Кудрявцев Л.Д. - Математический анализ (1077055), страница 82
Текст из файла (страница 82)
е. ! Ол < .-- ии, й' а это означает, что „= О(ил). Поэтому утвер>кдщсве 2 следствия непосредственно вытекает из утверждения 2 теоремы. Примеры.1. Пусть и!ие ии л Тогда О < ил < — —, и -- 1, 2, ..., ! и так как ряд у ! 2л сходится (см. п. 35.1). то сходится и ряд ыи' ист 2л л=-1 2. Ряд !+У и Е Зд Чыслоелм ряди расходится ийо — — --.—. > - — —, и = 1, 2, 1 1 1 ь )Гй = 2('„' а ряд у м, )lи' как мы видели (см. исследование РЯда (35.18)), оасходптся.
Эффекгивность непользования критерия сравнения для исследовании сходимости ряда зависит, конечно, от запаса «рядов сраенепиа»ч т. е. РЯ1кгв, о котоРых мы Уже знаем, сходатса онн пли Рас. ходятся, и которые тем самым мы можем пытаться использовать для исследования сходимости данного ряда с номоьныо признак; сравнепгг»1. Если в качестве «ряда сравнения» (35.21) взять ряд про который мы уже знаем, прн каких а оп сходится, то из творе мы 8 непосреггсг вснно следует справедливость следучогней теоремы Теорема 9. Пусть и„)~0, и=1, 2, ... Тогда, если и„==О( — ) и я) 1, то ряд (35.26, сходится.
если хсе — =С(иы) и и < 1, 1 и то ряд (35.26) расходится. Сл едет вне. Пусть !нп и" и„=)г, тогда: 1) если я)! и 0 <)г(+ ьь, то ряд (35.26) сходится; 2) если а =".! и 0<)г < + ьь, то ряд ('35.26) расхоггиглся. !3 частноспни если 1 и я«» яго ряд (35.26) сходится нри гл) 1 и расходшнся пра а <1.
Зла Крсссарсси ттпдиииати реле« т наптрииптелнниии «ленпии Если члены и„ряда (35.26) заданы с помощью формул, имекяцих смысл для всех вешсс»венных значений и, и, более того, являются «достаточно гладкими» функциями этого параметра, то для практического применения теоремы 9 обычно бывает целесообразно разло! жить член ии с помощью формулы Тейлора по степени переменной —. Если главный члси получившегося разложения будет ил!ель с с -1 1 вид — то, беря в качестве ряда сравнения ряд ~ — и при„а а с п менив теорему 9, определим, сходится данный ряд или расходится. В извесыюл! смысле лсожно сказать, что этот метод исследования схсдлмости ряда является наиболее удобным и вместе с тем достаточно общим.
П р и и е р ы. Исследуем сходимость рядов, общие члены ии которых задаются нижеуказанными формуламн. 1) и =1 — сок —. !с, Очевидно, и„)О. Так как х" созх.—.-1 — — +о(х'), х- О, 2 и, следовательно, — — —;+ ( — «)~ = —,, + о) —,):= О Я то в силу теоремы 9 ряд с общим членол! и„сход!пся. с л) и„= !ПСО5 —. 1 и Здесь ии<" О. Всполсиная, что 1п(1+х)=х+о(х), х-»0, получим чн — )псоз — =(п 1 — -1 о и ~ 2п' ~п»!'~ == — — -1 о( — -) + о [ — —, +о( — »))= — — -+о~ — ), Отсюда — ии=-О ~ — ), в ав. ч!млоаме ялды 492 и потому ряд а значит, и ряд ,~~ и„ ч=! сходятся.
