Кудрявцев Л.Д. - Математический анализ (1077055), страница 74
Текст из файла (страница 74)
Г=! ! ! Обозначим через г, и 6 множества внутренних точек множеств 0 и 6. Очевидно, 0 и 6 — открытые множества и т т' т т дтсбсб„ поэтому, согласно определению площади, пл. дт < тез б < пл. б . (32. 8) Площади круговых секторовй»г,т и бг,, равны соответственно ! 2 ! 2 -тгяЛ»Р! и — МтЛтР,; из элементарной матемелики известно, что прн сложении фигур их площади складываются (см.
об этом также в и. 44.1), отсюда пл. 0 =- — и,'Лгр„ 1 ж» ! ! пл. б - — ~)'„М~2ЛтР,. 1 2 г= ! Иа этих равенств видно, что пл. д и пл. б. являются соот- ветственно нижней и верхней суммами Йарбу для функции 22.2. Обы л тех оросненор 1 — ро(о) на о1резке 1а, ()1: 2 в =. пл.
дт Ят = пл. бт, отк уда р в < — ~ р' (ср) с(ср < Ь' (32. 9) а Вычитая зто неравенство из неравенства (32.8), переписанного в виде Я > шев6) в, получим в .— Я, < спев 0 — — ~ р'(ср) с(<р<.С,— в„ отсюда в пределе при бт-ь0 имеем гнев б — ( р'(ср) Г(ср, 2 ! Рис. ГаГ Это и есть искомая формула. В качестве примера найдем пло1цадь 8 фигуры, ограниченной кардоюндой р ==- а(! + сов ~р) (см. и.
!7,5), которая изображена на рис. ! 01. По формуле (32.8) получим 8= — 1(!+совср)'дф= — ' 1 с(ср+а'~сов~р1йр+ 2 2,! о о о + — ! оо Р 1+освар 3 сйр = — ла". 32.2. Объем тел вращения В конце п. 31.2 отмечалось, что понятие объема в пространстве вводится аналогично понятию площади на плоскости. Выведем формулу для вычисления объемов тел вращения. Пусть функция 7 непрерывна и неотрицательна на отрезке !а, И. Сохраним обозначения, введенные в теореме 1 п.
32.! и ее доказательстве. Пусть (à — тело, образованное вращением криволинейной трапеции 6 вокруг оси Ох. Покажем, что о 1певя = л !р)'(х) дх. (32. Рй) а Э З2. П>тало»«ения ояредеяениого иитегоаяа Пусть т — какое-либо разбиение отрезка [а, 6!. Обозначим через >!т и >,.> тела вращения, образованные вращением «ступенчатых фигур» д н 6 вокруг осн Ох. Из включения (32.3) следует, что >)«С>>СЯ„ а потому и >пездт < >пезД < >пез9 . (32.
11) Объемы о и )т множеств >) и Я равны суммам объемов цилиндров, образованных вращением прямоугольников д, > и 6« > (рис. !02): и =>пез>) = '~',пт,'Ах„ »= '»> =->пезЯ = ~',яМ;Лх>. »= Из этих равенств видно, что ьх и 1' являются нижними и верхнимн суммами Дарбу функции пг«(х), поэтому о < н ~~»(х)>!х < Ъ~«, (32,12) и и так как функция г» интегрируема, то 1пп ((тт — ц,! — — — О. (32. 13) 6 -о Из неравенств (32.
1! ) и (32.!2) следует, что Рие. >>>и » ст — Г, < и ~ 1«(х) >(х — гпез 9 < Мт — о,, откуда в силу (32.13) и вытекает формула (32.10). Г1 римеры. 1. Найдем объем У шара радиуса е. Рассматривая этот шар как результат вращения полуокружности у='у и« вЂ” х», — т <х <т вокруг оси Ох (см. рис. 96), по формуле (32. Г0) получим ля» >» г « )т = и ~ (т» — х') >!х = ятгх > — — ~ = 2пт» — — ят» = — пт». з1, з з -г 82.д, Пмчислеиие длине> каиаай 2.
