Кудрявцев Л.Д. - Математический анализ (1077055), страница 78
Текст из файла (страница 78)
Действительно, т) с ч ~ 1 (х) г!и — — ~ 1' (х) г(х+ ~ ! (х) г(х, поэтому интегралы (34.1) и (34.2) одновременно существуют или не существуют. Если !(х) > О для х > а, то несобственный интеграл (34.!) численно равен площади неограниченной области гт = ((х, у): х ) а, О ( у ( 1(х)), т. е. ~ ! ( т) дх =- гнев б. В чт»м легко убедипся с помечпью теоремы 2 п. 31.2, подобно тому каи это было сделано в прелыдущем параграфе для несобственных интегралов от неограниченных функпий (см.
п. 33.1). Аналогично определяется и несобственный интеграл и ~ )(х)г(х для функнпн А определенной на полупрнмой х -< а и интегрируемой по Риману на любом отрезке ($, а), именно а а ! Ими= с ~ Иаэс.. (:)4.3) Если же для функции 7 имегот смысл несобственные интегралы а г. !(х)г(х и ! !(х)г(х, где а~(Ь, а такжесобствепиый или не- У и р а ж и о н и е !.
Привести пример Функции А иологинтеланоа ири х М 1 и неограниченной в каждой оирсглности +со, или которой интеграл + .) 1(х)бс стоаитси. ! Я4.2 Фоамулы интегрального исчисления собственный интеграл ) 1 (х) дх, то несобственный интеграл ~ ! (х) с(х а определяется согласно формуле а ь +аа ) 1(х)с(х= ) г(х)с(х+ ) )".(х)с!х+ ) Г(х)с(х. (34.4) У я р а ж н е н н е 2.
Доказать, что существование и значение нессб+ ственного интеграла ) )(х)ах в определении (34.4) не зависит от выбора точек и и Ь, удовлетворяющих с(юрмулированныы выше условиям, Вместо еинтеграл существуета и, следовательно, конечен (соответственно не существует) часто говорят также, что интеграл сходится (соответственно расходится). В дальнейшем для простоты мы в основном ограни шмся рассмотрениелг несобственных интегралов вида (34.1). Для ингегралов тьпг (34.3) и (34.4) соответствующие утверждения также оудут спрасе:1- ливы, и читатель легко сформулирует и докажет их самостоятельно по мере собственной потребности.
В качестве примера покажем, что + )сходится при а) 1, ги (расходится прн сс < 1. 1 В самом деле, если а чь 1, то +н Ь 1 Ь + х Ь + 1 и +со для и '1, ! — для сс) 1. 1 — и Если же а=1, то + ь — 1!гп ) — == 1пп 1и Ь =- + оо, 11х . ! Лх х =ь ж,) х ==ь + 1 1 (34.5) 34.2. Формулы интегрального исчисления для несобственных интегралов Подобно тому как это имело место для несобственных интегралов от неограниченных функций, на интегризм с бесконечными пределами переносятся формулы интегрального исчисления, У Я. Несобственные интегралы с бесконекныни аредалали~ причем метод их доказательства аналогичен случаю интегралов от неограниченных функций. Это делается особенно ясным, если заметить, что оба определении несобственных интегралов можно формально объединить в одно определение.
Сделаем это. Определение 2. Пусгпь функция ! определена на конечном илп бесконечном промежутке !а, Ь), а ( Ь с. +со, и пусть функция ! интегрируема на люболг отрезке (а, т)), а ( и ( Ь. Тогда несобь ственный интеграл ) !(х) йх определим по формулг а и ч ~~(х)дх= 1!п1 ~$(х)йх, а(т!(Ь. (346) а т| ьа Очевидно, что в случае конечного Ь и неограниченности функции ! на промежутке (а, Ь) определение (34.6) превращается в определение (ЗЗ.!), а в случае Ь = +оо — в определение (34.1). Случай же, когда Ь конечно, а функция ! ограничена на !а, Ь), ие представляет принципиального интереса, ибо, как это уже отмечалось в п.
