Юу [нп и) еэ 6„= и) еа 6. »-ас Согласно же определению ь —— » несобственного интеграла йгп ~ )(х)г[х = ) ~(х)г[х; »-а а поэтому, переходя к пределу в равенстве (ЗЗ.З), мы и получим (33.2).
У п р а ж и е и и е 1. Пусть функция 1 определена и ограни киа иа [и, Ь), причем оиа иитегрируема по Рвмаиу иа любом отрезке [а, Ь вЂ” а[, э-а б<я < а — и. Локазать, что в этом случае предел ))п1 [ ИХ)дх сугцсствует в то„ тогда и только тогда, когда функция [, будучи произвольным образом доои) едслениой в точке х = Ь, является иитетрирусмой по Роману па отрав»с [а, а[ э и в этом случае указанный предел равен ) [[х)г)х. 8З Ь Определение интеграла от нсогрониченнов бчинччии ЯЯб Утвержденне етого упражнення показывает, ччо если в определеннн несобственного ннтеграла (33.1) условне неограннченнастн функции 1' на 1а, Ь), заменять условием се ограннченнастн, то в случае супьествонаиня предела (33.1) мы не придем к новому попятч~ю, а придем к старому понятию инте рала 1'нмана.
Определение 1, конечно, можно о)юрмулнровать н без требования нсогрсннченностн функпнн ьа 1а, бк ) )(х)с(х .†.-.) 1(х)г(х + ~ )'(х)с)х, (33.5) Прн этом в рассматриваемом случае существование и величина интеграла ~ )(х)г)х не зависят от выбора точки с~(а, Ь). а Действительно, в эгол1 случае функция ), очевидно, интегрнруема Для справедливости нижедоказанных теорем несущественна ограниченность или неограниченность подынтегральных функций. Поэтому мы не будем накладывать этого ограничения, последует иметь в виду, что все эти теоремы будут содержательны только в случае неограниченных подынтегральных функций, содержательны в том слтысле, что для ограниченных подынтегральных функций они либо тривиальны, либо доказаны ранее.
Итак, в дальнейшем под несобственным интегралом ) 1(х)г(х а будем понилтать интеграл, определенный формулой (33.1), однако без предположения неограниченности функции) на(а, Ь). Тел» сал|ым (см. упражнение 1) теперь у нас собственный интеграл явля:тся частным случаем несобственного; этил1 оправдывается примеь ПеннЕ ОДНОГО И ТОГО жЕ СИМВОЛа ) 1(Х) дХ дЛя ОбОЗНаЧЕПИя КаК рнс мановского, так и несобственного интегралов.
ь Аналогично определяется и несобственный интеграл ~ /(х) дх от функции А определенной на полуинтервале (а, Ь) и интегрируемой на всех отрезках Ц, Ь), а ( 5 < Ь: ь ь $ ') (х)гХх= 11гп ) )(х)г(х. (33.4) 1 с+г) г Если же функция 1' определена на интервале (а, Ь) и если при некотором выборе точки с~(а, Ь) существуют несобственные инс ь тсгралы ~)(х)с)х и ) 1(х)с(х, то по определению положим, и с ь с ь 446 4 зд Интегралы от неоеранааеннык функ!сил по Риману на любом отрезке К, т)1, где а($(т)(Ь, и определение (33.бс) в силу определений (33.1) и (33.4) равносильно епределению ь 1 ().=)сп ~ (.) ..
а ь а+Ой ч ь †о- Здесь предел в правой части понимается в смысле предела функции двух переменных; образно говоря, переменные 5 и т) стремятся к своим пределам независимо друг от друга. Пусть теперь существует конечное число точек хс, с=О, 1...., /г, а=хе(хс(...(хь — — Ь, таких, что все несобственные интегралы кс с (х) с(х, с'= 1, 2, ..., сг, Л' с — ! существу!от, тогда несоб>ствеппый интеграл ) 1(х) ссх определяется а согласно формуле ь ь кс ~с'(х)г(х — — ~~'."с ~ 1(х)с(х. (33.б) а с=! к с — ! Из этого определения и определения (33.5) следует, что несобственный интеграл в общем случае сводится к интегралам вида (33.1) и (33.4).