Найдем объем 'к' прямого кругового конуса с высотой, равной Ь, и радиусом основания г. Рассматривая указанный конус как тело, полученное вращением треугольника с вершинами в точках (0,0), (й, О) н (Ь, г) вокруг оси Ох (рис. 103), получим, согласно формуле (32.10), и о Рис. >ОЗ Рис >04 3. Найдем объем и' тела вращения, полученного вращением вокруг осии Ох графика функции у =- а с)>„-, — (> < х ~ Ь. Зтот график называешя >(епнай линией (рис. 104). По формуле (32.10) получаем и У = ла' ~ с)>и — >1х = — 1+ с)> — >(х х иа' 2х> а 2 )(, а] -и — Ь Гпа"х пак 2х >и е иак 2Ь + — ай — ~ = па'6+ — з)> —.
2 4 а ~ — л 2 а Из рассмотренных в этом параграфе примеров уже отчетливо видна сила и общность методов интегрального исчисления: единым методом быстро и просто получаются формулы для площадей и объемов, как известные ранее из курса элементарной математики, так и совершенно новые. В ближайших пунктах мы рассмотрим еще ряд задач, также легко решаемых методами интегрального исчисления. 32.3. Вычисление длины кривой Мь> рассмотрели ряд задач, приводнп>их к понятию определенного интеграла. Все онн имеют то общее, что в нпх определение значения какой-то величины приводилось к одре>делению 432 й а2.
Прилоиеенин онределенного интеграла предела некоторой интегральной суммы прп стремлении мелкости разбиения к пулю, т. е. к определенному интетралу. Существует, однако, другой круг задач, также прнводюцих к понятию определенного юпеграла. Именно, если известна скорость одной величины относительно друпзй и требуется найти первую величину или, говоря точнее, если дана производная, а требуется найти саму функцию, то эта задача также решается с помошыо определенного интеграла, так как такой перпообразной является например, определенный интеграл с переменным верхним пределом.
В качестве примера подобной задачи рассмотрим вычисление длины дуги кривой. Пусть кривая 1' задана параметрическим векгорпым представлением г=г(!), и <1< Ь и пусть функция г(!) пепрерыиюдифферепцпруема па отрезке !а, Ь!. Тогда, как мы знаем, кривая Г спрямляема и переменная длина дуги з(!), отсчитываемая от начала г(а) кривой Г, является также непрерывно дифференцнрусмой функцией параметра ! на отрезке [а, Ь), причем (см. и. 16.3) Поэтому в силу формулы Ньютона — Лейбница (замечая, что з(а) = О) для длины 3' = ь(Ь) кривой Г получим Яг а(Ь) — з(а,= ~ — тт(. 1" тт~ ~ л! а Таким образом, Если г(!)=(х(1), у(1), х(1)), то ь ь(1. (32 14) В случае, если кривая Г является графиком непрерывно днфференцнруемой функции у = !(х), о~(х < Ь, зо формула (32.14) принимает вид ь 3 -- ~ $~1-1- Ге(х) т(х.
(32. 15) а 12 3. Вьмиовеиие девин кривой П р и м е р ы. !. Найти длину Я дуги параболы у = АР, О<х<Ь Замечая, что у' = 2ах, согласно формуле (32.15), имеем ь я=! $'!~.4 '*и*. в (32. 16) Неопределенный интеграл Из получившегося относительно 1 уравнении найдем его значение: 1 = — х)~'1+ 4а'х'+ — 1п ~ 2ах+ )Г1+ 4аех'!+С.
2 4а Теперь легко получаем величину интеграла (32.16): 5 = — й )Г1+ 4аейх + — !п ~ 2пЬ + )~ 1+ 4аеох !. 2 4а 2. Найти длину кривой х=асозв1, у=-аз!пхд Эта кривая называется астрондой, и с ней мы встречались раныве(см, рис. 6!). Астроида симметрична относительно начала координат.
