Кудрявцев Л.Д. - Математический анализ (1077055), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Очевидно, интеграл (34.14) сходится илн расходится одновременно с интег- ралом .!. юа ! 1и ссз— — - — с(х, (34.15) к" у которого подынтегральная функция всюду положительна, 1 Раскладывая функцию 1псоз — поформулеТейлора, получим 1 1и ссз— к х» к!' Таким образом, 1п ссз— 1 х 1 к 2хз "" при х-э хр сс, и, значгт, интеграл (34.14) сходится при 2 1- р > 1, т. е. при р ) — 1, и расходится при р =.' — 1. ЗтХ Критерия Коши Ласолштно схосгяи<иесн не<па<геенн<ге интегралы 469 34А. Крн<ерий Коти. Абсолютно сходя<внеся несобственные интегралы с бесконечнымн пределами. Метод улучвеиия сходимости интегралов + ) 7(х)с(х а (34.Ы) ои<л сходяи(ил<ся, необходимо и достаточно, чпюбы для .еобого е ) О сущеспт<хл<агто такое число Ь= Ь(е))а, чтоеслиЬ'>Ь и Ь" > Ь, то (рис.
111) <" ~ ~ 1 (х) <(х ~ с е. Эта теорема, подобно соот- Рис. ГИ ветствуюгпей теореме из и. 33.4, разу следует нз критерия К<сан сугцествования предела при <1 -~--(.со у функции <1~(<1) =- ~ 7(х) <(х, Итп тр(ц) == ) 7(х)с(х ч" + е ф(г)-.(, и=- Ц и.)" ~ ч Определеттие 1. Интеграл (34.16) нлглтшии<тсн абсолют<<н<> схо)ди(ил<с<<, если сходип<сн ин<иегрил ~ 11(хц дх.
(34.17) Как есегда, здесь предполагается, что функция 1 пнтегрнруема <о Риману на лтобом спрезке!и, т1), где ц > и. Будем снова предп<хпагать, что функция 7 определена для всех х > а и интегрируема по Рямапу на гпоГюм отрезке (а, Ц, а( с(+со. Теорема 4 (критерий Копти). Для того чтобы инп<еграл й гб Негвссгвенньге ангегравн с Оегивнечиана нрегелани Критерии сходимости интегралов от иеотрицательиых фуикиий, очевидно, применимы также и в качестве критериев абсолютиой сходимости интегралов. Пусть, например, требуется выяснить: сходится абсолютно или иет интеграл (34.(8) Поскольку + Г ах и иитеграл ) 1 дится и интеграл сходится, то, согласно теореме 2 и. 34.3, схо- + 1 т.
е. интеграл (34.!8) абсолютио сходится. )4а теоремы 4, согласно определению абсолютной сходимости интегралов, иепосредствеиио получается следуюрдий критерий абсолютной сходимосги интегралов. Теорема 6. Для того чтюы интеграл (34.!6) абсолютно сходилсн„необходигио и достаточно, чтобы для любого г > О с(7и(есгпеоеало такое число Ь =. Ь(в) > а, чгпо если Ь' ) Ь и Ь" Ь, то ь" ) ~ ! Г (х) ! дх ! ч е. ! ь- ь" ~ ) ! (х) дх ~ < ~ ~ !7' (х) ! дх ~ . В качестве прилюра рассмотрим интеграл (34.19) Теорема 6.
Если инп7еграя (34.)6) абсолютно сходится, то он и гсроапо сходсгп2ся. Подобно аналогичному утверждешио в и. 33.4 эта теорема иеиосредствеиио следует иа критерия Ковш сходимости интегралов и иеравеиства дИ. Критерия Коити. АГнолн~тно скодяжистк несобственные интегриям 47! Покажем, что этот интеграл сходцтси, но не абсолютно. Прежде всего заметим, чьо поскольку Игп — = !. ь!и к к-о то подыптегральная функция, доопределепная единицей при х = О, будет непрерывна на полупрямой к > 0 и, значит, ннтегрируема по Риману на любом отрезке 1О, И, в частности, на отрезке (О, 11. Поэтому вопрос о сходимости, соотьетствснно абсолютной сходцмости, интеграла (34.10) эквивален ест~ вопросу о сходимости, соответственно абсолютной сходимости, интеграла в~п к — т! кз (34.20) Для исследования его сходимостп проинтегрируем его по частям: + + 5!и к à — т(х = — ~ — т((соз х) = — .)к ! + соя к /!! ( сот к — + ) созхт(( — ~=сов! — ) '.
с(х. к 3 3 ке В правой части мы получилн ш:теграл (34.18), который, как мы .тнаем, абсолютно, а значтм, и просто сходтггся. Гаким образом, оба получившихся выражения в правой части имеют смысл„т. е. конечны, поэтому, во-первых, проделанное интегрирование по частям законно, а во-ьторых, левая часть также конечна, т. е. интеграл (34.20) сходится.
Заметим, что в результате интегрирования по частям интеграла (34.20) мы заменили его суммой некоторого конечного выражения и другого несобственного интеграла, у которого в знаменателе подьштегрального выражения стоит более высокая степень к, чем в (34.20), а в числителе ограниченная, как и (34.20) функция. (4 получившемся итьтеграле подынтегральная функция быстрее сгрешгтся к нулк>, чем и исходном, точнее, 1сов к( т')ва к1'т = о~ — 1 при х- со.
