Кудрявцев Л.Д. - Математический анализ (1077055), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Извесч но что х хедх = — + С, 3 поэч ому 1 яд 2. Найти ) гйп хдх. о Имеем тйп хдх= — созх ("=- — созя+соз0=2. о о а 30. метОды Вычисления ОНРеделеннОГО ИНТЕГРАЛА 30.!. Замена переменного 6 ~ )(х)с(х.=- () (ц(1)) т''(1)Ж, (30.1) или, чсао опо сее ~')(х)дх-- 1)т(1Ид «) (30.2! Теорема Е !!усппь 1) функция )(х) непрерывна на оп1 резке (а, Ь), 2) функция Ч4) определена и непрерывна влгеттпе со своей проса- водной <р'(1) на оп~реэк~ (и, /5), прпчеля а =.
~р(а) ч,- ~р(() «.' Ч~((1) = Ь, и ~-.„. г .:;. 1), иО 'до ь!о яа Методы лниитлеиил переделенного иитегпили [! ~/ [ч (1)[то'(1) о[1 =- Ф [о (р)[ — Ф[то(а)[= Ф(Ь) — Ф(а). а Из этих равенств и следует формула (30.1). Теорема доказана. Пример. Пусть требуется вычислить !ии интеграл ) )т е-' — 1т(х. +у'), е[х= —, и, аунг ь+зл 1, поэтому Положим у = [т ел — 1, тогда х =!и (1 кроме того, если 0 < х <!и 2, то 0 < у < !ит ! ! ~ )те' — 1 е[х =- 2 ~ г т = 2 ~ ~1 — — ) ау= о ! л — и = 2[у — агс!й у[ о х Эта формула называется т/!орл!(тлой замены переменного и от!ределенном англеграле.
Формула (30.2) показывает, что с символом ах под знаком определенного интеграла в случае, когда х является функцией х(1), можно формально обращаться, как с дифференциалом, т. е. писать т(х = = х'(1)11. ь----- Доказательство. Прежде всего заыетим, что по условию функ- 11/ цня / определена на области значе! ! ний функции то (рис. 89), поэтому имеет смысл сложная функция/[тг(1)1, ! ! В силу сделанных предположений ! подынтегральные функции в обеих ! частях формулы (30.1) непрерывны, а поэтому оба интеграла в этой форРиа К9 муле существуют.
Пусть Ф(х) — какая-либо перво- образная на отрезке [а, Ы для функции/, тогда имеет смысл сложная функция Ф[!Г(1)[, которая является первообразной для функции /[тГ(1)Ьр'(1). По формуле Ньютона — Лейбница (см. п. 29.3) е[/(х) дх.-.=Ф(Ь) — Ф(а), О 4)) "О.д Инттгрвр»явння яо чагтян 30.2. Ин)егрироааиие по частям '1'еорема 2. Если функции и --- и(х) и и =- о(х) непрерыв ны вмеппе со своими производи»охи на отрезке (а, И, пю иди= !ио)» — ') оди.
и (30.3) Эта ))х)рмула называется формулой интегрирования по частям для определенного интеграла. Докааательство. Имеем ь ь ) (ио)'ах =~(ио'+и'о)дх=') иди+ ) оди. (304) Все втн интегралы существуют. ибо подынтегральные фуикиин неп()ерынны. Но, согласно формуле Ньютона — Лейбнипа ь ~ (ио)'дх =- (ио)",. а Сравнивая (30.4) и (30.5), получим ь ь ~ идо+ ~ иди= (ио)», я я откуда и следует формула (30.3). Теорема доказана. (! ример. Найти значение интеграла ) 1п хдх. ) Применим формулу интегрирования по частям: я я !п хдх = х (п х ~ ' — ~ дх — — - 2 !и 2 — !. ) ) Теорема2 легко обобщаегся паслучай так называемых кусочнонепрерыапо дифференпируемых функций.
Определим в) и функции. Определение 1. Функция ! называется кус)мно-непрерывно дифференцируел)ой на отпрезке, если ее производная куазчно-непрерывна на этол) оп)резке. Теорема 2'. Пустпь функции и(х) и о(х) непрерывны и кусочно- непрерывно дифференцируелты на отправке (а, Ь), тогда для них справедлива формула (30.3) интегрировиния по час)пни. й ЗО Методы вен!валеная оааеэеленноео интеграла г!9 Локазательство.
