Кудрявцев Л.Д. - Математический анализ (1077055), страница 81
Текст из файла (страница 81)
О, 888 Критерии еходилсоети рядил 483 Теорема 5 (необходимое условие сходнмости ряда). Если рлд ~', сси сходится, гио и=- ! (35.11) 1пп ии =-О. ! Действительно, в атом случае неравенство (35.10) выполняется для любого р> 0 и, в частности, для р = О. Поэтому !и„! с в для всех сг> и„ а зто в силу произвольности г, ) 0 и означает, что 11п! ии =- О. и П р и м е р ы. 1. Бесконечная геогсетрпческая прогрессия с!+с) +с)'+ ".
+с)" + -. при)с)! ) 1 расходится, ибо ееп-й член и„= де не стремится к нулю: !и„)= )с1!я )~ 1. 2. Рассмотрим так называемый гармонический ряд 1 ! 1+ — + ...+ — +... 2 л ! Здесь и-й член и, = — стремится к нулю при л- лл, но ряд раси ходится. Действительно, для любого и = 1, 2„...
имеем 1 1 1 и„+ сс„+с+ ... +!сии — ! =- — + — + " + ) л и+1 2л — 1 ) — + — --+ ... + — ) — =- —, (35.12) ! ! ! л 1 2л — 1 2л — ! 2л — ! 2л 2 ' 1 т. е. для любого и при е = —, и р = и — 1 неравенство (35.10) не 2 выполняется. Таким образом, из критерии Коши следует, что гармонический ряд расходится. Этот пример показывает, что условие (35.11), являясь необходимым для сходилюсти ряда, не является вместе с тем достаточным. 484 Э 85. Числояые ряды 35.4.
Критерии сходимости рядов с неотрицательными членами. Метод выделения главной части гл-го члена ряда В этом пункте займемся исследованием сходимости рядов, все члены которых пеотрицательны и, значит, заведомо веществен. ны. Теорема 6. 1)усть все члены ряда (35.1) неотрииательньс (35.13) и„>0, п=1,2, гпогда для того ипобм ряд (35.! ) сходилсл, необходилю и достаточно, чтобы последовательность его частичных сулья была ограничена сверху, причем если э — гул~лба рнда, а з„, и = 1, 2, ..., — его частичные сулслих, то (35.14) зпр э„=э. я -ь 2, ... л( о к а л а т е л ь с т в о, Если ряд (35.1) сходится„т. е. если последовательность его частичных сумм сходится, то эта последовательность, как всякая сходящаяся последовательность, ограничена (см.
п. 3.2 и и. 23.1). Однако в общем случае условие ограниченности частичных сумм ряда, как показывает уже пример 2, разобранный в п. 35.1, не является достаточным для сходимости ряда. Если же выполнено условие (35.13), то л+! э„+ ~ = ~~ и„= э„+ и„+ ~ > з„, я=! т. е. последовательность частичных сумм (э„) в этом случае является монотонно возрастающей последовательностью, и потому она сходится тогда и только тогда, когда она ограничена сверху. Кроме того, если (пп э„=з, я м то э = зир эяс я-~ а..
Теорема доказана. Из теоремы б следует, что если ряд с членамн (35.13) расходится, то последовательность его частичных сумм не ограничена сверху и в силу ее монотонности 1пп э„=- -1- со. я"яи 85.4 Критерии сходииости рядов с неотринотеленнлги гленолт лает Поэтому для расходящихся рядов с неотрицательными членами, согласно сделанному и п. 35.1 соглагнешпо, пишут и„= + оо.
я= ! Доказаинаи теорема по своей форлгулировке внешне напоминает соответствующие теоремы для несобственных интегралов (см. п. 33.3 и 34.3). Между сходимостью рядов с неотрппательными членами и несобственных интегралов от неотрицательных функций можно иногда установи~ь и более непосредственную связь. Именно, если для данного ряда (35.1) с неотрицательными членами удается подобрать функциго Кх), определенную при х~1 и такую, что Кп) = ито то при определенных условиях из сходимости или расходимости интеграла 1(х) с(х ! можно сулить и о сходимости или расходимостн ряда (35.!). Теорема 7 (интегральный признак сходимости рядов).
Если функция Кх), отгределенная при всех х > 1, неотрицотельна и моно!панно убьигает, тпо ряд (35.15) сход!опоя пюгда с! только тпогда, когда сходится интеграл ! (х) г(х. (35.16, ! рис. !гл Д о к а з а т е л ь с т в о. Если !г.< х ей + 1, то тогда в силу монотонного убывания функция Кх) (рис. 112) ! (!г) )~ ! (х) )~ ! (!г+ 11, й = 1, 2, ..., и поэтому я+! )(тг))~ ~ ! (х) дх > )(К+ 11, )г=-1, 2..., Суммируя эти неравенства от !г 1 до я = и, получим н Н+ ! я ~~ !'(й) > ~ !'(х)с(х> ~У, !'(й+1), А=-! ! и. ! у За числовые рлдм и, полагая получим л+1 зл > ) Г (х) г(х > за+г — 7(1), и= 1, 2, ....
