Кудрявцев Л.Д. - Математический анализ (1077055), страница 83
Текст из файла (страница 83)
2 (35.39) На ряды переносятся не все свойства конечных сумм. Поясним это на примере того же ряда (35.38). Если 1 1 ! ! 1 1 ! 1 1 . 1 1 — Б= — 111 — — + — — — +... 1== — — — + — — — 4-- 2 2 1 2 3 4 7 2 4 6 8 сложив этот ряд с рядом (35АО), получим 3 2 3 2 3 7 4 9 11 + .... (35.41) т. е. ряд, сосгавленный из тех же членов, что и данный ряд (35.4О), взятых только в несколько другом порядке, поэтому — 5=5, 3 2 откуда следует, что 5 = О, что противоречит (35.39).
Несмотря на кажущуюся очевидность законности наших рассу>кдений, мы где-то сделали грубую ошибку. Где? Подробный анализ этого будет дап в одном из следующих пунктов. год. Лбго.лнтно гкоаярилегя рядн 35,6. Абсолютно сходящиеся ряды. Использование абсолютно сходящихся рядов для исследования сходимости произвольных рядов В этом пункте снова изучвотся ряды, члены которых, вообще говоря, комплексные числа. Определение 4. Ряд ~ ил называется абсолютно сходящимся, если ряд ~„) и„( (35.43) для любого целого р > О. Примеры.!.
Ряд — яп —— 2л л '-! л=! абсолютно сходится, ибо !.л пл ! — яо — — ~ .-- —, 2л „), ~-л 2л у ! а ряд э' — сходится. ,й,~ 2л .!=1 2. Ряд !)л+1 Л л ! как мы знаем, сходится, однако не абсолютно, ибо ряд, составленный из абсолютных величин его членов, т. е. гармонический ряд и л=! расходится. сходится. Приченяя критерий Коши сходимости ряда к ряду (35.43), получим: для того чтобы ряд (35.42) абсолютно сходился, необходимо и достаточно, чтобы для любого е я О сугцеспюовал такой номер п„что если и > и, то л-!-р ~! !и„!(а я=я Э д5.
Числовие ряди 000 Теорема 13. Если ряд абсолютно сходится, то он и просто сходится. Л о к а в а т . л ь с т в о. Пусть ряд (35.42) абсолютно сходится, т. е. ряд (ЗБАЗ) сходится; тогда в силу необходимости выполнения условия Коши для сходимости ряда (см. теорему 4), для любого е) () существует такое п, что если и> п„, то «+р ,~ ),(< для любого целого р > О.
)в+е ) в Ья Отсюда и из неравенства ~ ~~.', и„~ <,г". (и„( следует, что я=в Я=в ! в+г ~г ггя (а для любого и в пв и любого р=1, 2, .... А это и В=в означает в силу достаточности выполнения условия Коши для сходимости ряда, что ряд (35А2) сходится. Теорема доказана. Обозначим теперь через и,„ (35А4) с~ $ ряд, составленный из тех же членов, что и рял (35.42), но взвтьщ, вообще говоря, в другом порядке. Теорема 14. Если ряд (35.42) абсолюгпно сходится, то ряд (35,44) также абсолютно:ходшпсл и илгеегп ту же сулглгу. Д о к а з а т е л ь с т в о.
Пусть ряд (35.42) абсолютно сходится, т. е. сходится ряд (35.43), и пусть Х (и„(= а. Обозначим частичные суммы ряда (36.43) через е„, тогда (см. п. 36.4) з„<.з, п=1, 2,.... (35.45) Какова бы нн была частичная сумма з„", ряда ~~и 1 ( 35.46) найдется номер п = п(т), такой, что все члены ряда (35А6), входящие в сумму з.„имеют в ряде (35.43) номера, пе превышающие и, поэтому где п=п(т), т=1, 2, Зб.б. Лбеояютио еяодятиеея рядн 501 Следовательно (см. (35.45)), з <.з, т.— 1,2,. Отсюда н следует сходнмость ряда (35.46), т. е. абсолютная сходимость ряда (35.44).
