Кудрявцев Л.Д. - Математический анализ (1077055), страница 75
Текст из файла (страница 75)
х,, 1 = 1, 2, ..., А. Далее обозначим через ы(6) модуль непрерывности функции 1> 1+у'"; в силу непрерывности этой функции 1пп о> (6) = О. (32.22) б-о Имеем следующие оценки: ~р>»-(„'— ',)' — >л>->,,~= =-~~ 1+~"*໠— У 1+1'КА < и(б,), ( р/» (>л)' >л>>»," )= =! 1' 1+ Р'" (В>) — Ф'1+ Г'(у,)1-= оо(б,). Наконец, замечая, что функция / при сделанных предполояге- ниях ограничена на отрезке (а, Ы (пбчемуг) н что поэтому существу- ет постоянная М > О, такая, что 11'(х)) < М, х~)а, Ь), получим 1У вЂ” от! <и,)'1у, )о>(бт) Лхг < г > ~Ч < пЛ1о> (б )~ Лх, =- пЛ1 (Ь вЂ” а) ы (Ь )> 1Š— от) < п,~'„)у,! о>(б,)Лх, < пМ(Ь вЂ” а)о>(б ).
>=- > Отсюда в силу (32.221 Игп (1.,— о,) = Иьз (Е,— о.,) = О, б. о бт-о н так как суммы о и о стремятся при Ь О к пределу (32.21), то и суммы Е и б стремятся при Ь вЂ” О к тому же пределу: и Ип>! —..— )пп б .- и) у У1+у г(х. 82.4 Ллаи~адь паверхногти вращения 437 11оэтому (см. (32.20)) предел (32.19) существует и !ппй =-2п ~ у У!+у' 0х. Таким образом, для площади А поверхности вращения, образованной вращением графика функнии г вокруг оси Ох, мы получили формулу ь Е = 2п ~ у Ф 1 -1- у' г(х.
а (32.23) Вспоминая, что (см. п. 16,4) У1+ у" 4!х =. 4(з, можем переписать формулу (32.23) в виде ь 1. = 2п ~ у Ию. Х "~,'гэ хэ и, значит, получим, согласно формуле (32.23), ю Ъ=-2п ~у гг1+у' 4(х =-2яг ~ г!х-.=4пг~, Предложеш1ый вывод этой формулы имеет некоторый методический недостаток, так как в этом выводе по ходу дела уже использовалось понятие площади поверхности и ее адаптивность, правда, лишь в простейшем случае — для поверхностей усеченного конуса и их объединений. Можно ввести об|нее понятие площади поверхности, не используя понятие площади поверхности для каких-либо элементарных поверхностей, и получить ее необходимые свойства.
Эти вопросы будут рассмотрены в дальнейшем в п. 50.5. П р и м е р ы. 1. Найдем площадь 5 сферы радиуса г. Указанная сфера может быть получена вращением графика функнии у =-. у'г' — х' вокруг оси Ох. Замечав, что в этом случае 8 82.
Приложения определенного интеграла 488 2. Найдем площадь В поверхности, образованной вращением дуги цепной линии (см. рис. 104): у=пей — ', — Ь (х <Ь. а' По формуле (32.23) имеем 5=2ла сп — "1/ 1+81Р— йх= а т о ь =2ла ~сйь — с(х=ла ~ ~1+ей — ) йх= а 3~ а! — ь -ь 2Ь~ = ла ~2Ь+ а зй — ) . и) 32.5. Работа силы Рис. !06 Пусть материальная точка М движется по непрерывно дифференцируемой кривой Г = (г =- т(ь)), где з — переменная длина дуги, 0 <8 < 5. Пусть на рассматриваемую материальную точку, находящуюся в положении г(з) действует сила В(з), направленная по касательной к траектории в направлении движения.