1 +1а л в 3) и„= 1и 1 — 1а —" и п=3,4, я и (11 Имеем и„~~0 и 1д — =- — +о~ — ~, повтому в в !,в) и„=!п 11+ 1ц — ! — 1п 11 — 1д — 1=- =. 2 1д — - + о ~1д — ) =- 2 + о ( 1 ), Таким образом, и Н 1 Л так как ряд расходится, то расходится и ряд Может, конечно, случиться, что с помощью теоремы 9 довольно сложно установим, сходи!ся или расходится ряд, а с помощью какого-нибудь другого приема вто сделать значительно проще; примером такого ряда является ряд у 1 май!!! + 1)!и (а-1 !) аб.4. Крытерти! сходымосты рлдоа с неотрицательными членами Этот ряд легко можно исследовать с помощью интегрального признака сходимости: из того, что интеграл +и дх (' Ф (х + 1) )п (х + 1) ,) расходится, следует, что и ряд (35.26) расходится.
Иногда оказываются полезными некоторые спепиальиые признаки сходимосги ряда. Отметим среди них так называемый признак Даламбераа' и приз!щк Коши, непосредственно попучающиеся из признака сравнения, если в качестве ряда сравнения взять соответствующим образом выбранную геометрическуто прогрессию.
Теорема 10 (признак Даламбера). 7!))сть дан ряд с иоложипмльными членами ~~у~ и, ии ) О, и ии 1, 2, ..., и ! (35.27) тогда: 1) если существуют такое число т), О ( !)(1, и такой нол!ер па, чпго — и+' <,'д длЯ всех и > пс, ыи то данный ряд сходится; 2) если существ))еп! такой нол!ер и„чп!о — >1 для всех и>па, и+! ыи ми+! — ( т), "и т. е. лл ! (!)и «! Ж Даиатбер (17!7 — !7аа) — фраикуаский философ и математик. то данный ряд расходится.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть 0 ( !) ( 1 и пусть существует такой номер и„что при п>иа е Зл чиелоаие ряди Тогла и„,.ье < и,, ь~ д <и„,Щ и так как ряд и„д+ и„д'+ ... +и„Че+- сходится, являясь геометрической прогрессией со знаменателем д (О < д < 1), то по признаку сравнения сходится и рнд и„,.ь~+и„,че+ —. +и„.ы,+ -. а значит, и весь ряд (35.271.
Если же существует такое и,, что — >1 лля всех п>пм и„ то и, +,)~и„, и >ич Ь, алием (35.28) итак как по предположению и„,> О, то и-й член ряда, будучи ограничен снизу положительной постоянной, не стремится к нулю. Следовательно, не выполняется необходимое условие сходпмости ряла (см. теорему 5 нгого параграфа), и потому ряд (35.27) расходится. Теорема доказана. С л ел с т в и е.
Пусть суи(есегюует " +) 1пп — =: 1. и- Ид 7'оедп, если 1 < 1, то ряд (35.27) сходится, а если 1 > 1, то ряд (35.27) расходится. Это вытекает непосредственно нз доказанной теоремы. В качестве примера рассмотрим ряд а 3 35Х Критерсссг оходгглсосги рядов е неотричотелг ныигг ыеногю Здесь г . ггн+г ин =- — и !пи — =!пп =О, ог н «н н о+! ~" ин, иа) О, и =-1, 2, ..., е =- г гиоедас 1) если суисеслмуют такое с1, 0 -" д(1, и гггакое гг, чгио (35.29) в г и„<сг для всех и',.-ае, то данный ряд сходится; 2) если сугггесиссгуеги такой номер па, гало гг ио >1 для всех гг,.--иа, то данный ряд расходсигия.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Если при ил: яо Ъlин < с), ггн ~~ сг', то по признаку сравнения ряд (35.29) сходится, ибо ряд У с)" прп О <. с)~. 1 сходится. в 1 Если все и т'ин>1, л>ио, то и„> 1, и, значит, ряд (35.29) расходится (см. теорему 5).