Покажем теперь, что если Х и.=з, я ! ~ .(< — ' я=я +! е (35.4?) следовательно, выполняется н неравенство — и„.. '~~ (и„~( — ' . (35.48) 1я 'е+ ~ "="е+' Выберем, далее, помер и так, чтобы частнчная сумма а'„ряда (35.44) содержала в качестве слагаел!ых все члены ряда (35.42), входящие в сумму з„(нначе говоря, помер т таков, что все члены ряда (35.42) с померамн, не превышающпмн п, нмеют в ряде (35.44) номера, не превышающие т ). Пусть т )~ те, Положнм 3 =3 — 3 т т яЕ' Из (35.47) следует, что т !'-1= ~' )и.~< —,'.
о я+! Используя (35.48) и (35.49), получнм прн !и ~» т + ея)~ ~ ~+~е,я~ е е (35.49) Это и означает, что ~ч; „' =з. т ! Теорема доказана, то н сумма ряда (35.44) также равна з. Обозначим частичные суммы ряда (35.42) з,. Пусть фиксировано е) О. Тогда в силу сходнмостн ряда (35.43) существуег такой номер пе, что ф зд числовыр ряди Теорема 15. Если ряд (35.42) абсолютно сходится и с — какое- либо число, то ряд си„ и.— г также абсолютно сходится.
Это следует из критерия Кошн сходимостн рядов и равенства у ьу у г-р Теорема 16 Если ряды т у=г и= ! абсолюгпно сходяпгся, тоеда ггх суягяа ч~~, (и,+о„) также абсолюпто сходшпся. Это следует нз крнтерия Коши сходимостн рядов и неравенства И+1 и+р и+р ~ ! ил + ог, ~ ~,,' ~ ил ) + ~г ~ ол!. л — — ~ л=п Й=п Теорема 17. Если ряды ,эг и„и ~~.'г о„ у-г (35.50) абсолютно сходятся„гпо ряд, полученныи из вссеозможных попарных произведений и„о членов этих рядов, расггюложенных в произвольнолг порядке, также абсолютно скодится. Если сулглга этого ряда равна з, а сулглгы рядов (35.50) равны аютветственно з' и з", т. е.
~ гг„=-з',,~ о„==з", у= г пю з=-з 3 . (35.51) До к а з а тел ь с т во. Составим следующую таблицу попарных произведений членов рядов (35.50). 8а.б. Лбсоамгно сходяскаега рада> Табачка 6 иаоа иаэ» а а, аааа ааол и,ар, аи'с» Составим из всех элементов этой таблипы какой-либо ряд (35.52) н пока>кем, что он абсолютно сходится. В силу абсолютной сходнмости рядов (35.50) суммы з* = ~а (сс„( и э'а =- ~'., ( о„( и=! а=-! конечны.
Рассмотрим частичные суммы э„ряда, составленного из абсолютных величин ряда (35.52), т. е. ряда !и„,о.,~+~па„оа„~+...+~и„,о„~)+ ... (35.53) Имеем за = ) с'п,оа,~ 1-(сса,оп,(+" + ~ссааоаа! .Ч, <(~и„, (+(и„,(+ ...+~па„~)()о,„,~+~о.„~+ ... +~о„,,!) < э*э*'. Таким образом, частичные суммы з„ряда (35.53) ограничены в совокупности, и, значит, ряд (35.53) сходится, т. е. ряд (35.52) абсолютно сходится. Для доказательства формулы (35.51) воспользуемся тем, что сумма ряда (35.52) в силу теоремы 14 не зависит от порядка его членов, и расположим их наиболее удобным для нас спосоГюзс.
Именно занумеруем произведения иао„, в порядке, показанном на нижесле- ф 35. чиглопие олби дующей таблице, где на месте каждого произведения табл. 6 указан его порядковый номер: В результате получим ряд и1о,+иго,+и,о,+и,о, +....
(35.54) Обозначая через з„и а„частичные суммы рядов (35.50), для частичных сумм а,и, и 1, 2, ..., ряда (35.54), очевидно, получим (35.55) ал~ = зла« Но 1нп з„' = з', 1нп з„" = а", 1пп а,и = з, а -~о: И,Ы л ю поэтому, переходя к пределу в равенстве (35.55) прн и-1. оо, пол»:- чим равенство (35.51). Теорема доказана. Теоремы этого пункта показывают„ что свойства абсолютно схоцюпнхся рядов во многом похожи на свойства конечных сумм: величина суммы такого ряда не зависит от порядка слагаемых, абсолютно сходящиеся ряды можно перемножать почленно и т.