Г(г() Г(ес) Возьмем какое-либо разбнес(е(-т) нне т=- (з,),'="ь отрезка 10, 51. Ему соответствует разбиение траектории Г на части ГЯн( ,(4,И Г;==((). — =- - Д, г гяо (6 Выберем произвольно по точке -<!з, „81, ( = 1, 2,..., й (рис. 106). Величина Г(~,)бзо бз; = з; — зс „1== 1, 2, ..., (г, называется элелентнарной работой силы г на участке Г, и принимается за приближенное значение работы, которую производит сила Ь, воздействующая на материальную точку, когда последняя проходит кривую 1', ь Сумма всех элементарных работ ~ г(В,.)бз; является ннтеграль- 1 1 ной сумлюй Римана функции Ь(з). 82.6: Выцисленив егопмеокнк моментов и центра глэквсти кривой Определение 2. Предел, к которому стремится сумма всех элементарных работ, когда мелкость разбиения т стремится к кулю, называется работой силы Г вдоль кривой Г.
Таким образом, если обозначить зту работу буквой 1Р, то в силу данного определения имеем УУ = ~ Г (е) аэ. о (32.24) Если положение точки на траектории ее движения описывается с помощью какого-либо другого параметра г (например, времени) и если величина пройденного пути з =- э(1), а .. г' -.: Ь, является непрерывно д.кДеренцнруемой функцией, то из формулы (32,24) получим В' =: ~ Р (э (1)1 з' Я д).
32.6. Вычисление статических моментов и центра тяжести кривой Пусть 31 — материальная точка массы т с координатами хи у. Произведения и:у и тх называются ес люменталш соответственно относительно осей Ох и Оу. Пусть Г = (г(э), 0 -. э < 5) — спряыляемая кривая, где э— переменная длина дуги, Будем считать, что кривая Г имеет массу и что масса ее дуги прямо пропорциональнадлине дуги; если Ьт— масса дуги длиной Лз, то Ьт = рйэ, где р — некоторая постоянная, называемая линейной плотностью кривой' Г.
Такие кривые в меЬт ханике называются однородными. Поскольку р = — — -, то плотность ов ' равна массе длины дуги кривой, приходящейся на единицу длины дуги. Будем считать для простоты, что р =- 1, т. е. что масса часты кривой длины Лэ также равна йэ, в частности, что масса всей кривой численно равна 5. у 32. Прилогеениа онргоелгнного интеграла лао Пусть теперь т=-(зт)~ г — какое-либо разбиение отрезка10, 51, Ьз=эт — в, ь (=-1, 2, ..., й. Разбиению т соответствует разбиение кривой Г на части Г, = (г(в)„з; ~ < з(з,).
Выберем по какой-либо точке $,. (-(зт ь ь,) и положим х, =х($,), у, = уй;), (=-1, 2, ..., (г. Величины угЛэт при любом выборе указанных точек ь, называются элементарными статическими лшментами части Г, кривой Г относительно оси Ох. Очевидно, элементарный статический момент Г, численно равен моменту материальной точки массы Ьз с ордипатой уь т. е. мы как бы заменяем данную непрерывную кривую Г я материальными точками. Определение 3.
Предел, к которому стрелттся сумма Х у~М М„= ~ уг(э. 'о (32.26) Анало~ично определяется и вычисляется момент М кривой Г относительно оси Оу: Мэ= 1 хая. (32.27) Из формулы (32.26) видно, что в случае, если кривая Г является графиком однозначной неотрипательной функппн у =- 7(х). то момент М„ только множителем 2п отличается от площади 6„ поверхности, образованной вращением графика функции ( вокруг оси Ох, т.
е. 2пМ„=--- 6„. Подобное утверждение имеет место, как это следует из формулы (32.27), и для момента М„'. всех элементарных моментов, когда мелкость разбиения т стрелттнся к нулю, называелшя моментам М„кривой Г отпастяельна оси Ох. Этот предел всегда существует, нбо по определению кривой функпия г = г(з), а значит, и координатные функпни х = х(э), у =- у(э) непрерывны на отрезке 1О, 51; сумма же (32.25) является интегральной суммой Римана функпии х(в) и потому при 6, — 0 стремится к интегралу ~у(з)т(з. 6 Таким образом, Э2.Г> Вычисление стати>«етних иоиентов и центра тяжест>«кривой 44$ Определение 4.
