Кудрявцев Л.Д. - Математический анализ (1077055), страница 87
Текст из файла (страница 87)
З6.2 Рпоноиернпя сходи.яое>ь иоеяедооигеяиностед и дядоо Б27 и так как ряд ~ ~ сходится, то по признаку Вейерштрасса н=! ряд (36.28) равномерно сходится на всей вещественной оси. Метод, примененный для исследования равномерной сходимости ряда (36.28) (исследования на экстремум модуля общего члена илн его мажоранты методами дифференпиального исчисления), является достаточно общим и часто применяется на практикс. Этим методом можно было бы исследовать н равиохгерну>о сходимость ряда (36.25), однако примененный выше метод для исследования этого ряда зна.
чительно быстрее приводит к цели. 4. Рассмотрим ряд ! о+! (36.29) н=-! По признаку Лейбница (см. п. 35.6) этот ряд сходится при любом вещественном х и, как было отмечено там же, остаток ряда оценивается первым своим членом ! ! ~ен(х)! ( ., ( —, Из эп>го следует, что ео (х) ~ О при — оо и, х < + оо, т.
е, ряд (36.29) равномерно сходится на всей ве>цествепной оси. Покажел>, что этот ряд во всех точках не сходится абсолютно. Действительно, для любого к существует такое натуральное л„, что х' л для всех л . и„, поэтому ! яя+ „> >,! для всех л ° и„. ее А так как ряд ~ .- расходится, то в силу признака сравнения ряд ,и (36.29) абсолютно не сходится. 3 а м е ч а и и е. Г)ризван Вейерштрасса дает лишь достаточ- ное условие равномерной сходимости ряда, а отнюдь не необходимое. Например, ниже будет доказано, что ряд н=! и Зи1 равномерно сходится на отрезке ~ — —, — — ) (см. пример после те- 2 ' 2 оремы 5). Однако, каков бы нн был числовой ряд ~ сг„,нз вен.
! В ле. Фггнкяпонпльнне погледовпгельнпгтп п рядн 1ьгп пхг и За равенства 1 — — ~ < о„, п =- 1, 2, ..., †- < х .< †" следует, что и гьгп пл! г гпах (' ~ = — < апл и, следовательно, ряд ~~'., а„расходитп ! — — л) ьгп пл ся.
Поэтому в случае и„(х) = не существуег сходящегося числового ряда (36.22). г(окажег! теперь достаточный признак равномерной сходимости, применимый в отличие от признака Вейерштрасса и к не абсолютно сходящимся рядам. Теорема 5 (призиак Дирихле). Иггсгггь дан ряд ~~'„, а„(х) 6„(х), П вЂ” — ! (36.30) в которвл! 4ункг(иг! а„(х) и Ь„(х), и = 1, 2,..., определены на лгножестве Е и гггаксгт, гипс !) последовательносгпь (ап(х)) монотонно дбываегп и равнолгерно стремится к нрмо на лгнсжестве Е; 2) ггоследсвапгельность частичных срлгм В„(х), и = 1, 2,..., ряда Д, 'Ь„(х) ! п+г ~ бь(х) = ~В„ьп(х) — В, ! (х)1 < 3Воь («Я +~В„г(х)~ < 2В !! и для всех х -'- Е, всех и = 2, 3, ..., и всех целых р .я- О. Из условия же 1 теоремы следует, что для любого фиксироване ного е ) 0 существует такой номер и, что 0 < а„(х) С вЂ” для всех «г- Е н всех и > и,.
Теперь, применяя неравенство Абеля (см, п. 35.!), получим, ! и+о ~г аь(х) Ьь (х) (2Ва„(х) <.е ь=п ограничена на множеспгве Е. Тоеда ряд (36.30) равномерно сходтпся на множестве Е. Д о к а з а т ел ь с т в о. В силу условия 2 теоремы существует такое В О, что ~В„(х)~ «В для всех х( Е и всех и = 1, 2,, и поэтом ! 86.8 Сводсгпп рппнолерпо сяодяп)пхся рядов дла всех х ( Е, всех и > иа и всех целых Р йь О. Это и доказывает равномерную сходнмость ряда (36.30). Теорема доказана.
В качесгве примера применения признака Дирихле рассмотрим ряд 5!П пя ° йм и п=1 Согласно этому признаку, этот ряд равномерно сходится на любом отрезке, це содержащем точек вида 2ящ, ьч = О, -р1, +2, .... ! Действительно, последовательность а„= —, и = 1, 2, ..., в данном случае является числовой последовательностью, она монотонно убывает и стремится к нулю (а значит, и равномерно стремится к нулю), а сумма ! з(п йх <— «=! мп —, 2 (см.
