Кудрявцев Л.Д. - Математический анализ (1077055), страница 80
Текст из файла (страница 80)
Е. ПРП Кк > л, И раСХОДИтСЯ ПРИ М~( л . / ! к е(х) Действительно, о / — ~= —, где е(х)- О при х-н со, причем г !х из л),'ормулы (34.27) следует, что эта функция о ~ — ~~ непрерывх' ~ гни' на, и. следователыкт, имеет смысл говорить об интеграле (34.29). Вь!берем Л и1 так, чткбы при х)А имело место ~е(х)((--, ! тогда при х)А и.
следпеателынх пппеграл (34.23) сходится г тех >ке значениях парамечра а, что и пн!етрал расход!ися прн л кк — ! ак +еоз х (х — л|п х) Отс!ода видно, что при а<! эта производная при х — л.с бесконечное число раз меняет знак и, следовательно, сама функция п(х) не монотонно убывает. Таким образом, при а ( ! признак Дирнхле оказывается не применим для выяснения вопроса о сходнмости интеграла (34.2б). В этом случае естественно попробовать прибеп!уть снова к методу выделения главной части.
Применяя формулу разложения бинома по формуле Тейлора (см. п. 13.3), получим при х -е са .-'".;„, -',"-', '-- ':-' ~" — ","-'+'Я= х Интегралы ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ ряды й ЗЗ. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ 35.!. Определение ряда и его сходилюсть В настоящем параграфе понятие суммы обобщаегся на некоторые случаи бесконечного числа слагаемых и изучаются свойства таких сумм. Многие из рассматриваемых пипке вопросов справедливы не только для вещественных чисел, но и для комплексных чисел.
Поэтому в отличие от предыдущих глав в настоящей главе будем вести рассмотрения в комплексной области. Определение 1. Иусспь задана последовательность колиглексных чисел и„п == 1, 2.... Форлш гоно ншшсанная сумма (35.1) сс,+и,+...+и„+... илсс, что то же, называется рядом, а гассло и„— его п-лс членолс, сг = 1, 2, .... Подчеркнем, что всюду, где не оговорено противное, члены рассматриваемых рядов подразумеваются комплексными. Определение 2.
Конечная сумма в„= и, + и, + ... + и„, (35.2) слагаемыми которой являются первые и членов ряда (35.1), называется и-й частичной сулслюй данного ряда, а ряд и„+с + ... + и„+в+ ..., (35.3) членами копюрого являются все члены ряда (35.1), начиная с (п + 1)-го, написомные в толс же порядке, что и в даннолс ряде, называется и-м остапгком ряда (35.1). у Эв. Числовые овйи Определение 3. Р>>д (35.!) ниэываел>ся сходящил>ся, если последовательное>пь еео частичных сульи (з„) с!оди>пся (см.
п. 3. ! и и. 23. ! ). Если ряд не сходится, осо гоеоря>п, ~т>о он расходится. Если ряд (35.1) сходни!ся, то предел э= Ип! э„ назыоается его сулл!ой. В этол! случае >шипут е =- и, + ив+ ... + и„+ .. или Э= ~> ивв в=! (35.4) то соответственно пи>пут и„=- оо,,„" и„= + со в=! в=! илн ~ ив= — оо. Каждому ряду естественным образом соответствуег некоторая последовательность — последовательлкють его частичных сумм; при этом по определеюпо, сходнмость ряда эквивалентнасходнмости последова!ельпости его частичных с)ъгк!.
Обратно, каждой последовательности можно поставить в соответствие такой ряд, что она будет являться последовательностью его частичных сумм. Действительно, пустьдапа последовательность комплексных чисел (г„,'. Положим и, =- г, — г„..., ив = 㠄— гв и,=г,, и рассмотрим ряд и,+и,+ ...
+ив+ ... Тогда э„=- и, + и, + ... + и„= = г,+(гэ — г,)+(гв — гг)+ ... +(г„— г„!)=г„. Таким образом, исследование сходнмости ряда, согласно определегппо, сводится к исследовагпно сходимости последовательности, а исследование сходимости последовательности всегда может быть указанным приемом сведено к исследованию сходимостн соответст- Согласно этому обозначению, выражение (35.
!) в случае сходя- и!егося ряда всегда обозначает его сумму. Если !пп э,=со„или 1пп э„=+со, нли !!п>э„—.— — со, ЗД !. Он!теде«ение рядо и еео «од«лотт« вуюшего ряда. Поэтому всякое утверждение о сходимости ряда можно перефразировать в терминах сходнмости госледовательпости, и наоборот. Если остаток !35.3) ряда (35.1) сходится, что его сумму будем обозначать г„: (35.5) иге в= «+~ Всяку!о сумму конечного числа слагаемых и,+и,+ ...+и«в можно рассматр:!вать как ряд, добавив к ней члены и„„+ ! = и«,+ е =-- ... = О Сумма получившегося ряда, очевидно, будет совпадать с заданной суммой, нбо прп всех т!>т!„его частичные суммы равны з««. Если заранее неизвестно, содержит сумма конеч!юе или бесконечное число слагаемых, то иногда удобно в обоих случаях называть ее рядом, считая, что конечная сумма является рви!ом в вышеуказа!пюм смысле. П р и м е р ы.
