Кудрявцев Л.Д. - Математический анализ (1077055), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Используя это, получим Мс — т, =- знр 1(х) — пб )'(х) — знр 11 (х") — 1(х')1 хс гахн хг кс !~к .хс кс ! х.х ~кс кг ! нх" хх =..о>с(1), !=1, 2, ..., й, поэтому е Ют — з,== ~ (М! — т!)Ах,= Хмсч)бхс. ! ! с=-! Положим теперь 1=:-знрз, 1=1п(бт, е т 1 называется нижним иногггралол! Дарбр, а 1 — ггрхнгсм.
Из свойств 1 и 2 интегральных сумму Дарбу следует, что если функция 1 ограничена, то как ннжпий ее интеграл Яарбу, так и верхний конечны. Из следствия свойства 2 следует так>не, что 1:" 1 (27.7) !1!и (,2 — з ) = О. атчв (2?.8) 27.4. Необходимые и достаточные условия интегрируемости Теорема 2. Для того чтобы ограниченная на неко!!!орал! отрезке 4уннс(сся была интггрссрс7г>на на згяом с!трез>се, нгобходсслсо и доесяапгочнсг, чтобы гти Необходимые и догтотоииые условии интегрируемости Условие (27.8) означает (см. определение 3 в и. 27.1), что для всякого в ) 0 существует 6 = 6(е), такое, что ! ~т ат1(а (27.9) для любого разбиения т мелкости 6.
«, 6. Поскольку з ~ Ь', то неравенство (27,9) равносильно яеравснству Ят — а, (а До к аз а т е л ь с т во н е об х од и м о от и. Пу тьограниченная на отрезке (а, 61 функция 1 интегрируема на этом отрезке и пусть ь /=10 )д, и тогда 1нп от =!. бт о Отсюда при бт~б, согласно свойству 3 интегральных сумм Дарбу (см. п. 2?.3), получаем неравенство ! — а <а,< 5, < ?+а. Таким образом, если бт«,6, то 0<8 — з <2а, а это н означает выполнение условия (27.8).
Доказательство достаточности. Пусть функция 1 ограничена и имеет место (27.8). Из определения нитяного и верхнего интегралов Дарбу н нз неравенства (27.7) имеем ас <7<7 <5 ю (27.10) поэтому О < Х вЂ” т' < 8 — з, отк гда в силу (27.8) следует, что ! — Т= О. Обозначая нх общее фначспне просто через /, т. е. 7 = 7 = 1, из (27.10) получим ат~~< т Поэтому для любого е)0 существует 6=6(в) >О, такое, что если бт«" 6, то 1от — 11«в, нлн I — е «" от«, 7+в. й г7 Онрелелсннма интеграл и потому 0~ ! — з,~~,цт — тт ') ~5т — ! ~~5т — вс. Отсюда и силу (27.8) следует, что !цп (! — вт)= !!пз(Я,— !) =-О, Ь,-о 6т" о а значит, (27.11) !!пз з =1пп Я =-!.
6 -о 6 -о Но в силу свойства 3 интегральных сумм Дарбу (см. п. 27.3) зт чь от ~~ ~т- (27.12) Из (27.11) и (27 12) следует (ср. аналогичные утверждения в п. 3.1 и 4.5), что !нп о =7, 6 "о Задача 14. Доказать, что, для того чтобы функция была интегрируема на отрезке, необходимо и достаточно, чтобы она была огравнченв и чтобы ее нижний н верхний интегралы Дарбу совпадали; нри этом общее значение втих интегралов н является ее интегралом, 27.5. Интегрируемость непрерывных и монотонных функций Теорема 3. срункцггя, определенная и непрерывная на некогпоролг отрезке, интегрируема на зпюм отрезке, До к а з а т ел ь с т во. Пусть функция ! непрерывна на отрезке (а, Ы. Из непрерывности функции на отрезке, во-первых, следует ее ограниченность (см.
п. 8.1), а во-вторых, ее равномерная непрерывность (см. п. 19.5) на этом отрезке, т. е. )нп ы (5; !) == О, (27.13) 6-.о где ы(Ь; )) — модуль непрерывности функции (, это н означает интегрнруемосгь функции 7, Теорема доказана. С л е д с т в и е. Если Функция ! интегрируема, то не только ее интегральные суммы Римана, но также и интегральные суммы Дорбу стремятся к ее интегралу, когда мелкость разбиения стремится к нулю.
Действительно, если фуисция ! ннтегрируема, то выполняется условие (27.8), а из него, как мы видели, и следует условие (27.11). 227 3 Интеерируеноеть ненреривннк и нонитаннык функчиа Согласно свойству 4 интегральных сумм Дарбу (см. п. 27.2). для любого разбиения к= [х,)', ь отрезка [а, Ы ~.(Π—,(Л= ~;ад ь -1 где ьтт ([) — колебания функции [ иа отрезке [хл 1, х,[, 1 = 1, 2, ..., е Замечая, что ил, (7) = зцр [) (х") — ) (х')1 < я1р [) (х") — [(х')[ = ьл (бт, )), 1<к'<» 1 к"-к' 1<4 кл 1<» "<»1 а<к <Ь а<»'<Ь имеем от(7) — а,У) - ~'ьлтФЛхт<ьт(бт' 0 2, Лхт=(Ь вЂ” о)ьл(бт: О.
