Кудрявцев Л.Д. - Математический анализ (1077055), страница 84
Текст из файла (страница 84)
е. коммутативный закон сложения не имеет места для неабсолютно сходящихся рядов. Если в данном ряде сгруппировать каким-либо образом его члены, не нарушая их порядка, и сложить, то последовательность частичных сумм получившегося ряда будет являться подпоследовательностью частичных сумм исходного ряда. Поэтому если исходный ряд сходится,то будет сходиться и вновь полученный, причем суммы обоих рядов будут одинаковы. Однако если данный ряд расходится, то второй ряд может сходиться.
Наприь>ер, ряд 1 — 1+1 — !+1 — 1+... расходится. Объединив же попарно его члены (1 — 1)+ (1 — 1)+(1 — 1)+..., получим сходящийся ряд. Таким образом, вообще для рядов неверен и ассоциативный закон сложения. Рассмотрим некоторые свойства сходящихся, но не абсолютно, рядов с вещественнымп членами. Пусть дан ряд Ъ" асс я=! Обозначим через и',, и',..., а'„, ...
его неотрицательные члены: и'„)~0, а через — й, — и,., — и,я ... егоотрицательные члены: а„)0, взятые в том же порядке, в каком они расположены в ряде (35.56). Рассмотрим ряды (35.57) о ы ~~', и„. (35.58) Один из них, вообще говоря, может превратиться в конечную сумму. Лемма !. Если ряд (35.56) сходится, но не абсол>атно, то оба ряда (35.57) и (35.58) расхода>пся.
Д о к а з а тел ь с т во. Пусть ряд (35.56) сходится, т. е. !пп з„.—.—. з, (35,59) о-еы где з„— его частичные суммы, и пусть один из рядов (35.57) илн (35.58) сходится, например, ряд (35.57). Обозцачим его частичные З Зд уввлсвыв ряды суммы через з',в, т = 1, 2, ..., а частичные суммы ряда (35.58)— через зя, А = 1, 2,..., В силу предположенной сходимости ряда (35.67 1ип з' =з'(+ сс. (35.6О) Возможны два случая, либо ряд (35.58) сходится, либо он расходится.
Если он сходится и !ивз„= э, (35.61) то в силу того, что члены рядов (35.57) и (35.58) неотрицательны, з' <з', т=-.1, 2,..., (35.62) з,<з, й=!, 2,.... Всякая частнчная сумма з„ряда (35.56) может быть записана в влде ав=зт — эв, и=1, 2, (35.63) где и и А зависят, конечно, от п. Если обозначить через з„частичную сумму ряда ~ч'„(и„), (35.64) «=-1 то в силу формулы (35.63) з„=з' +эя, поэтому, согласно (35.62), зв~(з + з ' т.
е. частичные суммы ряда (35.64) ограничены, и, значит, ряд (35.64) сходится. Следовательно, ряд (35.56) абсолютно сходит.- ся, что противоречит условию леммы. Рассмотрим вторукв возможность, т. е. случай, когда ряд (35.57) сходится, а ряд (35.58) расходится; тогда (вючемуу) 11п1 э = + с. (35.65) В этом случае ряд (35.58) заведомо не превращается в конечную сумму, причем при и- сс и й -сс. Всилуже условия (35.60) последовательность (зв,) сходится к конечному пределу, поэтому, переходя в формуле (35.63) к пределу при и-в-, в силу (35.59) и (35.65) получим в левой части равенства число з, а в правой — символ — сс.
Полученное противоречие показывает, что и второй случай невозможен. Итак, ни один пз рядов (35.57) и (35.58) ие может сходиться в предположениях леммы, значит, оба они расходятся. Лемма доказана. дд7. Сходяи<оеся ряды, не сходящиеся обсояюсно.
Прогнан дорохле авз Теорема 18 (Риман). Если ряд (35,56) сходится, но не абсолютно, то, какоао бы ни было число А, можно так переспсалип!о члены этого ряда, что сумма получинсиегося рядо будет раянод А Д о к а з а т е л ь с т в о. Снова рассмотрим ряды (35.57) и (35.58). Согласно лемме, и+=+ею, (35.66) ы-! ~е ие =+оо. е=! (35.67) Пусть, для определенности, А>~0. Выберем число пс так. чтобы и;+и;+...
+илс)А и чтобы (при и ) 1) и', +и'+... +и„', (Л. (35.69) и'+... +и+ — и — ...— и (А ! "' л, ! "' л, и чтобы (при пе 1) и++ ... +и,',, и,—., — и„,)~А. Существование такого номера и, доказывается исходя из (3.".67) аналогично сусцествованнк> номера и,. Далее, снова выберем подряд из ряда (35.57) члены до некоторого номера и, так, чтобы и'+... +и' — и —,.— и +и' +... +и' )Л лу ! л„лс+ ! (при п,)п,+1) и',+ ...
+ и", — и-,— ... — и„+ и„'+, + ... + и+, < А. Продолжая э!от пронесс дальше, получим ряд и++... +и,', — и; —... — и,, +и'„,+ ... +и,';— — и —.,— и +.... л,+! -' л, (35. 70) Существование номеров п„для которых выполняется условие (35.68), следуе~ из условия (35.66); для того чтобы при этом выполнялось и условие (35.69), надо взять наименьший из этих номеров и,. Далее, выберем из ряда (35.58) и, первых членов так, чтобы б ЗК Числовые ряды б)0 Для последовательности его частичных сумм эл„чл,~„„, вы+по ..., эл„„.„~, ..., й=:!, 2..., в силу построения выполняются неравенства в,)Л, эл„л«А,зл л >Л,..., причем отклонение от числа А каждой из указанных частичных сумм э„+л не превышает ее последнего члена: ла "«+1 ~А — вл+и ~ .