(35.17г 1 Если интеграл (35.!6) сходится, то в силу теоремы 1 п. 34.3 прв любом и=1,2, ... и+! + С~ 7(х)г(х«( ) 7(х)г(х. 1 ! Отсюда и из неравенства (35.17) следует, по +Х з„ч ~ (7(1)+ ) 1(х)г(х, 1 т. е. последовательность частичных сумм ряда (35.15) ограничена сверху, а значит, согласно прелыдугпей теореме, эгот ряд сходится. Если теперь ряд (35 !5) сходится и его сумма равна з, го, согласно тг4 же теореме, з„<з для всех и =- 1, 2, ..., и, значит, в силу неравенства (35.!7) для всех и =- 1, 2, ..., ) 7 (х) г!х «( з. ! Если теперь $«1, го, беря и так, чтобы п>З, получим в силу яеотрицательности функции 7 й л ~ 7(х) г(х < ~7(х) г(х (з. ! ! Итак, совокупность всех интегралов ) 1(х) г(х, 5 ) 1, ограничена 1 сверху, а потому интеграл (35.16) сходится (см.
теорему 1 и. 34,3). Теорема доказана. Эта теорема часто существенно облегчаег исследование сходи. мости рядов, так как, если для данного ряда удается подобратг соответствующую функцию 7, а зна<шт, свести вопрос об изученш сходимостн ряда к изучению сходимости интеграла, то это дает воз моягность применить развитый в предшествующей главе аппараг интегрального исчисления. Зад Критерии слоднности радое с неотрицтееьниии еленина В качестве примера рассмотрим ряд 1 ! 1 1+ — + — +..
+ — -+... а Зо '- „сс (35.18) с и-м членом и„ = - †, л = 1, 2, ! и В данном случае функция /(х), указанная в теореме, подбирается легко: /(х)= —, х> 1. ! х И так как интеграл дх х сходится при а> 1 и расходится при о<1, то и ряд (35.18) сходится при а>1 и расходится при а<1. В случае л = ! ряд(35.18) является гармоническим рядом, расходпмость которого была установлена в предыдущем пункте. Получим теперь из теоремы 7 простое след- ствие, удобиое, однако, часто в приложениях.
Если существует такое натуральное и„, что фуикпия /(х) л!опо- тонно убывает при х> по, то ряд'~ /(л) сходится тогда и только тогда, и а, +~ когда сходится интеграл 1/(х)с/х. Этот случай сводится к раса» смотреипому в теореме 7 замепой перемеппого х =- у + л„ вЂ” 1. Уп ража ение 1. Исследовать сходниость ряда у 1 .~.~ и !поп и=а (35.10) и а„= 0(ва)а'. (35.20) ео И частности, и„" о„!о.ъаснснне обозначении «0» сьн а и. 23.2) Перейдем теперь к признакам сравнения для рядов, также по своей форме весьма папоыица!ощих соответству!ощис признаки сходимости для несобственных интегралов. Теорема 8 (призиак сравиеиия).
//усгла и„>0. о„>0, п=1,2,..., э 85. Числовые рвс>ы Тоеда, еслсс ряд ~с о„ сходипсся, то сходится и ряд (35.21) и (35.22) и=! а еслсс ряд (35.22) расходится, то расходипсся и ряд (35.2!). Л о к п з а т е л ь с т в о. Пусть выполнено условие (35.20), тогда существует такое с) О, что (35.23) Если теперь ряд (35.21) сход!!тся, то, согласно теореме 6, последовательность (зи) его частичных сумм ограничена, т. е. существует такая постотшая М ) О, что и э„.= д,' о„(М, и=-1, 2, .... (35.24) А ! и„° о, (и, и ов эквисалентньс, схь и.
23.2), псо ряды (35.21) и (35.22) сходятся илп Ссас.с сдлс!'ссс односсрел!ессно. Обозначим через о„частичную сумму ряда (35,22). Тогда в силу неравенств (35.23) и (35.24) й и ов=и ~: иь < с ~ оэ — --сэв (с51, л= 1, 2, .... А ! э ! Согласно теореме б, из огранпче!шости сверху частичных сумм ряда (35.22) следует его сходимость. Итак, если ряд (35.21) сходится, то ряд (35.22) также сходится. Если >ке ряд (35.22) расходится, то и ряд (35.21) расходится, так как если бы он сходился, то по доказанному сходился бы и ряд (35.22), что противоречит условию.
Теорема доказана. С л е д с т в и е. 1!усть о„+ О, и = 1, 2, ..., и 11ш ~„А 35.25) и +~ сси п!огда: 1) сели ряд (35.21) сходипсся и 0 (Ас '-1- о, лю и ряд(35.22) также сходится; 2) если ряд (35.21) расходится и 0(!сс < + оо, спо и ряд(35.22) лсакже расходится. В частности, если 35.4. Критерии слидииипи рлдиа с иеитрипителлиыии ииеиил!и 499 Из выполнения условия (35.25) для О < 7г< +ии следует существование такого п„что если и= и„, то — < й+1, т. е.
ил < (1+1) оте и а это означает, что и„-.= О (Ол). Поэтому утверждение 1 следствия непосредственно вытекает из утверждения ! теоремы. Из выполнения условия (35.25) для О</г< +ии следует, что для каждого А', такого, что О < А'<тс, существует номер и, = и, (й ), обладающий тем свойством, что если и > пти то — й', ил т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