п. В следующем пункте будет доказано, что для сходящихся рядов, не сходящихся абсолютно, эти свойства не име|от места. 3 а м е ч а н и е. В заключение этого пункта подчеркнем, что, когда члены ряда комплексные или вещественные, но меняющие знак, вопрос о сходимостн этого ряда нельзя решить только с помощью определения порядка убывания л-го члена. Например, и-е члены рядов ОО л 1 «! имеют одияакавый порядок при и — ~ со, однако первый рядрасходится, а второй сходится. бб.б.
Абгол!этно гходяи!иегр ряда Более того, нетрудно привести пример двух рядов „~'и„и ч ~! о„, и-е члены которых эквивалентны: л ! и„— о„, и=1, 2, ..., из которых один сходится, а другой расходится. В качестве таких рядов можно взять, например, ряд с а-и членом ( — 1) "+ и„= и ряд с а-м членом (я + 1) 1и (п + !) С одной стороны, здесь и„— о„, а=1,2,..., ибо ! + +!) ( — !)"+' п — 1+ (и+!) )в(л+ 1) (а + 1) )п (и гы и потому С другой стороны, ряд ~; и„есть ряд вида (35.33). поюоЮ1=! му он сходится. Ряд же ~!о„расходится.
В самом деле, если бы л=! он сходился, то сходился бы и ряд ! э (о„— и„)=~ ;,аи, (~ + 1) 1~ (» + 1) г. е. ряд (35.26), который, как мы видели, расходится. Было бы ошибкой, однако, считать, что метод выделеш!я главной части годится лишь в случае вещественных рядов, члены которых имеют один н тот >ке знак. Метод выделения главной части может с успехом применяться для выяснения сходимости любых рядов. 4 зд Числовые рлдн Суть этого метода в рассматриваемом случае основана на следующем замечании: пусть дан ряд 2' и .
Если представить его члены в виде л-1 и„=- гл + гр„, где ряд ~'„гел сходится, то ряд ~' ил сходится и расхол 1 й!" дится одновременно с рядом ~ о„(почему)). В силу этого для исслел ! дования сходимостп ряда 2', и„целесообразно попытаться предстал=! /1т вить его члены в виде и„= гл + 2р„, так чтобы 2р„= О ~ — „~ при а)! . л Тогда поскольку ряд ~' шл сходится (н даже абсолютно), то сходил=! мость данного ряда сводится к исследованию сходимостп ряда 2' г„. «=! Э!от прием, конечно, целесообразен в том случае, если получив- шийсЯ РЯд 2„'ол пРоще поддаетсЯ исследованию на сходимость, чем л 1 данный ряд (ср. с аналогичным исследованием сходпмости интегралов в п.
34.4). ( — Цл л» + 1и' л Например, для ряда с общим членом и„= л»!и и ( 1)л (и л п=2, 3, ..., беря о„=- —, а шл= —, получаем, что ряд (ил л» ~, ил сходится, ибо ряд из главных частей ~~2 ьл сходится по л 2 л 2 признаку Лейбница, а для «остатков» имеем ш„=О( — 2), л2 откуда следует абсолютная сходил!ость ряда ч~", и! .
л 2 36,7, Сходящиеся ряды, не сходящиеся абсолютно Признак Дирихле. Если ряд сходится, но не абсолютно, то, как ниже будет показано, уже нельзя утверждать, что, переставив его члены в другом порядке, получим сходящийся к той же сумме ряд. Парадокс в конце и. 35.5 и объясняется этим обстоятельством: получившийся там ряд (35.4Ц отличается порядком членов Зо,г Скоско!сесе ряды, не сходящиеся обсе.иосси. /!Сияния Дирикяе Звт от данного сходящегося, по не абсолютно, ряда (35.38)„п потому нельзя было утверждать, что его сумма также равная. Более того, получившееся противоречие показывает, что это заведомо не так. Итак, сумма ряда зависит от порядка слагаемых, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