Отс1ода в силу (27 13) следует, что [цп [Бт ([) — ае ([)1 = О, а т поэтому (см. п. 27.4) функция 7 интегрнруема на отрезке [а, Ы. Теорема доказана. Теорема 4. ерункцпя, определеннпя о монотонная на оп1резкг !а, Ы, итопггрнруелш но этом огпргзке. До к а з а т ел ь с т в о. Пусть функция 7(х) монотонна на отрезке [а, Ы, например,монотонно возрастает на этом отрезке. Тогда ) (а) < [(х) < 7 (Ь), а ~< х < Ь. Таким образом, функция [ ограничена на отрезке [а, Ь), Далее, для л1сбого разбиения т= [х,),', отрезка [а, Ы, очевидно, имеем т1=-[(х; 1), б41=7(хл), 1=1, 2..., )г, поэтому ~т()) — ат([) =.'. (441 — тл) бх,.= 1=1 = ~."1 [~(хл) — ~(х1-1)[Лх,.
<бт ~ [7(хл) — 7(хт 1)[= л 1 1=1 =- [[(Ь) — [(о)1 б, ибо в сумме ~х.", [7(хл) — 1(хл 1)1 взаимно уничтожаклся ьсе ела 1 гаемые, кроме 1(Ь) и )'(а). 390 б 2В. Свойство интеарируен>нх функций Из полученного неравенства следует, что [нп [5 ([) — з, ([)1 = О. б -о Поэтому (см.
п. 27.4) функция 1 ннтегрнруема на отрезке [а, Ы. Теорема доказана. У и р а >к и е н и е 2. Если функция 1 ограничена и непрерывна нв отрезке [о, о[, кроме, быть >>ожег, конечного числа точек, то она интегрируемв на этом отрезке. Задача >5. >зля того чтобы ограниченная на некотором отрезке функ.
ция бьла ипгегрируема на этом отрезке, необходимо и достаточно, чтобы для любого е ) О существовала конечная, или счетная, система интервалов, которые содер>кали бы все точки разрыва заданной функции и сумма длин которых была бы меньше заданного е. $28. сВОЙстВА интеГРиРуемых Функций 28.1. Свойства определенного интеграла Будем систематически, не делая специальных ссылок, употреблять обозначения и терминологию, введенную в предыдущем параграфе. Действительно, здесь подынтегральная функция равна единице, а поэтому для любой интегральной суммы Риь>ана о имеем а о =. ~,'а Лх, = Ь вЂ” а. г > 2. Если 4~нкция [ г>нтегрируе>иа на отрезке [а, Ы, то она г>нтегрируел>а на люболг отрезке [а", Ье[~[а, Ы.
Д о к а з а тел ь с т в о. Прежде всего, если функция [ограничена на отрезке [а, Ы, то она, очевидно, ограничена и па отрезке [а', Ь'1. Далее, каково бы ни было разбиение т'= [х>[; о отрезка [а", Ь"[ мелкости бт*, его всегда можно продолжить в разбиение т= [х>[> о отрезка [а, Ы такой же мелкости 6 = бт*, 'для этого добавим к точкам х',, г =. 1, 2, ..., й*, конечное число соответствующим образом выбранных точек, принадлежащих отрезку [а, Ы, но не принадлежащих отрезку [а*, Ь*1. 2Ю. Сеоос,тпа определенного интеграла зя! Полагая тс = (п1 1(х), М, = зир 1(х), кс !он~к! Лхс =х; — хс,, с =1, 2, „...
(с*, и замечая, что каждое слагаемое суммы ~с (Л4с — тс) Лх; яв- ! 1 ляется и слагаемым суммы,У, (М,— тс)Лхс и что все слагаемые с=! обеих сумм неотрицательны, имеем й" 0 <8 ° — з,.= ~г [Мс — т;) Лхс~~ с ! ~( ~ (М,— т,)Лхс=З вЂ” з,. (28.1) с ! Если функция с иитегрируема на отрезке [а„Ь[, то, как мы знаем (см п. 27.4), Исп (8 — з )=.О, (28. 2) Ь"о поскольку бт=. Ьт*, то из (28.2) и из неравенстна (28.1) следует, что Иш (Я,. — зт*)=О, Ьт п (28.3) т. е. (см. п. 27.4) функция 1 интегрируема на отрезке [а*, Ь*!.