1. Пусть е) — комплексное число и ! !) ! (1. Тогда ряд 9+9'+ 9'+" +!)"+- с членами и„= д«, и =- 1, 2,..., называю!цпйся, как известно, бес- конечной геомео!ричеекой прогоеееигй, сходится. Действительно, о !н о д«+! з =9+!) !'" +Ч"= — — —, ! — ч ! — д ! — д' и !ак как «+ $ !пп =- О, «-.«! — ч Ь!Пэ,= о «! — д 2, Ряд 1 — 1-ь-1 — 1+ ...
+ ( 1) +1+ с членами и„-.. 1 — !)' в', и =- 1, 2... расходится. й Зд Числввне Слон В самом деле, в этом случае 5,==0, й:=-1, 2, »л 5»ь ь! = 1, й=-О, 1, ..., ПОЭТОМУ ПССЛЕДОПатСЛЫЮСтЬ ЧаетИЧНЫХ СУММ (5«) НЕ НМСЕт ПРС- дела, 35.2. Свойства сходящихся рядов Теорема 1. Пусть с — комплексное число. Если ряд и„ ь ! сходится, то ряд ~л сиь, ь ! называемый ироизввдениел! данного ряда на число, спаквхв схо.
дится и ~! си„=с ~~„", иь. (35.6) л=! ь=! тогда, очевидно, (35.7) аь = Сам По условию Ит в„существует, поэтому в силу (35.7) 1пп в„также е О ь существует и !!гп 5„= — с1!п! 5»л это и есть равенство (35.6). Теорема доказана. Теорема 2. Пусп!ь ряды ,~! и„и ,г! о„ ь= ! Эта теорема означает, что числовой множитель «можно выносить аа скобку» и в случае бесконечного числа слагаемых, если они образу!от сходящийся ряд. «Можно» в том сл!ысле, что справед.ииво равенство 135.6).
Доказательство. Пусть л и 5»=- ~'., Ц, И вь — — ~ СЦ,, »=! »=! яя.2 С«ос!стол ««вятки!«н с«лов сходя!ноя, исогди ряд (и„+ о„), л=! яазываелсый сулшой данных рядов, также сходится и ОР ~ (и„+о„)= ~ и„+ ~ о„. л ! и=! л=! (35.8) л л я„= ~ и„, я,= „ол я о„=-, (и„+ох), »з ' у! л-! л=- ! л=- ! тогда .. = я.+.= и так как 1сгп я„н Ип! я„по условию существуют, то !!сп о„ л л ю 6-.0 тагоке существует и !!гп о„=!'пн (я„+я,)= 1!т я„+ 1нпя„, л О~ л» л зго и есть равенство (35.8). Теорема доказана.
Теорема 3. Если ряд сходится, то лсобой его остпток сходится. Если кикой-либо ослпоток ряда (35.1) сходится, ою и саля ряд ишкясе сходится. Доказательство. Пусть я„=и,+и,+ ... +и„, и=1,2, ..., частичные суммы ряда ~с и„, а л ! ст! я» =" сс» ь! + ° + от+с частичные суммы его и-го остатка и„,к!+и„,е +...+и„„.с+... Очевидно, что я„=-.ям+я) с, и =си+)с! (35.9) Эта теорема означает, что сходящиеся ряды «к!он!но складывать почленно» (авй член с и-м), «можно» в том смысле, что справедливо равенство (35.8). л(оказательство.
Пусть й Зд Числовые ряды откуда при фиксированном т следует, что предел )ип з„ ю- существует тогда и только тогда, когда существует )(ш 4"' л в Иначе говоря, ряд сходится тогда и только тогда, когда сходится его некоторый остаток. Поскольку натуральное число рл было произвольно, то теорема доказана. Из этой теоремы следует, что отбрасываиие или добавление коиечпого числа членов к данному ряду ие влияет иа его сходимость. Заметим, что, употребляя обюзпачепие (35.4) суммы сходящегося ряда и обозначение (35.5) суммы остатка сходящегося ряда и переходя к ар~делу при й со в равенстве (35.9), получим ага+ гас 35.3.
Критерии сходимости рядов Критерий Коши для сходимости последовательностей может быть легко перефразировав для рядов. Действительно, как известно (см. п. 3.3), для того чтобы последовательиость(з„) была сходящейся, необходимо и достаточио, чтобы для любого е = О существовал такой помер л, что !з,+ — з„~ !<" е для любых замеров п~ а, и любых целых р=-:О (для удобства использования этого критерия в случае рядов мы здесь пишем разность з„„.р — з„ ~ вместо разности злчр — з„, которую писали раньше в п. 3.2.
Это, конечно, ие влияет йа суть дела). Если теперь последовательность (з„) является последовательпостью частичных сумм ряда (35.!), то а, ь — з„|=--и„+и„+~+ ... + и„+, и сформулированный критерий в этих обозначениях принимает следующий вид. Теорема 4 (критерий Коши). Для того чпвбы ряд Ъ, и„схап 1 дался, необходимо и дссгпаивчна, чтобы длл любого е ) О суи<еспиюаал такой номер пю чело !и„+и„~|+ ... + и„+р!с. е (35. (О) п)зи любом п~~п и любом целом р '.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