и~ (35.71) где через и~ обозначен член ряда (35.70) с номером а„+,, па+1 наверху у него в ряде (35.70) стоит индекс «+» или « — ». В силу сходпмостп исходного ряда (35.56) 1пт1 ил -.-.= О, л+ы и так как при й-е во номер члена и~ в ряде (35.56) также л»+~ стремится к оо, то 1нп и~ =:-О. ла+! Поэтому из (35.71) следует, что И гп эл +„=. А. (35.72) Бп -';л ля Эл ля Хл +л Ф' а+! «ч1 ачв а потому из (36.72) следует, что и 11 гп в„=- А. Теорема доказана. у и р а ж н е н и е 2. докаватгл что если ряд (35.56) сходится, но не абсолютно, то ыожно так переставить его ~лены, что ол будет расходимся (соответственно так, что его суыыа будет равна+со, а также и так, что онл будет равна — ы). Если теперь взять любую частичную сумму вл ряда (35.70), то в силу конструкции этого ряда всегда можно найти такой номер lг = й(п), что будет иметь место либо неравенство Эл Еп ~~эллывл +л » а+1 " лч ~ а+в' либо неравенство Зд т.
Сходки>нес л ркдм, не сходюциесл абсолютнс!. Признак Днрнхле 61! В заключение этого параграфа далям достаточный критерий для схолнмости числовых рядов, пригодный и лля рядов с комплекснымн числами. Предварительно рассмотрим одно преобразование сумм вида В=-а,Ь,+а„Ь,+...+алЬ„, (35.73) где а» Ь>, ! = 1, 2,..., и, — комплексные числа. Положим В, =- Ь» В„=. Ь,+ Ьм ..., В„= Ь,+ Ь„+...+ Ьсе тогда Ь, =В» Ье=в,— В» ..., Ь„=„— В~, В = а,В, + а, (В,— В!)+ ...
+ а„(„— В„!). Раскрывая скобки и группируя по-иовому члены, получим В = (а! — ае) В, +(ае — а,) В,+ ...+ (а„, — а„) В„>+ а„Все Таким образом, окончательно ~~~~а,Ь, = ~ (а,— а>л!) В>+ алВ„. (35.74) Это преобразование сумм вида (35.73) называется с>!>еобралованием Абелле', оно являетси в известном смысле аналогом интегрирования по частям.
Эта аналогия особенно бросается в глаза, если формулу (35.74) записать в виде л л-! ~~' а,. В, — В,, ) = (а„„— а, В,) — ~ (а,+! — а,) В,. ! 2 ! ! Докажем с помощью преобразования Абеля лемму. Лемма 2 (неравенство Абеля). Если и, > а,+, О, !'=.1, 2, ..., и — 1*в>, (35.75) ( Ь, + ...
+ Ь, ( < В, ! = 1, 2, ..., и, (35.76) то ! и ~л а>Ь, < Ва!. >-! «! !!. Лбсль (!802 — 1829) — норвежский мвтевспвк "> Следовательно, чнслв пп ! =- 1, 2, ..., и, — вс>цествснньь у ЗБ. уисльвые ряби зга Действительно, согласно условию (35.75), а,.— аге! > О, и поэтому в силу формулы (35.74) и условия (35.76) ! и — ! ~', агЬ,1< ~л (а,— а!+!)( Вг(+а„!В„! < г=! г=- ! ~ л — ! = В ~ ~ (а,.— а!+!) + а„= Вам г=-! Теорема !9 (прнзнак Дирихле).
Пусть дан ряд ~чР~ ал Ьл, (35.7?) и=! о!акой, что последоватегьноспгь (аи) монотонно убывает и стрелпипся к нулю, а последовательность частичных сумм (Ви) ряда чр Ь„ (35.78) ограничена, тогда ряд (35.77) сходится. Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу ограниченности последовательности (Вл) существует такое число В:: О, что ( В„~ лс В для всех и -= (, 2, .... Отсгода следует, что для любого п = 2, ... и любого пелого р > О ! и+я ~' Ь, =-~Ви+и — В„!~<2В.
!=л (35.79) Пусть задано а) О. Из условия !пиал=О следует сущестпо!! ванне такого номера и, что и ал ( —,„ для всех п ~~ пе. Теперь, применяя нсравенство Абеля к сумме и+и ~ а,Ьг, !=и где п ри и., и учитывая неравенства (35.?9) и (35.80), получим неравенство ! и+я ~ а,Ь,. (2Ва„(е, !=л опсуда, согласно критерию Коши, и следует, что ряд (35.77) сходится. Теорема доказана. дб,7. Сходни!неся ряды, не сходтниеся абсолютно.
Прианик Дирихле б13 В качестве примера рассмотрим ряд ~~ Яп!! а ! л (35.81) Прежде всего, еслн аФ 2пт, тл =-О. + 1, ~ 2, ..., то и л 2а!п — юп да а У, з1 н й а = У, ь=! 2 ь1п ~ сов ~)т — )'а соа ~1!+ 2 / <т соа — а сох ~л + 2а!ив 2 а 2аш —, 2 л+! а!и — аа!и 2 а 2 (35.82) а а!и 2 н поэтому ! ~,ог! ~<— 1 а е-! елп 2 (35.83) л=! где а„> а„+! ьО, положить Ь„=( — !)", то, очевидно, суммы Ь! (-...+6„, л=-1, 2, ..., ограничены и, значит, по признаку Дирихле ряд (35.83) сходится. У и р аж пение 3 Исследовать сьодииость н абсолютную сходниость следуююих рядов ! 1 1л + 1) 1п'(л + 1) н=! !! ! С другой стороны, последовательность 1-,-1 монотонно убывает и стремится н нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