п. 35.7), т. е. ограничены на указанном отрезке, У п р а ж н е н н е 3, Исследовать скоднмость, абсолютну|о сходнмость н равномерную сходямость рядов ~~у~ (1 — «) л", и-О и=- ! 36.3. Свойства равномерно сходящихся рядов и последовательностей Мы видели, что сумма сходящегося ряда непрерывных функций, вообще говоря, не является непрерывной функцией.
Ни>кеследуюц!ая теорема дает достаточные условия непрерывности суммы ряда. Теорема 6. Если функции и„(х), и = 1, 2, ..., непрерывны на л!ножшивс Е~Епп! и ряд Х и„(х) «! Здесь, как н везде, где не оговорено что-либо другое, мм рассматрнваем комплекснозвачнме функннн и (я). О понятнн непрерывности для таках бункннй см. в в. 23.2. Зб Фцняцнонолпяыг поолодопо>елояосн> и ряды равнолмрно сходится на Е, то его сил>л>а з(х) =,~ и„(х) и=! »шкже непрерывна на Е. До к аз а тел ь с т во. Выберем аякучо-либо точку х ~Е и кока>кем, что функция з(х) непрерывна в этой точке.
Заф»ксируем какое-либо е ыО. Пусть и з„(х) = ло и„(х), х ~ Е. й-> Согласно условию теоремы„ з„(х) — з(х) на Е, поэтому существует такоб номер и„, что [з(х)-з,(х) ! (я (36,31) Для'Всех х ~ Е и Всех пляпе и, В частности йля пляпе. ФУнкция з„(х) как сумма конечнопо числа непрерывных на Е функния пе и„(х), А = 1, 2„..„п, непрерывна в точке хо ~ Е. Поэтому су~пествует б = б(-')..об, такое, что для всех точек х~Е, удовлетво. ря>ощих условию р(х, х,)(б, [ з„, (х) — з„(х,) [ ( —,. (36.32) Теперь, замечая, что з(х) — з(х,).
[з(х) — з (х)]+ [з (х) — з (х,)[+ + [з„(хо) — з(хо)[ что и доказывает непрерывность функции з(х) а точке х„ Теорема показана. (рис. 116), нз неравенств (36 31) и (36 32) получим при р (х. х„) ( б и х~Е [з (х) — з(хо)1([з(х) — зп (х) [+ [зп (х) — зп ("о)[+ [' (хо) — з(хо) [( о е е ( — „'+ — и+ — =е, э 3 86З. Сводссвп Ппвломепно сходяиСпкся Рядов Утвержденгио теоремы можно придать вид !1ш ~' и„(х)= йшз(х)=-в(хв)=- Х и„(хо). к «,л С к с, «=1 И так как каждая функция ил(х), и == 1. 2, ..., непрерывна в точке х ~ Е, то и„(х,) = 1йп ил(х), поэтому к к, !1 п1 ~~.", ив (х) = ~~"„! 1ш ил (х).
х к«л 1 л= ! с-к« Ф ЕГх)+Е ! ! ! ей! "я сх) е(х)-е ! - --с- 1 1 1 ! 1 Рис. !!о Таким образом, в условиях теоремы 6 предел суммы ряда равен сумме пределов, т. е., как говорят, законен пачленный переход к пределу в рассматриваемом ряде. Сформулируем теорему 6 для последовательностей. Теорема 6'. Если функции г"„ и = 1, 2, ..., непрерывны на лгнсхлсеспиге Е~ Е" и г'„' ! на Е, пю ! непрерывна на Е. Это означает, что для любой точки хог- Е !пи!!ш )л(к) =-!1п1 11ш 1„(х), л х х« х «,сс ° т.
е. пределы по и и по х можно переставлять. Действительно, в силу теоремы 6' 1пп йшгл(х)= 11гпг(х)=((х„)= х «кл «« х- «"к ° =!пп 7'„(хв) — )пп Нгп г„(х). В «э и ся х х« и' Вб. Фрнкг1ионпллпме последопптельностп и ряды Задача 18 (теорема Дини). Пусть функции /а, и = 1, 2, ..., непрерыа игл и, монотонно убывая (нли монотонно возрастая), стремятся иа ограниченном замкнутом множестае и г: да к функции Доказать, что, для того чтобы фуииция ! была непрерывной, необходимо и достаточно, чтобы последовательность ()а) сходилась на множестве с разномерно. Перефразироиать этот результат для рядов.
(36.34) то ) з(х)г)х = ~, ~ и„(!) с(т', а < х (Ь. (36.36) 3 а=1 а Если эту формулу переписать в виде к ! аа к ~ ~,'ь~~ и„(1) д)==,'~~ ()и„Я сУ, а а=! л 1а то видно, что опа означает законность в условиях теоремы 6 псчлен« ного интегрирования ряда. Д о к а з а тел ь с т в о. В силу равномерной сходимости ряда (36.33), согласно теореме 6, функция ь(х) (см. (36.35)) непрерывна иа отрезке (а, Н и потому иптегрируема иа лк1боы отрезке (а, х), а <х<6.