33.1 (см. упражнение 1 в п. 33.1 и замечание после него), при этих предположениях существование предела (34.6) эквивалентно интегрируемости по Риману функции ! на отрезке !а, Ь) (в точке Ь функция ! доопределяется произвольным образом). Если предел Ч 1!ш) 1(х) дх, а(т!( Ь ч ь авен оо, + со или — оо, то соответственно пишут ь и и ) ) (х) д х = оо, ) ! (х) дх = + оо или ~ ! (х) с(х = — оо.
а а и В пункте 33.2 формулы интегрального исчисления с помощью определения (34.6) при конечном Ь обобщались на случай несобственных интегралов от неограниченных функций. Таким же точно образом указанные формулы с помощью определения (34.6), но уже при Ь = +оо могут быть перенесены и на случай интегралов вида (34.2). В частности, справедливы, например, следующие утверждения. 1. Пусть функция ! непрерывна при х > а и пусть Р— какая- либо первообразная функцисг ! на полупрямой х > а, ггиггда ~ !(х)дх=Г(+ со) — Г(а), а 44З З4 г. формулы иятегрольного нгчиглеяоя где Е(+оо)= 1)гп Р(х), -+ причем обе часгпи равенства (34.7) одновременно имеют смысл или нет. +о» 2.
Если ) )'(х) с(х сходится и я — число, то интеграл ) я)(х) йх также сходится и О + Ю + Ц(х) Йх =- гг ') )'(х) йх. а и 3. Если инпюгралы ~ )(х)йх и ~ а(х)йх сходятся, то а л ()(х)+ д(х)) дх сходится и ,) (г'(х)+д(х))йх= ) )(х)дх-(- ) д(х)дх 4. Если функции и, о непрерывно дифференцируемы на полу- прямой х > а, то +и» +о: ~ иди=по~+, — ~ ойи, + +О» +о причем если любые два из выражений ) ийо, ио ~, и ) иди а О илгеют смысл, то имеет смысл и оставшееся.
5. Пусгпь функция г' непрерьана при х > и, функция ц»(г) определена и непрерывна вллесте со своей производной на полуинтервале !а, р)„а < р < + оо, причем а = гр(а) гр(4) ( < (пп ц(() == +, гпогда г р +» ~ )'(х) йх=1 )(Ч(()) ц» (г)дг (34.8) При этом оба интегрила в формуле (34.8) одновременно сущесгпвуют или нет. й !4 1!етибственные интегралы с аеснонеонылаг приделана Отметим, что всякий несобственный интеграл ~/(х) /х, — <п<Ь<+ а Ыл и х =-— !+1 а — и с/х ==- — ' — с// (! + 1)' (34.9) получим /(х)с/х= /т — и) ~ /! —,, ~(, + !). ° —,„(Ы) — "'— /ы+а1 и! Отсюда следует, что при выполнении условий, обеспечивающих возможность замены перемегиюй (34.9), всякое утверждение для несобственных интегралов от неограниченных функпий по конечному отрезку может быть перефразировано в утверждение для си собственных интегралов по неограниченным промежуткам, и наоборот.
П р н м е р ы. 1. Вычислить интеграл + СО 1 Делая замену переменного х= —, получим Лх !" г!( . ~' и — = ! == — = агсз)п / ~ к)лт — 1 (т! — и 1о В ! о 2. Пусть /„= ~ х" е — *с/х. о Интегрируя по частям, получим + +и ~+ / .. (хне-гс/х хие — т~ 1 и ( хв — !е-тг/х н — — 1о (' о =п/и-!, и=--1, 2, от неограниченной функпии / может быть заменой переменной све- ден к несобственному интегралу по неограниченному промежутку. Действительно, делая, например, замену переменных ЛтЛ.
ССееобстаенные стнтегралы ат неотгнчателаных фднюптв Замечая. что +О 1ь=- ~ е — 'с(х= — е — ~, =-.1, о окончательно имеем ) —.. пс и 34.3. Несобственные интегралы с бесконечными пределами от неотрицательных функций Для указанных в заглавии интегралов справедливы теоремы, аналогичные теоремам, доказанным в п.
