Кудрявцев Л.Д. - Математический анализ (1077055), страница 89
Текст из файла (страница 89)
"ь Поэтому, каково бы ни было гФ О, существует такой номер ?т„что при /г)я, т. е. ! а, г" я ~ ) 1. Таким образом, не выполняется необходимое условие сходимости ряда — стремление к нулю л-го члена, поэтому при данном гни 0 ряд расходится, а так как г=Д 0 было п(зоизвольно, то это означает, ?т == О. Г1усть теперь Оя. Р< +оо, покажем, по ряд (37.4) при всяком г, таком, что (г) с' —, ! Р сходится. Выберем е .> 0 так, чтобы )г)(— Р+в ! ч! Для этого достаточно взять в < 1 — - — Р. 4 аг Сгененнме ряди тогда число д = (р + е) 1е ~ (1. Согласно свойству верхнего преде- ла, существует такой номер Лм что при и м Л, У'~а„! (р+е, поэтом> при и > Л', ен!~~(р 1 е)л(е(л .4е О(д(1 и по признаку сравнения ряд (37.4) при рассматриваемом г абсол!отно, а значит, и просто сходится.
Покажем теперь, что ряд (37.4) прн всяком а, таком, что 1г1) —, ! Р' расходится. Выберем е) О так, чтобы (г( > —; тогда1г((р-е))1. Согласно свойству верхнего предела (см. теорему 1О и. 3.8), существует поцпоследовательность и,, Ф = 1, 2,..., натуралы!ых чисел, такая, что у')а„„~ >р — е, (с=.1, 2, Из э~ого следует, по ~ан е"»~ >(р — е)"»(г("»)~1, т. е.
в этол! случае не выполняется необходимое условие сходилюсти ряда — стремление к кулю его и-го члена, и поэтому для рассматриваемого г ряд (37.4) расходится. ! Таким образом, ряд (37.4) сходится, если 1а((-, и расходится, Р 1 1 если (г ~) —, а это и означает, что (с = —. Р' Р Теорема доказана. У при миеиил 1.
Оиредолить радиуса сходимоети рядов Ле г", н ! и 87 г. Лна ып««е! «ые Ч!ун«чыы злз 37.2. Аналитические функции Определение 3. Функ!(сся /(г) наяынаепсся аналсстссчкой н точке г„если суисесспнует псакое Я ) О, что и круге 1г — с»1( ст' она предсспанима степенньиы рядом вида (37.1), т. е. суи(еадвусосп такие колиисексные числа и„, и 1, 2, ..., что )(г)=- ~ а„(г — г,)", сг — г»~()т. (37.10) «- ы Сумма, разность и произведение аналитических в точке г, функ цнй сиона является аналитической в этой точке функцией (почемуй). Лемма. Если с'«(г) = ~ а» (г — га)» »=-«+! — остаток сгодяи<ееося ряда 137.10), то г„(г) = О ((г — г„)ы ь!) при г-«г (37. 11) сс, значигп, г„(г)=о((г — г,у') при г- г,. Йоказательство.
Если 1г — г»1(Д, то (37.12) г„(г) = (г — г,)«+' ~~'.с а„(г — г,)»-"- ', с «+! и ряд, получившийся после вынесения множителя (г-г,)«+с, сходится. Поэтому функция !р(г), ч~~~ а (г г )»-« — ! !»+! 1ч (г)1< сИ, если сг — гыс(г. 1!осколькУ г„(г) = (г — г»)"+ ' су(г), то ~гы(г)~-=)г — г,(«+')сУ(г)) < М~ г — г„1«+! как сумма степенного рида, непрерывна в круге ~ г — г„) ( сс. Если теперь 0( г( сс!«, то функции ср(г), будучи непрерывной на замкнутом круге !г — г,[ < г, будет н ограничена ца пем, т. е. найде!си !акая постоянная М ь О, ч В З7 бтееенние ряди е44 если )г — го~ < г, а это и означает (37,11). Усиовпе (37.12) непосредственно следует из (37.11).
Лемма доказана. Теорема 4. Лредсогавление аналитической в точке г, г)г1гнкцгги 1(г) в виде сгпеггеггного ряда (37.!О) единственно, т. е. если ~~.", а„(г — г,)я= .сг Ь„(г — го)", ! г — го! е Й, Л)0, (37.13) о=о =о п=1, 2, а„=- Ь„, Доказательство. Из (37.13) в силу (37.11) следует, что ао+ а, (г — г,) + ... + а„(г — г,)я+ 0 ((г — го)я+') = = Ь, + Ь, (г — го)+ ... + Ь„(г — г,)" + 0 ((г — г,)" ьг). (37.14) а«+а«+, (г — го)+ - + 0((г — го)"+' «) = =Ь«+Ь,+~(г — го)+ - +0((г — го)"+' *) откуда при г- г, следует, что а«=Ь«.
Теорема доказана (ср. с п. 13.2). 37.3. Вещественные аналитические функции В дальнейгпем в этом параграфе везде, где пе оговорено противное, будем предполагать, что коэффициенты всех рассматриваемых рядов вещественны и что переменные г н го также вещественны (в этом случае будем нх обозначать х и х,). Правда, все рассматриваемые ниже свойства степенных рядов переносятся в определенном смысле и на степенные ряды в комплексной области, однако для осуществления этого нам пришлось бы обобщить поггятгге производной и интеграла па функции комплексного аргумента, а это не входит в задачу настоящего курса.