Г1усть т= (х!)', — такое разбиение отрезка 1а, б), что на каждом отрезке [х! !, х,) этого разбиения функции если х! ! (х е' хи если х = х! — т, если х=хо и (х), и,.(х)= и(х; !+О), и (х! — О), если х; ! (Х(х! если х=.х! — !.
если х=хг, о(х), о,.(х)=.= о(х! — т+О) о(х,.— О), к! к! и!е(о!=и,о,~ ' — ) иге(и,. !'=-1, 2, ..., /г. ! — ! ! — ! Подставляя это выражение в (30.6) и снова используя формулу (28.38), имеем ! к е к! е Ь ~ иеЬ = ~" иго! ~ "' — "«~ ~ оге(и! =- "«'„и,о, ~ "' — !)' ое(и. (30.7) е != ! ! !к ! —." ! е т-! Из непрерывности функций и(х) и о(х) вытекает, что и (хг -- О) о (х — 0):.= и (х, + О) о (х, + О), 1 =.— 1, 2„..., й — 1. Поэтому ~~~~ и о! ~ ' =- ив ~, /-! и„следовательно, из (30.7) получается формула (30.3) для рассьитри- ваемого случая. являются непрерывно дифференцируемыми функциями.
Существование такого разбиения т следует (почемуй) нз кусочно-непрерывной дифференцируемости функций и(х) и о(х) (см. определение 1 из п. 28.3 и определение в настоящем пункте). Согласно формуле (28.38), имеем е "! )е ибо =- ~«' ~ и,г(о!. (30лб!) е ! ! к г-! В силу же формулы (30.3) интегрирования по частям непрерывно днфференцируемых функций получаем етеа Определение меры (елотлеги) от«риты«л>не»ее«те й 31. МЕРА ПЛОСКИХ ОТКРЫТЫХ МНОЖЕСТВ 31.!.
Определение меры (площади) открытых множеств Рассмотрим плоскостгь на которой зафиксирована некоторая прямоугольная система координат. Обозначим через Т, разбиение этой плоскости на замкнутые квадраты, получающиеся при проведении всевозможных прямых х = р, у = д, р = О, +1, Л-2,..., д = О, ~1, ~2, .... Такое разбиение назовем кгадрильяягел> пласт«ости ранга О, а указанные квадраты — квадрап>ал>и нйлеоого ранга. Разобьем каждый из квадратов нулевого ранга на !00 равных квадратов прямыми, параллельными осям коорди- 1 нат и отстоящими друг от друга на расстояние — . Совокупность 1О ' получившихся квадратов обозначим Т,. Продолжая этот процесс дальше, будем получать квадрнльяжи плоскости Т , и> =- 1, 2, ..., состоящие нз рл - -!ф~~'~— квадратов, полученных в результате разбиения плоскости всевозможными прямыми вида х 1рт У щт ° р=О, ~1, ~2,..., а = О, ь 1, ~ 2, ..., н, следовательно, со сторонами 1 длины —,„„, .
Квадраты, принадлежащие квадрнльяжу Т, будем называть квадратпами ранга пк тп==!. 2.... Пусть б — плоское открытое множество. Обозначим через 5» =- 5»(6) совокупность точек всех квадратов нулевого ранга, лежащих вместе с границей в множестве б, через 5, = 5,(6)— совокупность точек всех квадратов первого ранга, лежащих в б вместе с границей. Вообще через 5ы = 5 (б) обсзначим совокупность всех квадратов ранга щ, лежащих вместе с границей в множестве б, щ =- О, 1, .... Очевидно, что (рис.
90) 5»с:5,с...с5 с:...сб. (31.1) Множества 5», 5„..., 5„„... представляют собой «мпогоутоль- ицки», составленные нз конечного или бесконечного числа квадра- 414 ф 31. Мера алоских открытых мни«теста тов соответствующего ранга. В случае, если Бе, состоит из конечного числа квадратов, обозначим площадь многоугольника Я через пл.
