Кудрявцев Л.Д. - Математический анализ (1077055), страница 85
Текст из файла (страница 85)
Поэтому при аФ2пп! по признаку Дирихле ряд (35.81) сходится. При а = 2птп, и = О, ~'-1, -Е2, ..., все члены ряда (35.8!) равны нулю, и тем самым он также сходится. Заметим, что признак Лейбница (см. п. 35.5) следует из признака Дпрнхле. Действительно, если в ряде ~~'„; ( — 1)" а„„ 2. ~ (ы н" +1 ' и== ! у (и!а и' и=- ! ! (1а ) "" ( — 1)пн (2а — 1)г ( — 1)" (",/а — 1). ('-% 9, )'„( — — ! а — — ) и ! ! и+! 1О.
~~Уе =1п — . ута 11. т ()/а+ 1 — ~'н)п!а „-+ 1. „ — г )а (1+ сс и ) Пь:г В настоящем параграфе будут рассматриваться последователгднтстн н ряды, членами которых являя>тся некоторые, вообще говоря, комплекспозначные, функш!и; т. е. последовательности )п(х), а=- (,2,..., (Зб.! ) и= ! и =! 8. ~ и — — ! 7. т п=1 8. ~ и.=! у Зб. Фунта(напальные последоеательности и ряды 5 38. ФУНК((ИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТГЛЬНОГТИ И РЯДЬ( 36,1.
Сходимость функциональных последовательностей и рядов ЗВ 1. Сходнность д>ункноонольных нослсдовоысяьнос>яез и рядов и, соответственно, ряды (36.2) Прн каждом фнкспрованном значении аргумента х этн последовательностн и ряды, очевидно, представляют собой уже рассматрнвавшнеся числовые последовательностп н ряды. Пусть Š— некоторое множество элементов, в частности, множество точек прямой, плоскостн нлп вообще и-мерного пространства, и пусть (36.1) — последовательность функций, которые определены на множестве Е и значеннямн которых являются, вообще говоря, комплексные числа.
Определение 1. 11оследовательноспгь (36.! ) называется ограниченной на множестве Е, если суи(ествует гпакая постоянная Л1 ) О, что (1„(х)! ( Л1 для всех х~ Е и всех и = 1,2, .... (Иногда в этол> случае последовательность (36.1) называется также равномерно ограниченной.) Определенне 2. Последок>ас>гельность (36.1) называетсн монотонно убывающей (аюпи>е>пепи>сино, монотонно возрастающей) на лгножестве Е, если 1„+г (х) <1„(х) (пютветственно если /,+,(х) л. 1„(х)) для всех х ~ Е и всех п = 1, 2, .
Это определение, очевидно, предполагает, что функции 1„(х), п = 1, 2, ..., принимают вещественные значения. Определение 3. Последситгельность (36.1) называется сходящейся в точке*' хь 6 Е, если числсва'ч последовательность (1„(хь)) сходится. Псследовас>гельность (36.1) называется сходящейся на лгножестве Е, если она сходится в каждой тачке множества Е. Если 1пп )„(х) = ~ (х), х ~ Е, то говорят, чпго последснательностль (36.1) сходится к срункг(ии 1(х), х~ Е. Аналогичное определение можно дать и для ряда (36>.2). Определение 3, Ряд (36.2) называется сходящимся в точке х, ~ Е, если сходится числовой ряд )'„и„(х ).
в= > ьг Мы называем элементы множества Е гочнамн, яв д Зб. Функ>>ионольние последовательности и рвдь> Ряд (36.2) называется сходящимся на множестве Е, если он сходится в каждой точке эаюго множесви>а. Определение 4. Ряд (36.2) называется абсол>атно сходящимся на л>ножестве Е, если на множестве Е сходится ряд ,~ ~ ин(х)~.
и=! Подобно случаю числовых рядов сумма в„(х)= иь(х), а=1,2,. ь== ! называется и-й частичной с>>ммой ряда (36.2); предел частичных сумм сходни>егося на множестве Е ряда (36.2) называется его с»л>л>ой э(х): в(х)=- 1>п> в„(х). Ряд и„(х) (36.3) ь=ь+! называется и-м оса>аа>к»м ряда. Он сходится на Е тогда и только тогда, когда на Е сходится ряд (36.2). Если в этом случае сумму ряда (36.3) обозначить через г„(х), то в (х) =- в„(х)+ г„(х). Как и для числовых рядов„каждому функциональному ряду (ЗГ>.2) можно поставить в соответствие последовательность его частичных сумм ав(х)= иь(х), а=1, 2, ..., 'У ь=-! Г!ри этом каждая функциональная последовательность (36.1) окажется поставленной в соответствие некоторому ряду, для которого она будет последовательностью его частичных сумм. Члены этого ряда определяются однозначно: и,(х) == 1>(х), и„(х) = Г„ (х) †)в >(х), а= 2,..., Это обстоятельство дает возмо>кность перефразировать всякую теорему, доказанную для функциональных рядов, в соответствук>- гцую теорему для функциональных последовательностей, и наобо.
рот. Мы неоднократно будем использовать это обстоятельство. дб.!. Окодилость ди!нкчионаяьньск лосяедочаелсльностей и рядов 617 П р и м е р ы, 1. Пусть дан ряд л 1+г+ 2! + '-+ л! + '- ° (36.4) г — комплексное число. Исследуем его абсолютную сходимость, т. е. сходимость ряда с л-м членом )г!" и =- —. л л Применяя признак Даламбера, получим ! л+! ! ° !!е! л ь !ил! л ьл+! 1пп — — — - 1!и! — =О при любом комплексном г. Таким образом, ряд (36.4) абсолютно, а значит, и просто сходится при любом комплексном г, или, как обычно говорят, на всей комплексной плоскости.