Ее части, лежащей в первой четверти„соответствует изменение параметра г' от 0 до —. Вычислим длину Я этой части (равной, очевидно, одной четвертой длины всей астроиды). Замечая, что х' = — За созе ! я и 1, у' = 3а я па ! сов 1, по формуле (32.14) (в которой следует положить г' =- 0) получим а Тг 5=-) 'у 9а'сов'1яп"--! -1-9а япе(соь" 1Л =- — ) яп2й!! =- —. 2 о 2 вычислим следующим образом: проинтегрируем его сначала по частям; затем к числителю дроби, получившейся под знаком интеграла, прибавим и вычтем единицу, произведем деление и проинтегрируем одну нз получившихся дробей: 4аххв ! == ) у' 1+ 4а'хМх = х у' 1+ 4а'х' — ( е(х = У! + 4ахх" =х )/1+ 4а'х" — ~)Р1+4а'ххг(х+ (— .! У' 1 + 4а'хе = х 1'"1+ 4ахх' — ! + — 1и ~ 2ах+ 1~1+ 4ахх' ~. 2а а 82.
Приложения олрегуеленного интеграла 3. Найти длину 5 дуги эллипса х = а з(п 1, у = (> соя 1, О < 1 < 2п, от верхнего конца малой полуоси до его точки, соответствующей значению параметра (~ [О, 2п[. Полагая )Гав Ьв (е — эксцентриситет эллипса), имеем >*л-»"=В>г в ~~в а *в= >т:"'йв, поэтому В=а) )>1 — еез(пвЫг, О <е<.1. о (32. 17) 32.4. Площадь поверхности вращения Пусть функция г определена и неотрицательна на отрезке [а, (>). Возьмем какое-либо разбиение т = (х,),'.=,", отрезка [а, (>) и впишем в график функции 1 ломаную, соответствующу>о разбиению т, т. е.
ломаную с вершинами (х„у,), где у,=:7(хв), 1==0, 1,..., й (рнс. 106). Ее звено с вершняами (х»„у;,) н (х,, у,) прн вращении около оси Ох описывает поверхность, вообще говоря, усеченного конуса„площадь которого равна п(у;, +у,) )гЛх, + Лу, где Лу> =у,— у; >, дхв =-х,— л., т':=О, 1,..., /г. Мы получили эллиптический интеграл второго рода, который, как известно (см. п. 26.6), не вычисляется в конечном виде, т. е. формула (32.17) в данном случае является окончательным ответом. Приближенные значения длин дуг эллипса можно получить„либо непосредственно вычислив приближенно интеграл (32.17), либо воспользовавшись имеющимися таблицами значений эллиптических интегралов. У и р а ж н е н н я. 2.
доказать, что если плоская кривая задана в полярных координатах непрерывно днффсрснкнруемым представленном г = г(ф), св < >р М р, то для ее кланы а нмест место формула а=~у'гв+'Нр. (32. 18) 3. Найти длину дуги логарафмнческой спнралн г = огвф от точки (Ч>„га) до точки (ф, г). 324. Площадь поверхности вращения !1оэтому для площади 1., поверхности, получаюшейся от врашения всей рассматриваемой лол!аной вокруг оси Ох, справедлива формула = Х п(у,, +у )),сДхв+ Д11.
! ° ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! Определение !. Предел Е = 11!и 1 (32. 19) о о низывается площадью поверхности вращения, образованной вращением графика функции Рос. Юз вокруг оси Ох. Пусть функция 1 непрерывно дифференцируема на отрезке (а, Ь). Покажем, что в этом случае предел (32.19) всегда существует, н найдем формулу для его вычисления. Положим (32.20) Д =1. +1 ° 1' усть 1'(л,) =- у!, 1 = О, 1, ..., /г, и пусть ! ! Ъ1 т/,! Суммы о и о являк!тся суммами Римана для функции у)! 1+у', которая непрерывна, а значит, и интегрируема на отрезке !а, б); поэтому 1!и о,„=.: !ига о = л ~ ! 'г' 1-! у' с1х. (32.21) Ьт-о Ьт- о в язв б Эд Пряли>гения оиределенного ингегрило Оценим теперь отклонспне сумм о и о соответственно от сумм1 нГ,, Прежде всего, по теореме Лагранжа имеем Лу, = ~' К» Лхр к; > <" $> <.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