Пвкажеь1, что ряд (36.34) равномерно иа отрезке (а, б! сходится к функции Х ) з(!) Й. а (36.37) Теперь рассмотрим вопросы почлеииого интегрирования и диф- ференцирования рядов. Поскольку производная и дифференциал определялись только в вещественной области, то, начиная отсюда, до конца этого параграфа, будем считать, что все рассматриваемые функции определены иа веществеииых промежутках и принимают вещественные значения. Теорема 7.
Пусть функции и„(х), п=), 2, ..., непрерывньг на отрезке (а, б! и ряд ~ и„(х) (36.33) а ! равномерно сходгапся на (а, б), гггогда ряд ~~~Р ) и„(г') ду, а 1 а также раенолгерно сходится на (а, б), н если з(х) = ~ и„(х), (36.35) а.= 1 333 ЗВ.З. Сао«игво равномерно сходя«««ихгя рядов Пусть и з„(х) =- ~ ия(х) и г„(х) =-з(х) — за(х). Ф-~ Тогда для любого х(-(и, Ь] имеем ! « а к к "г 1* В«- х] «.« « =.! « «-][я . ) [= а л 1а а а я«ьн к « к [ 3 (!) г(! — ] за (!) д! < [ ] 3 (!) — з„(!) ] И вЂ”-- ]а а а к к =, [ ]га(!)]сХ! < зпр]г„(!)] [ д! < а са М =: (х — а)знр]га(!)] -.. (д — а)зпр]г„(х)]. (3638) !а, «] !а, ь! Послеловательность внр] г„(х)], п =- 1, 2, ..., является числовой !а, ~«1 последовательностью.
В силу равномерной сходимости ряда (36.33! Ип1 впр ]га(х)] —.— 0 а [а. Ь! (см. п, 36.2), поэгому иэ неравенства (36.38), согласно признаку Вейерштрасса для равномерной сходнмости последовательности, следует, что последовательность частичных сумм ряда (36.34) равномерно сходится к функции (36.37), а это и означает равномерную сходимость ряда (36.34) к функнии (36.37). Теорема и, в частности, формула (36.36) доказаны. Перефразипуем полученный результат для последовательностей.
Теорема 7. Если последовательность непрерывных на отрезке !а, б] ф!!нк!]ий7„, п = 1, 2,..., рпвномерно ни зпюм отрезке сходится кфвнкции 7, то к к ~7„(!)д! — ~7(!)д! на [а, Ь], а а в чаглпности, х к 11п~ [ ] (!) П(=- [ [11гп 7„(!)~ !! а а а 534 Э аа Фанкянонлллние лооледолотелоноггн и роды Теорема 8. 77р!и!и функции ин(х), и = 1, 2,..., непрерывно дифференцируол!ы ни оо!ре!!ке !и, Ь1 и ряд, составленный из их произ- водных ~~~~~ и„(х), (36.39) равномерно сходился на огпрезке 1а, Ы. Тогда, если ряд ~ ил (х) л=-! сходится хоп!я бы в одной пинке с ~ ~1а, Ь1, пго он сходится равномерно на всем отрезке 1а, Ы, его сумма з(х) = ~ и„(х) л ! (36.40) непрерывно дифгреренцируема и а'(х)= ~ и, (х), (36.41) л ! Если эту формулу переписать в виде то вилно, что опа означает законность при сдеЛанных предполо.
жепиях почленного диф!реренцирования ряда. До к аз атал ь ст во. Пусть а (х) = „~~! и„(х), (36.42) /3= ! ~ о(!)й(.=- ~', ~ и„'(!)й!'=- 2~ 1ил(х) — ил(с)1, а ч,: х < Ь. (36.43) с л=! ) л — -! По теореме 7 ряд ~,' (и„(х) — и„(с)1, а<х< Ь, л (36.44) в силу равномерной сходимости этого ряда его можно почленно интегрировать: Збд Гвойесво ровноиерно сиодив555иси Возов схОдится. САОдится ио условию тсорел5ы и р5!д ии (с), л=! (36.45) поэтому сходится и сумма рядов (36.44) и (36.45), т. е. ряд ~ ии(х), а ( х -:.
Ь. (36.46) и ! Поэтому (36.43) можно иереиисагь в виде ~ о (!) е[! = .йи и„(х) — ~ ии(с), и=! и=- ! или, что то же (см. (36.40)), в виде ) о(!) й! =з(х) — з(с). (36.4?) Ряд,й„' ~ и„(!) 5[! равномерно сходится иа отрезке [а, Ь[ (см. теол=! с рему 7), а ряд ~~з~ и„(с) — числовой ряд, ие5этоллу и их сумма, и=! т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