Итак, мы будем рассматривать ряды ~г а„(х — х,)", л о (37.15) где ао, гг=1 2, ..., х и хо — вещественны. Переходя в этом равенстве к пределу при г- г„получим а, = Ь . Пусть уже доказано, что аг —— Ьр 1' = О, 1, ..., я — 1. Тогда, уничтожая одинаковые члены в обеих частях равенства (37.14) и деля обе части на (г — г„)', получим 87,8.
Веацеетеенные оналнгичеекне функции Если й †ради сходнмостн ряда Х а„(е — хо), где г †комп«=-о лексное число, т. е. ряда с теми же коэффициентами, что и у ряда (37.15), но рассматрнваеьюго в комплексной области, то, очевидно, ряд (37.15) сходится, если ! х — хо1(Я, и расходится, если 1х — хо! >И. В этом случае )г по-прежнему называется радиусом схсдимоопи, а интервал (х„— Я, хо+ К) — инпмрвалом сходилюспги рида (37.15). Теорема д.
Если й ) Π— радиус сходилюсти спмпенного ряда 1(х)= ~е а„(х — х,)", «о (37.16) то 1) функция 1 илгеет в интервале (хо — Я, хо+ )с) производные всех порндкго, которые находятся из ряди (37.!6) почленным дифферснциронаниели 2) для любого 1~(хо — 7(з хо+Я) Х н( — .)"-'. « (37.16) и ряда, получающегося нз ряда (37.16) почленным интегрированием, т. е. ряда (37.17). Заметам, что по правилу Лопнталя — !пл .
1 !пп 1п ~/'п = !нп — = Рйп — = О, «-«« «+««+:« и поэтому Ип1 у и 1. «С« / ~Н)д =Х .".;"', (37.17) «е «о т. е. внутри интервала сходимосгпи степенной ряд лгожно почленно интегрировать; 3) степенные рнды, получающиеся из ряда (37.16) в реэульпюте почлснного дифференцирыания или интегрирован я, имегот пют вке радиус сходимости, что и ряд (37.16). )хо к аз атал ьст во. Найдем раднусы сходнмостн ряда, получающегося нз ряда (37.16) почленным днффереицнрованпем, т. е. ряда 6 ЗУ. Сгег>еннгае ряды Аиалогичггс Иш >гп+ 1 = !. а Учитывая это и применяя лемму 2 и 3 п. 3.8, получим Игп е !пан! = Ип> ьгг> Иш >Г »а„1 = —,, а -а а а:о г Иш ф/ ! — "" ! = Игп, 1цп ьг!аа! = —.
а-а ! + ! а-аы >/г>+> а-а а Заметим, что ряд (37!8) и ряд, получающийся из него умножением на (х — х,), а также ряд (37.17) и ряд, получаюгцийся из него вынесенном за скобку множителя (! — х„), имеют соответственно одни и те же радиусы сходнмости. Поэтому согласно формуле Коши — Лдамара и сделаннолгу замечашпо радиусы сходи- мости рядов (37.16), (37.17) и (37.! 8) совпадают. Утверждение 2 тео. ремы теперь непосредствсшго следует из того факта, что всякий степенной ряд равномерно сходится иа всяком отрезке, целиком лежащем и ипп>реале сходимостн (см.
теорему 2), и соответству>ощнх теорем о дифференцируемости и интегрируемости рядов (см. п. 36.3). Теорема доказана. Теорема 6. Еслгг г)>ункг»г>л / оналилгическпл а точке х„т. е. предсп>алима н окреопнос>пи этой точки рядом (37.16) с радиусом сходгыюсти Я) О, то 1'а> (ке) л — 6 а и> >и. с.
1(х) =, ' (х — к,)". )га> (хе! а- 0 (37.20) Л о к а э а т е л ь с т в о. Дифференцируя п раз обе части рассветна (37.!6), получим (см. теорему 5) !га> (х) = и (и — 1) ... 2 1 а„+ (и+ 1) л ... 2а,+> (х — х„)-»- -1-(и-1-2)(г>+ 1) ... Заа ь,(х — ха)'-»- .... Отс>ода прн х = х, и получается формула (37.!9). 3аметим, что нз доказанной теоремы следует еще раз свойство единственности разложения функции в степенной ряд»правда, >щ этот раэ в силу сделанных ограш>чений >ольки в вещее>венной об>- ласти, ср. с и. 37.2).
874. Рннлпженне функчнй н степенные рядн 37А. Разложение функций в степенные ряды. Различные способы записи остаточного члена формулы Тейлора Определение 4. Пути> фугскция г определена в некоторой окрестноспш точки х, и имееп! в втой и!яке производные всех порядков. Тогда ряд )!л! (х ) ! и! — (» — хя)н »со (37,21) нааьаается рядил! Тейлора 4цнкции / в точке хсе Как мы знаем„ всякая аналитическая в точке х, функция бесконечно дифференцнруема в некоторой окрестности этой точки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