Поэтому при дальнейших рассмотрениях мы ограничимся лишь изучением несобственных интегралов двух указанных видов. У н р а ж н е н и е 2. ссоказать, что существование и значение несоаствеиь ного интеграла ~ /(х)с)х в онределенни (33.6) не зависит от выбора точек кн а С = О, ), 2,,..., Сс, удовлетворясоших о)сормулнрованным выше условиям„ ь Иногда вместо выражения «несобственный интеграл ) 1(х)с)х существует» (и, следовательно, конечен) употребляется равнозиачь ное выражение «интеграл ) ) (х) гсх сходится».
Если интеграл О ь 1(х) с)х не существует, то говорят также, что он расходится. а 447 ааа Форл1ули интегрального игыиелгнил Примеры. 1. Функция !(х)= =, 0(х~(1, иеогра- 1 )гг ничена и, следовательно, ие иитегрируема по Риману, как Г>ы ее ни доопределить в точке х = О. Несобственный же 1 1' ал интеграл ) = существуег: ,) )ел дх . Е Их .
е — 11 — = 1!п7 ) ==!пп 2 1 х ~ =2. ~/х г- +о,) )/х ыг 1о о 2. Пусть ! (х)= —, 0(х (1, тогда несобственный интеграл 1 х ' 1 ах — не существует. Лействнтельно, к о ! 1 1=,)- лх . сел . и — = Ип1 ) — =1пп 1пх ) = — 1пп !пав= -1- оо. г- +о " г- +о ~» г +о о 33.2. Формулы интегрального исчисления для иесобствеинык интегралов иа конечном промежутке На несобственные интегралы легко переносятся многие свойства интеграла Римана (см. $28 и 5 30). Рассьютрим некоторые из них. 1. Пусть функция ! непрерывна на палуинтервале !а, Ь) и пусть Š— какая-либо первоабразная функции ! ни !а, б), тогда Г! ) (х) д = Р (б — 0) — г (а), (33.7) а где Р(Ь вЂ” 0)= 1! Р(х). к -ее — о Равенство (33,7) понимается в том смысле, что либо обе части равенства одновременно имеют смысл и тогда они равны, либо они одновременно не имеют смысла.
Действительно, согласно формуле Ньютона †Лейбни (см. п. 29.3)„ ) (х) дх= р(11) — г (а). г а 4 83. Интеграла ог неогриииченннк 4кнкций Переходя в чтой формуле к пределу при ь)- Ь вЂ” О, получим формулу (33.7). Аналогично утвергккенне имеет место и для несобственных интегралов вида (33.4). ь 2. Если существуют несобспьзенные интегралы ~ г'(х) дх и д(х) с(х, то существует и несобственный интеграл ) () (х)+у (х))дх, а а причем ь ь ь ~ !)(х).1-у(х)!ух= ~ !(х)с(х+ ~ц(х) дх.
а О Действительно, например, для несобственных интегралов вида (33.1) имеем ь г) ~ Ц(х)+у(х)! ь(х= йп1 ~Д(х)+у(х)! с(х = ч-+ь-о и ь ь 11п1 ~ ("(х) ь(х+ '1ш ) у(х) ах = ~ !'(х) дх+ ) у(х) Их. и- ь-о а Ч-~ь-ь а а а Подобным же образом доказываются и другие формулы для не- собственных интегралов типа (33.!), например, ь ь ) Ц(х) ь(х=й~ 1'(х) дх, а а ь ь ) иь(о=по~„— ) оь(и, ь ~ ~(х) бх = ~ ) 1ц (()1 ц' (() б( ит.п Конечно, аналогичныеформулы справедливы и для несобственных интегралов вида (33.4). В дальнейшем для простоты изложения, как правило, будем ограничиваться лишь рассмотрением несобственных интегралов вида (33.1). К тому же интеграл вида (33.4) всегда л~оншо зальеной переменного свести к интеграпу вида (33.1). В качестве примера вычислим интеграл ! г„= ) (1пх)адх.