2. 1!зучим сходимость ряда к~ к' х~+~ „кь+ "+ „,,+..., (3 к — ве!цественное число. Этот ряд сходится при всех х. Действительно, если гчаО, то мы имеем геометрическую прогрессию со знаменателем д = —... О<4<1. ! Рис. !!8 И в этом случае сумма а (х) ряда (36.5) легко вычисляется: Б (х) =- = 1+ кь. кс 1 ! —— 1+ кч Если же к =- О, то.все члены ряда (36.5) равны нулю, поэтому он, очевидно, сходится и з(О) =- О. Таким образом, а(х) = !'О дляг=--О, 11+хь дляхФО. График функции з(х) иаображен на рис. 113. Как видно, несмотря иа то, что все члены ряда (36.5) являотся непрерывнымн функциями и ряд сходится во всех точках ве- У Вб Функциональные носледоеительности и рады ыв щественной оси, его сумма является разрывной функцией.
Следовательно, в случае сходящихся рядов (36.2), членами которых являются непрерывные вещественные функции ин(х), их сумма з(х), гообше говоря, не является непрерывной, т. е. Ищ з (х) (= з(хо) = и„(х„), к х, н=! или, что то же, 1гп! . и„(х) Ф У !1п! и„(х). к хр„ и=! х к Таким образом, предел суммы бесконечного числа слагаемых необязатслыю равен сумлге их пределов. Рассмотренный ряд (36.6) показывает, как при естественных процессах (геометрическая прогрессия) из простых непрерывных функций возникают функции значителыю более сложной природы — разрывные функции. В дальнейшем мы выясним условия, при которых можно гарантировать непрерывность суммы сходящегося ряда непрерывных функций.
У и раж ненни 1. Исследовать скоднмссть н абсолготную сходнмость радев 2 — 2 ' и у ни к!и тгх хн ' Ли !+и" и=- ! и ! 36.2. Равномерная сходимость последовательностей и рядов Определение 5. Пусть задана последовательнткть функций (36.1) и функция /, определенная на множестве Е. Будем говорить, что указанная последовательность сходится к функции / равномерно иа множестве Е, если для любого а > О сущестоусп! тикай номер гг, что если гг..-п, то ! / (х) — /„(х) ! <" в для всех к~~ Е. Пггследовагтгельиослгь (36,!) иазыоаепгся равномерно сходящейся иа множестве.
Е, если сущеспгоует функция /, к ко!порой оиа равиолгерио сходптпся иа Е. Очевидно, что если последователыюсть (36.1) равномерно сходится к функции / на множестве Е, то она и просто сходится к этой функции на Е, Зб.д Равнонернал слодилоств оослсдователнностсд и редев Если последовательность (/„) сходится па множестве Е к функции 1, то мы будем это символически записывать следующим образом: р„— 1 на Е. Если же эта последовательность(/„) раьномерно сходится на Е к функции 7, то будем писать р„-. 1 на Е.
Заметим, что если последовательность (36.1) просто сходится к функции / на множестве Е, то это означает, что для любого е) О н любого х ~ Е существует номер л = а,(е; х), аавнсящий как от е, так и от х, такой, что для всех номеров и > п„имеет место неравенство (36.6). Сущносзь равномерной сходимости последовательности функций состоит в том, что для любого е ) О можно выбрать такой номер пв, зависящий тол ь к о От валин НОГО е и не зависиший От Рис. П4 выбора точки х~Е, что при 11>пв неравенство(36.6) будет выполняться всюду на множестве Е, т.
е. «графики» функций („ будут расположены в «е-полоске», окружающей график функции 1 (рнс. 114). Таким образом, в случае равномерной сходимости для любого в > О прн всех достаточно болыинх и (именно при п>п ) значения функций („ дают приближенное значение функции г" с погрешностью, меньшей е, сразу иа всем множестве Е. 11 р н и е р ы. 1. последовазельность 1 х х' хн (36.?) Б20 б Лб. Функьгипнальние ноеледовательнооти и анди па отрезке 10, 7), 0( г»( 1 сходится равномерно к функции, тождественно равной нулю на этом отрезке !О, г»!.
Действительно, если 0(х < г», то !» ~хв (ь»л гг=1 (36.8) Поскольку 1пп ь»о=О, то для любого фиксированного е) 0 и существуег такое п„что г»л(е для всех п)~п . Отсюда в силу неравенства (36.8) 0(хн(е для всех и) пе и всех х гс 10, д). Это означает, что х"- 0 на 10,п), 0(ь»(1. 2. Та же последова- У тельность (36.7) на отрезке 10;1) сходится к функции 0 для 0(х(1, 7 (х) =- (36.9) л но уже неравномерно (рпс. 115).
Формула (36.9) очевидна. Докажем, что последовательность (36.7) не сходится равномерно на отрезке (О, 1), Так как предельная функция в точРие. !/5 ке х = 1 делает скачок, равный 1, то естественно ожидать, что если взять е >О, не превышающий половины этого скачка, то уже не удастся найти такой номер и, что при и'мгь, на всем отрезке (О, 1) будет выполняться неравенство )х" — 1(х)»(е,. (36.10) ! Действительно„беря для функции 7„(х)=х" точку х„= — „ ь 2' получим !).( ) — Нх И=-; — О=- —, ! ! ! Поэтому, если взять е ( —, то в этом случае заведомо не найдется номера и, для которого выполнялось бы неравенство (36.10» для всех х~(0, 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