3. Пцегпь и < е < Ь. Еелсс 4ирсссция 1 интегриррелсо ни оп!резках [а, с! и [е, Ы, спо с[сункция! сснстсегрссрсселси и на отрезке [а, Ы, причелс и с с ) С" (х) с(х ==. ~ 7" (х) с(х+ ) ! (х) с(х. п с с До к а з а т ел ь с т в о. Если функция 1 иитегрируема нз от. резках !а, с! и [с, с([, то оиа ограничена на каждом из этих отрезков, а значит, и на всемотрезке [а, Ь[, т. е.
существует постоянная А > О, такая, что [1(х) ! < А, а «~ х < Ь. (28.5) Пусть т — некоторое разбиение отрезка [и, Ы. Если точка с ие входит в разбиение т, то обозначим через т' разбиение отрезка [а, Ы, получасощееся из т добавлением точки о; очевидно, т' ~ т. (28,6) Если же точка е входит в разбиение т, то положим т = т', Э Ж Свойства ингегрируеигсх Функций зсзз В первом случае обозначим через Л' и Л" длины двух отрезков разбиения т,', примыкающих к точке с с двух сторон. Очевидно, что Л = Л'+Л' является длиной отрезка раебнения т, содержащего точку с(рис. 86). Верхние интегральныесуммы Дарбу 5 и З, функции / на отрезке 1а, Ь! отличаются только лишь слагаемыми, соответств)чощими отрезкам разбиения т и т', которые содержат точку с.
Рис. бб Обозначая через М', М" и М верхнюю грань функции 1)! на рассматриваемых отрезках, длины которых обозначены соответственно Ь', Л" и Л, получим (см. также (28.5)) 0<8 — 5 ° <М'Л'+М Л"+МЛ <А(л'+Л'+Л)= = 2А Л (2А 6, поэтому 1ип (Вт — Бт ) == О. б в Аналогично (28.8) 1пп(ят — Бт ) =О. и Во втором случае при т'=-т просто 8т'=Бт' а, с|+ ЧтЧс,си зт'=' зтиа,с)+атис, ь1 (28.9) поэтому ат' = (8т'[а, с3 зтда, с|) + (атис, 61 — зт'(с, Ц) (28 р0) и условия (28.7) и (28.8) также выполпяются очевидным образом. Совокупность точек разбиения т,', принадлежащих отрезку !а, с), образует разбиение этого отрезка, которое обозначим т'!а, с); совокупность же точек разбиения т', принадлежащих отрезку !с, 51, образует разбиение этого отрезка, которое обозначим через т' !с, Ц.
Очевидно, 2дй Свойство ооредввеоооео иотвтево и так как функция [ по предполо.,ению интегрнруемз на отр~зках[а,с[и[с, Ы,то !!П1 (5...— З,,) =О, !!Ш (5т ро Ь! — ат Ы,Ь1)=О. т'[а, с! гс. ь! Замечая, что б., <й ' бт'! Ьз< бс', отсюда и из (28.[О) имеем !ип (5.— а,,)=!пп (5т, ! — зт(„,,)+!!ш (5ты,ь! — зт!с,ь!)=О- от т'" (28.11) Мы видели выше, что выполнение подобного условия для л1сбых разбиений т, влечет за собой интегрируемость функции. Здесь же рассматриваемые разбиения т' имгчот специальный вид: они обязательно содержат точку с.
Для того чтобы перейти к произвольному разбиению т, представим разность 5, — з, в виде 5с зт (5т 5т')+(5с' зт')+(зт' зт! Теперь из (28.7), (28.8) и (28.11) имеем !ип (5т — а,)=О, о (28.12) и так как т было произволыюе разбиение отрезка [и, И, то из ограниченности <рункции ! на отрезке [а, Ы и выполнении условия (28.12) следует ее интегрируемость на этом отрезке.
Из интегрируемости функции 7 иа отрезках !о, с[, [с, Ы и [а, Ы следует (см. п. 27.4), что ь ь !нп 5тс,, =1!(х)г[х, !нп 5т „, = ~г(х)с1х, т [а,сс т'!Ь. с! И ш 5 ° = ~ г (х) е[х. 6т -о ) Я (х) + у(х)! с[х = ~ ! (х) Лх+ ) .е (х) т!х. (28.13) Поэтому, переходя к пределу при 8 ° — О в первом равенстве (28.9), мы и получим формулу (28.4). 4. Если функции 7 и д интпегрируемы на отироэтье [а, 'о[, то их сумма /+ и типкже интеерируема на етом оосрезке и Е 28, Снойсгаа ннгегрггруемих функций Лак а затея ьство. В самом деле, каково бы ии было разбиение т .= (хг),.г „отрезка (а, 61 и точки Ц ( (хг ы х,1, 1=1, 2, ..., Фг, имеем (28.14) Поскольку в силу интегрируемости функинй 1 и а существуют пределы интегральных сумм а.,(1) и о,(д) при 6 - О, то из (28.!4) следует, ч.го существует и предел (почему?) (28.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