Теорема доказана. Следствие. Пусть сусс!ествует 1ип гг и„=- 1. 3 -' Тогда, если !(1, то ряд (35.29) сходится, а если 1 > 1, ггго ряд расходится. Доггггзатхигьство следствия очевидно. поэтому, согласно следствиго теоремы 10, дасгггый ряд сходится. Теорема 1! (признак Коиггг). Пусть дан ряд ф зд Чяглолне ряди Язв Рассмотрим рид (35.30) п=а Так как а— 1пп 1т и„= йш — —.— О, в-, а П то, согласно следствию теоремы 11, ряд (35.30) сходится. Сходимость ряда (35.30) легко устанавливается и с помощью следствия из теоремы 9. 35.5. Знакопеременные ряды В этом пункте рассматриваются ряды с вещественными членами, знаки которых, вообще говоря, изменяются при изменении номера; такие ряды называются знаконеременныжи рядами.
Рассмотрим прежде всего так называемые зиакочередующнеся ряды, т. е. ряды, члены которых поочередно то положительны, то отр ипател ьны. Теорема 12 (Лейбниц). Если 1гаа и„==-0 а (35.31) и„> ия ь ~ ) О, п == 1, 2, ..., (35.32) гао знакочередрюцийся ряд '~' ( 1)"+' и„ .ЭВВ3 П=! (35.33) Их можно записать в виде зм — — (и,— и,,)+(и,— ил)+ ...+(игм — ~ — и ), й.=.1, 2, .... В силу условия (35.32) выражения в круглых скобках неотрицательны н потому хм < вальц, т. е. последовательность частичных сумм четного порядка ряда (35.33) монотонно возрастаег. сходигяся.
Д о к а з а т ел ь с т в о. Рассмотрим частичные суммы четного порядка ряда (35.33): ы згк — ~ ( — 1) "и„. я —,.! 95.Б. Зчагюпереггенние ряди Замечая, что частичные суммы згя можно запасать также и в виде (35.34) Ига з,,„= з. и Покажем, что и частичные суммы нечетного порядка ряда (35.33) стремятся к тому же пределу. Действительно, зз*! ! == ям 1'иел и так как, согласно (35.31), Ищиг,+! — — -О л то в силу (35.34) и (35.35) имеем Ип! з,, =з, А (35.36) Из (35.34) и (35.36) следует, что Игп з„=з. Теорема доказана.
Заметим, что для рядов вида (35.33) справедливо неравенство (35.37) Действительно, с одной стороны, мы уже видели, что а являезся пределом монотонно возрастающей последовательности (згл), поэта. му за%я. С другой стороны, з,я+! -— -з,, — (и„,— и,,) <з „„й —.1, 2, ..., т. е. последовательность (з,„,) монотонно убывает, и так как а является пределом и псследоватслыгости (з„„,) (см. 35.34), то з < ззл-!. С л е д с т в н е. Любая чает!!чная сумма з„ряг)а (Згь31) оглличается аяг еео оуммы з на величину, лггныггую следуя(его члена и„! м зм=-и! — (и,— иа) —...— (и,„, — иел !) — и, Уг==-.1, 2, ..., и что выражения в круглых скобках в силу условия (35.32) неотрицательпы, а итл) О, получаем, что зм(иг, т.
е. последовательность (з,г,) ограничена сверху. Из монотонгюго возрастания и ограниченности сверху последовательности (згм) следует, что опа сходится. Пусть Е ЗБ Числсвме ряды 498 иначе говоря, абсолютная величина остатка ряда в эпкм! случае не превышает абсолютной величины его первого члена, т.
е !'.!=!' — '! <"- Действительно, нз неравенства (35.37) следует, что в--в,„~(зв,+, — в,„=- и„,, вы-! в ~ вы — ! вы иди й=1, 2,.... Следствие доказано. В качестве примера рассмотрим ряд у 1 — 1)" + ° е~ Л н=.-! (35.38) Его члены удовлетворяют, очевидно, условиям теоремы 12, и 1 потому он сходится. Замечая, что у него в, = 1 и в, = —, а!я его суммы в имеем оценку — <Я <1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