о ЭЭ.Э неговетвенные интегсоен от неотрицательных гугнцциа Интегрируя по частям, получим 1 1 ! 1„=- ) (1пх)адх=х(1пх)а ~„— и ') (1пх)" — 'дх= и гь=.1, 2, ..., ибо 1тго х (1и х)а = О. +о Замечая, что 1 )в — ~дх=[, получим т'„=- ( — 1)а и! 83.3. Несобственные интегралы от неотрицательных функций на конечном промежутке )(х)г[х, а~т)с, Ь, а б ыли ограничены в совокупности, т. е. чтобы суи[есгпвовала постоянная М ) О, такая, что г" (х) дх < М (33.8) а для всех т) Яа, Ь), причем в этол случае ° [пот*=[кот*. а~Ч < ьа а Доказательство. Положим (ЗЗЗ) ср(т))=~)(х)г1х, а <т)(Ь.
и Теорема 1. Нуспть 4тгнкция ) определена и неотрииательна на полуинптервале [а, Ь). Для того чптобы несобствена чый интттеграл ') г'(х) дх сходился, необходимо и достпатпочно, чтобы а интегралы Ява у ЗЗ. Интегралы аг неаграначенннк функкаа Если а 'Ч(Ч'с" Ь, то в силу неотрицательности функции/ Ч' ) /(х)дх > О, Ч поэтому Ч' а(а1-[п*и.= ~ наг.~-[и*и..
7наа.-аы>, а а Ч а т. е. гр является монотонно возрастающей функцией. Поэтому предел [пп еу(Ч) конечный или бесконечный всегда существует Ч-ь — о (см. п. 4.8); при этом этот предел конечен тогда и только тогда, когда функция гр ограничена сверху, т. е. когда выполняется условие (33.81.
Наконец (см. п. 4.8), ь ) /(х) дх= Ишгу(Ч)=зир~ь(Ч), а Ч ь — о а~Ч<ь т. е. имеет место ~[врмула (33.9). Теорема доказана. Из теоремы ! следует также, что, для того чтобы несобствень ный интеграл ) /(х) дх расходился, необходимо и достаточно, чтобы а функция ф(Ч) была ие ограничена сверху, но тогда в силу ее монотонности [пп гь (т[) = Иш ~ /(х) дх = -1- со. Ч-ь-о Ч ь — оа ь Поэтому, если несобственный интеграл ) /(х) дх от неотрицательной функции / расходится, то пишут ь [ / (х) дх = + со. (33.10) В дальнейшем в настоящем пункте мы будем всегда предполагать, что 1) функь(ии / и у определены и неотрицательны /> О, у > 0 на [а, Ь); 2) интезрируемы по Рамону на любом отрезке [о, Ь вЂ” е1, е) О, 888.
Нееааетеенные интегралы ат неотрицательных функций Нижеорормулированные и доказанные теоремы называются обычно признакоь1и сравнения сходилгослти несобственных интегралов. Теореиа 2. Пусть 1" (х) = 0(д(х)), х-+ Ь вЂ” Оа>, (33 11) тогда: ь 1) если интеграл ) д (х) дх сходится, аю сходится и интеграл а ь ) )(х) дх; а ь 2) если интеграл ) )т(х)с(х расходится, лю расходится и ия- а ь тегрол ) д(х) дх. а 1 (х) дх < а ~ и (х) дх ( еМ. «) В частности, если )(х) < е(х). ь Доказательство. Пусть интеграл ) д(х)дх сходится.
Из а условия (33.11) следует существование такого Чь( (а, Ь) и такого с)0, что для всех хС1Ча, Ь) выполняется неравенство ) (х) ( аЬ (х) ь (см. п. 8.2). Из сходимости интеграла ) н(х)дх следует и сходна ь мость интеграла ~д(х)дх. В силу же необходимости условий Ча теоремы 1 для сходимостн интеграла, существует такое число М)0, что для любого Ч ~ (Ч„Ь) справедливо неравенство Ч ) Ь'(х) с(х~(М. Ча Отсюда и из неравенства (33.12) имеем гзз З За Интегралн от неаграннненннх Функций расходится. Теорема доказана.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