ЗЗ.З, для несобствс нных интегралов от неотрицательных неограниченных функций. Теорема 1. Пусть функция с определена и неотрицательна для х ~ а и анспегрируема по Рамону на любом отрезке (а,п), + а ( т) ( + со. Для того чтобы несстбсспвенньссс интеграл~ с(х) стх сходился, необходнлсо сс достаточно, чтобы интегральс ~ ) (х) с!х, а (и (+ оо, были бы огрансечены в совокусгноспиц причелс в этолс слуии зпр ~ с(х)дх= ~ с(х)с(х. атслопсте ограниченности интегралов Ч ~ ((х) с(х а при тС : а равносильно условию ограниченности этих интегралов при тС .: а', где а' .- а.
В самом деле, в силу неотрицательности функции С, если а(т~(а', то и а' ~ ((х)с!х ( ~) (х) Их, а а ч т. е. интегралы ) С(х)с(х, а(т~(а', всегда ограничены. а 46З 4 84 Несобсгвввныв внхеврвлы с аесхввечнылв вееделаяи Заметим ецге, что в случае, если интеграл от неотрицательной функции 1 расходится, то в силу монотонного возрастания функции ч се(х))= ~ 1(х)с(х ее предел прп и- +со равен +оо, поэтому, согласно сделанному в и.
34.2 соглагиецню, в этом случае 1(х) с(х = + оо. В дальнейтем в этом пункте будем предполагать, что функции и р определены и неотрицагельнм при х>а и ннтегрируемы по Римапу на любом о т р е з к е 1а, х)1, а < ч < +со Теорема 2 (признак сравнения).
Пусто Г(х)=-0((((х)) прн х- + со*>, тогда, если интеграл ) )1 (х) дх сходится, то сходится и ~ 1(х) Их, а если интеграл ) 1(х) г(х расходится, то расходится и инте- в грал ~ (1(х) дх. С л е д с т в и е. Пусть р (х) + О и 1цп —. = й, 1(х) й (х) тогда: +О 1) если интеграл ~ а(х)с(х сходится и 0 <й<-1-оо, то О интеграл ~ ('(х)с(х такясе сходится; о 2) если интеграл ~ а(х) дх расходится и 0(я <+ оо, то а интеграл ) 1(х)с(х такехе расходится. в м В чвс1иости, если ) (х) с а (х). гйд Нееойетвенные ингегра,га ол неогяинигельнмх 4нанняггй )3 часп ности, если Э-.у (см.
и. 8.3), пго ингпегралы +и + ) ((х)дх и ) 1(х)дх то получится следующая теорема. Теорема 3. Пусть )(х) > 0 при х > а) О. Тогда если 1(х)=-(Э11 — ~, х- + оо, а) 1, 1 л ) ((х)дх то интеграл (34.10) сходится, если вгсе — =0(г(х)), х — н + оо сс а< 1, ! то интеграл (34.! 0) расходится. Сл едств и е. Пусть И ш ха ( (х) =- Уг, пгогда: 1) если а~~1 и О<" Эг<+ оо, то интеграл (34.10) расходится: 2) если сг и 1 и 0 < гг( -1- оо, то инп вграл ('34.10 Э схооится. В частногпш, если ( (х) пго интеграл (34,10) сходипгся при а) 1 и расходится при а (1.
И р и м е р ы. 1. Интеграл 1 схОдится. сходятся или расходятся одноврелгенно. Все зти теоремы доказываются совершенно аналогично теоремам и. 33.3. Если в теореме 2 и ее следствии в качестве функции сравнения о(х) взять функцию р(х)= —, а)0, 1 х й йл Не!ибсен»на!ге плтег»пкм г беекпнелнмнл л»еде»ила Са 3 Действительно, возьмем а=-.— ' — е, в)0, тогда з х 1пх . !пх ! 1ип, = !пп — = — (ип — = О.
(34.12) к-! 1' '" -1. ! к-+ !.с и--! зке 3 Выберем е. так, чтобы -'---е > 1, тогда интеграл 2 дх ! сходится, а значит, в силу следствия теоремы 3 сходится и интеграл (34. 11). В случае, когда сразу не ясен порядок подынтегральной функцгп1, следует попытаться выделить ее главную часть в виде —,„ (с и а — постоянные), прибегнув, например, к формуле Тейлора. 2. Исследуем сходпмость интеграла + 1и ссз— — г(х. (34.14) ! х» з — Е хз Здесь ноль!нтегралыза!! функция вс!оду отрицательна.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