7св«ка плоскости Р = (х„ур), обладаюи«ан тем свойством, что если в нее т«омес«««ить мптериальную точку массы, равной мпссе кривой (т. е. в рассмап«риваемом нами случае массы 5), то этп точка относительно любой координатной оси имееп« статический момент, численно ра«ть«й статическому л«оменту кривой относительно той же оси, наэывае«пся иена«ром тпяжести дпнной кривой.
Таким образом, охо ™т Э'в = й)и откуда в силу формул [32.2б) и (32.27) для координат центра тяже- сти получаем формулы ь в ! ! «в= —,в(хйв уо= —,) удэ. о « (32.28) В качестве примера найдем центр тяжести цепной линии у=по!« —, — Ь < х< Ь. В силу симметрии цепной линии атноа ' с«пельно оси Оу имеем дт=О. М,= ~ х(в,«(в=О, ибо х(э) — нечетная функция.
Поэтому «,=0. Далее, М„= ~удв, Как отмечалось выше, 2пМ„= Е„, где йх — площадь поверх ности, образованной вращением цепной линии вокруг оси Ох, н следовательно (см. п. 32 4), Е, = па ~2Ь+ и з)« — ~, ьх а поэтому М„= —,, «(2Ь+а зй — 7«. и « 2И Действительно, выбирая за начало отсчета дуг точку цепной линии, лежащую иа оси Оу, и обозначая длину всей цепной линии через 25, получим б ЗЗ. Интеграла от неограниченных (Ьункчнй С другой стороны, длина 28 цепной линии легко вычисляется по формуле (32.15): ь ь 5 = ~ У 1+ у' д~ = — ~ ф 1+ ~[1~ — дх = а -ь — 'ь ь х х|ь ~ с[| — дх=аз|! — ~ =2аз|1 —. ° ! а ' — Ь Поэтол|у в силу формулы (32.28) имеем 2Ь 2Ь+ оли†Уо= 4зп— а У п р а ж и г и и я.
4. Найти площадь конечной области, ограниченной параболой у" =- 2х + 1, и прямой у = х — 1, 5. Найти площадь области, ограниченной никгоидой х = и(! — з|п !), у а(1 — соз !), 0 < ! < 2п, и прямой у = О. 6. Найти площадь области, ограниченной крииой р' = озсоз 2Ф (лемни- гкотой). 7. Найти объем тела вращения, образоиапного ирашснием одной арки синусоиды у = Нп х, 0 < х < и, вокруг оси Ох. 8, Найти длину дуги кривой у = !п соз х, О < х < а ( ". 2 9.
Найман длину дуги спирали Архимеда р = отр, 0 < Ф и 2п. 10. Найти площадь поигрхиости, образованной иргщеиисм астроиды з з з 3+ уз аз аокруг осн !!. Найти координаты нснтра тяжести дуги кругах = г соз тр у = г з1пгр, [я~[каин. й 33. ИНТЕГРАЛЫ ОТ НЕОГРАНИЧЕННЫХ ФУНКЦИЙ 33.1. Определение интеграла от неограниченной функции Известно, что если функция пеогранпчена иа отрезке [а, Ь), то она не интегрируема по Риз!ану. Поэтому, если мы хотим, чтобы хотя бы некоторые неограниченные функ!и|и интегрировалнсь в какол|-то смысле, нам необходимо обоб|цить понятие интеграла.
Онределеиле 1. Луста г[тункг(ия / определена и не ограничена на !гол|(ингпереале [а, Ь), причем она ограничени и интегрируеми по риг|ану на любом отрезке [а, Ч[, а <, т)ч.. Ь. Тогда, если сугг!еспмуегп кокс!май предел т[ !пп ~1(х)дх, ч- ь-о, Зв.д Определение интеграла ат неаграниченнае функции то он називаетттся несобственным интегралом от функции 1 на ь отрезке [а, Ь[ и обозначается ~ 1(х)с(х. О Таким образом, ь 1п.1 = 1па . а ь — Оа (33.1) Это определение можно записать также в виде ь — е ~ ['(х)г[х= 1пп ~ г(х)с[х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