к Поэтому его сходимость оказалось легче непосредственно исследовать, чем сходимость исходного интеграла: оп оказался даже не просто сходящимся, а абсолютно сходящимся. ф 8«Неспосспеннзсе инсегралн с Несхпнспннлп пределппи !згпх! с(х ! (34.21) расходится. Действительно, из неравенства ! — соз 2х '!з!пх1> з!п'х= 2 при любом а ) 1 имеем и О и !зги х! ! Г сгх ! ! со»2х (34.22) х е' 2 ,) =х 2 3 х ! ! ! + сгх Интеграл ~ — ' расходится и равен + со. Игпеграл же ! х +ОО дх сходгггся. Чтобы в этом убедиться.
проинтегрируем соз 2х х ! его по частям + +ге +с» — — .Г~ Н= со»2х ! ! ! . згп2х!е ( — дх= — ~ — -с!(яп2х)=-, ~ — ) з!п2хс)~ — с!= 2х ~! 3 ( х! ! ! ! +~ = — + ) — дх. Мп 2 ( згп 2х 3 хз ! + ее ' со. 2х Сходнмость интеграла ~ —" с(х непосредственно следует из х ! згп 2х сходимости интеграла ~ —,, дх, что устанавливается анало! гично сходимскти интеграла (34.18), Переходя теперь к пределу при а- +оо в неравенстве (34.22), получим, что правая, а следовательно, н левая часть этого неравенства стремится к +оо и потому интеграл (34.2!) расходятся. Таким образом, игпеграл (34.2!)), а сишчиг, и гистегрпл (34.19) не сходятся абсолкано.
Метод исследования сходимосги несобственных интегралов, прн котором исследование сходимости данного интеграла сводится к псследованиго сходимости другого интеграла, который в каком-то смысле «лучше сходится», чем данный, называется не!подом улдчсиения сходссмоссгги. Покажем теперь, что интеграл (34.20) не сходится абсолютно, т. е.
что интеграл И,4. Критерий Коган. Лбсалгатно сходяирнеся несобственные интегралы 473 В заключение докажем один достаточный критерий сходнмости интегралов, называемый обычно признакои Дирихле. Теорема 7 (призиак Дирихле). ттусп~ь.' 1) с)тункция 1 непрерывна и имеет ограниченную первообразную г тгрсс х>а; 2) срункция р непрерывна ди4нрюретсцируеиа при х > а; 3) суункция д монотонно убывает при х>а; 4) 0гп у [х) = О, к + тогда интеграл 1(х) о(х) дх а (34.23) сходигтгся. До к а з а т е л ь с т в о.
Прежде всего заметим, что в силу сделанных предположений функция 1у непрерывна, а значит, и интегрируема по Риману на любом отрезке [а, Ь1, аСЬ<+оо, и потому имеет смысл говорить о несобственном интеграле (34.23). Интегрируя по частям на отрезке получим 1 ! (х) у(х)с(х=- ) ц(х) дЕ(х) =- а в =д(х) г" (х) /, — ) г(х)у'(х)дх. (34.24) а Исследуем поведение обоих слагаемь|х праной части приЬ -+оо. В силу ограниченности функции с" (см.
условие 1 теоремы) М = зцр ! г" (х) 1 с. + оо, ! р(Ь) Р(Ь)1< Мгт(Ь), поэтому == — М ~д'(х)с1х =- М (у(а) — ЬЯ) <Мд(а), и в силу условия 4 теоремы !пп д(Ь)г" (Ь)=0. в»+со Далее, из монотонного убывания функции дследует, что д'(х)<0 при х>0 и поэтому ~ ! Е(х) р'(х)1дх < М ) 1гт'(х,)дх =- ф Я. Несобсспенние инсегГХ1лн с бесхоненньти иоеделоми ибо из условий 3 и 4 теоремы следует, что д(х)> О, в частности, что п(й)- О. Такпл1 образсг51, н1ггсгралы ь ) ( Е (х) сс' (х)( с(х а ограппчепы в совокупности при всех й)а, и поэтому интеграл + г (х) о' (х) с(х л абсолютно, а значит, и просто сходится, т. е. существует конечный предел ь 1пп ~ Е(х) о'(х)с(х.
""+ о Мы доказали, что в правой части равенства (34.24) оба слагаемых при Ь вЂ” е +со имеют конечный предел, а значит, и предел левой части прн б — и +со конечен, а это и означает сходимость интеграла (34.23). Теорема доказана. Применим признак Дирнхле к нсследовашпо сходнмости интеграла + — „— с(х, а)0. (34.25) 1 Функпия 1(х) = з(п х имеет ограниченную первообразную ! Е(х) = — соз х, а пепрерывпо ди$ференпируемая функция сх(х) =— Х прн о ) О монотонно убывает и стремится к нулю при х-1. +По. Все условии теоремы 7 выполнены, поэтому интеграл (34.23) сходится.
Следует, однако, иметь в виду, что признак Дирихле дает только достаточные, а не необходимые условия сходнмостн интеграла; поэтому не всегда с помощью его можно решить вопрос о сходилюсти интеграла. 1-1апример, исследуем сходимость интеграла +в 51П ХдХ вЂ” а)0.
(34.26) Х вЂ” 51П Х 1 Попысасмся применить признак Лирнхле, положив ) (х) = з(п х и д(х).= — — . Очевидно, что и(х)ньО при х-~+со. 1!ай- Х вЂ” 51П Х а4Д. К!агеевич Коша Абталютно еходюниетл нееобетленнме ннтегоала 475 дем пронзводнунн + ' + «т г(х и ~ етл т(х (34.28) 1 ! сходятся по признаку Дирнхле прн всех ск >О. Интеграл гне У 1 —,.'-+ Ы1" ! ! ! СХОДИТСЯ ПРИ 2С!) 1, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