Б , если иге 5,„ состоит из бесконечного числа квадратов, положим пл. Ям «» + оо. Если какое-то 5, состоит нз бесконечно~о числа квадратов, то и все следугощие Ь,„, пг-.»т„, также состоят из бесконечного числа квадратов. Из вклгочений (31.1) в силу соглашения об использовании символа + тю (см. п. 1.2) следует, что всегда пл. 5« < пл. 5г « ... пл.
Б < .... (31.2) Возможны два случая. 1. Все пл. Я,„коггечггы, тогда (31.2) является монопгнно возрастающей последовательностью, и поэтому она имеет либо конечный предел, либо стремится к +со. Этот предел в этом случае н называется плогйадью, или мерой, открмпюга множества 6 и обозначается гпез 6*г. 2. Если же существует такой номер т„что пл.
о,„, = + со, то пл. 5„, = +оо для всех номеров пг>та. В этом случае положим пгез6= + оо. Для удобства будем считать по определешно, что последовательность элементов а„, и =- 1, 2,..., таких, что начиная с некоторопг номера, они все равны + оо„имеет своим пределом + оо, и будем писать 1пп а =- + оо. Используя это соглашение, оба рассмотрен- П ных выше случая могкно объединить в один.
Сформулируем окончательное определение. Определение 1. )гредел Вгп пл. Бта(6) (конечный или бесконсчм» ный) назьигаепгся площадью, или мерой, аткрьапага мнажестггва 6 и обозначаепгсл гпез 6: гпез6 =. 11пг пл. Я„(6). м" (31.3) Такое определение меры открытого множества естественно, так как последовательность множеств 8, пг = О, 1,..., исчерпываег открытое множество, т. е. 0 0 3„=--6, м 0 «г От грранцуэсаото слова гвеэит — мера, раэагвр. иначе говоря, для лгобой точки Р с 6 существует такой многоугольник Я„„что Р ЕБ«ке 81.2 Монотонность лгеры открытие множеств 4!а Действительно, какова бы нн была точка Р г= 6, в силу открытости нножества 6 существует сферическая окрестность 0(Р; в)с:6, в) О.
Заметив теперь, что диаметр квадрата ранга ат равен —, выберем нго так, чтобы Рнс. Э1 31.2. й)онотонность меры открытых множеств Теорема 1. Если 6 и Г плоские огпкрагггыс лгноже- сгпва и 6сГ, (31.5) гпо гпез6 (гпезГ. (3)иб) ° г См, также п. 44.1 (квадрнруемые многкества). )гу», /~ (31.4) Для всякой точки плоскости существует по крайней мере один квадрат каждого ранга, содержащий эту точку. Пусть 6, — квадрат ранга гпе, содержащий точку Р. В силу неравенства (31.4) У с6(Р; в) и, значит, 9,с6, но РЕ (~,„„поэтому Р Е 5„„(рнс. 91).
Утверждение доказано. Из курса элементарной математики известно, что в случае, если l открыгое множество 5 является многоугольником, то его площадь, являющаяся по определению и площадью замкнутого многоугольника 5, совпадает с определенной нами мерой: пл. 5 == пл. 5 =. гпез 5а г. Если открытое множество 6 ограничено, то всегда гпез 6 < +оо. В самом деле, если 6 ограничено, то существует замкнутый квадрат Я, содержащий множество 6: 6 с ф, и являющийся объединением квадратов пулевого ранга, тогда 5„(6) с: 6 при любом ггг = О, 1,..., и, значит, пл. 5м(6)<пл.
Я. Таким образолг, последовательносп (3!.2) ограничена сверху, и, значит, предел (31.3) конечен. Задача га. доказаттч что мера гггкрытого множества не зависит от выбора приьюугольвоа системы координат на плоскости. яг. Мера плоски» открыты» множеств До к а з а т е л ь с т в о. Обозначим, как и выше, через Бы (6) и ЯндГ) совокупности квадратов ранга т, лежапшх вместе со своей гранпией соответственно в множествах 6 и Г, и = 1, 2, .... Тогда пз условия (31.6) следует, что 3 (6) с:3 (Г), откуда пл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
